Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

ïf(x)ï>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx - aï < D

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)<M, то:

Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

           Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

           Теорема. Если f ( x ) ® 0 при х ® а (если х ® ¥ ) и не обращается в ноль, то

Сравнение бесконечно малых функций.

           Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

           Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

           Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.

           Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.

           Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

           Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x¹⁰ и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x¹⁰ – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

           Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел  конечен и отличен от нуля.

           Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение  не имеет предела, то функции несравнимы.

                          Пример. Если , то при х®0 , т.е. функция a - бесконечно малая порядка 2 относительно функции b.

           Пример. Если , то при х®0  не существует, т.е. функция a и b несравнимы.

Первый и второй замечательные пределы.

, где P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+a_n, 

Q(x) = b₀x^m + b₁x_m-1 +…+b_m - многочлены.

Итого:

Первый замечательный предел. 

Второй замечательный предел.

           Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

 Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

           Пример . Найти предел.

Пример . Найти предел.