Сложность определения физического смысла µ(ω) при высоких частотах в [6], важного как для теории, так и для интерпретации эксперимента, связывается с тем, что может оказаться невозможным "измерение" восприимчивости посредством измерения полного индуцированного магнитного момента макроскопического тела. В самом деле, индуцированная макроскопическая плотность тока J в зависящем от времени поле создается как за счет намагниченности

так и за счет диэлектрической поляризации Р == (D - Е)/4π:

Уравнение (58) может быть получено, с одной стороны, непосредственно из усредненных макроскопических уравнений Максвелла

а с другой стороны, из вычисления тока J = (pv) как средного от микроскопической плотности тока при известных положениях и скоростях заряженных частиц в среде [33, 35].

Индуцированный полный магнитный момент макроскопического тела

также есть сумма двух слагаемых:

где

Таким образом, физический смысл намагниченности М как магнитного момента единицы объема тела связан с возможностью пренебречь в уравнении (60) вкладом (62) зависящей от времени диэлектрической поляризации. Только тогда, когда этим вкладом можно пренебречь, восприимчивость µ(ω) можно считать физической величиной, определяющей магнитный момент единицы объема.

Заметим, что для электрического дипольного момента аналогичной проблемы не существует [6]: полный электрический дипольный момент определяется соотношением, подобным соотношению (61): P^tot = JPdv

Возникает естественный вопрос об условиях, при которых вклад M^tot2 в M^tot действительно мал. Используя уравнения Максвелла (59) и определения М (57) и Р, можно легко вычислить относительные вклады в индуцированный ток (58) для монохроматических плоских волн. Для того чтобы вклад магнитного тока был доминирующим, т.е.

и, следовательно, членом M₂^tot можно было бы пренебречь, необходимо выполнение неравенства

Таким образом, если для заданных ε(ω) и µ(ω) величина R (ω)>>1, то вкладом M^tot2 можно пренебречь и тогда величина µ(ω), входящая в одно из уравнений (56), будет более или менее точно определять магнитный момент единицы объема, возникающий при распространении в среде плоской электромагнитной волны. Если же неравенство (63) не выполняется, то магнитный момент единицы объема определяется в основном током электрической поляризации, а физический смысл величины магнитной восприимчивости µ(ω), определяющей, в том числе, величину коэффициента преломления волн, оказывается неясным. Теперь мы уже не можем сказать, что величина µ(ω) представляет собой магнитный момент единицы объема, таким образом, правомерность ее использования, а следовательно, и симметричного подхода становится сомнительной. Тем не менее физический смысл величины µ(ω) может быть определен и в этом случае, если возможно ее независимое измерение. Использование плоской волны, на основе которой получено неравенство (63), является не лучшим способом определения величины магнитной восприимчивости µ(ω). Причина заключается в том, что электромагнитная волна создает не самые подходящие условия для уменьшения величины M₂^tot, поскольку электрическое поле волны относительно сильное. Вместо этого можно, как обсуждается в [6], поместить макроскопическое тело с малым размером в зависящее от времени (монохромотическое) магнитное поле, создаваемое внешним током J_ext. Электрическое поле должно быть относительно слабым, и тогда вклад электрической поляризации в магнитный момент единицы объема может быть сделан малым. Для того чтобы решить задачу аналитически, возьмем цилиндрический образец длиной L и радиусом / и поместим его внутрь соленоида, в котором магнитное поле создается внешним круговым током. При такой геометрии малость образца означает, что

С другой стороны, образец должен быть макроскопическим:

для того чтобы вообще имело смысл вводить эффективную магнитную восприимчивость.

Если выполняется условие (64), то магнитное поле в образце создается в основном внешним током. Обозначим величину этого постоянного поля через Н. Появление поля Н приводит к постоянной намагниченности образца М =(µ(ω) - 1)H/4π, и его вклад (61) в полный магнитный момент выражается в виде

Однако переменное магнитное поле создает в образце также и электрическое поле в соответствии с уравнением Максвелла

В рассматриваемой геометрии величина этого поля является функцией расстояния от оси цилиндра х: Е = |ωµ(ω)(Нх/2с|. Величина плотности тока диэлектрической поляризации, а следовательно, второй вклад (62) в полный магнитный момент имеет вид

Из уравнений (66) и (67) получаем, что, для того чтобы преобладал "магнитный" вклад

должно выполняться неравенство

Используя вместо частоты со соответствующую ей длину плоской волны в среде λ(ω) = 2πс/ω^εµ, можно переписать критерий (68) в виде

При выполнении критерия (68) величина µ(ω) сохраняет свой смысл вне зависимости от выполнения неравенства (63). Этот критерий "слабее" неравенства (63) в силу условия (64). Разумеется, численные коэффициенты в неравенствах (68), (69) зависят от выбора формы образца, а те интервалы частот, в которых условие (64) не выполняется, следует исключить из приведенного выше рассмотрения.

Отметим, что неравенства (63) и (68) естественным образом следуют из сравнения вкладов отклика среды в обобщенную диэлектрическую проницаемость ε _L (ω, k )- l в уравнении (20): для выполнения этих неравенств необходимо, чтобы вклад члена с пространственной дисперсией ωк² был больше, чем вклад члена без пространственной дисперсии. Для заданной частоты со неравенство (63) соответствует в уравнении (20) волновому вектору к волны в среде, а неравенство (68) - волновому вектору к ~ 1/1, т.е. \/к имеет порядок размера образца.

Для того чтобы легче было удовлетворить неравенству (68), размер образца l должен быть как можно меньшим, но все же таким, чтобы образец оставался макроскопическим телом (см. (65)). Очевидно, что чем меньше микроскопический размер а, тем меньшим может быть размер образца l и тем легче удовлетворить неравенству (69). Наименьшее возможное значение а -порядка атомных или молекулярных размеров - встречается в естественных материалах. Наличие множителя ω² в знаменателе левой части критерия (68) ясно показывает, что при достаточно низких частотах этот критерий выполняется хорошо, поскольку при низких частотах величины ε(ω) и µ(ω) слабо зависят от частоты. С возрастанием частоты удовлетворить критерию (68) становится все труднее.

Конечно, выполнение этого критерия зависит также и от деталей частотной зависимости функций ε(ω) и µ{ω). Используя, например, модельные выражения (4) и (5), запишем левую часть неравенства (68) в виде

Величина (70) имеет "горб" в узкой области вблизи нуля магнитной восприимчивости ω_mz , который в действительности будет "размыт" из-за диссипации. Помимо того, величина выражения (70) определяется множителем

где стоящая справа оценка сделана для естественных (состоящих из молекул или атомов) материалов при оптических частотах со ~ co_L ~ со^ (см. (34)). Очевидно, что для данного макроскопического размера образца (65) неравенство (68) в общем случае не может выполняться для оптических частот. Измерения (или модельные расчеты) полного магнитного момента макроскопического тела в этой области частот не будут определяться магнитным моментом единицы объема М, за исключением, возможно, некоторых частотных интервалов.

Представляется разумным предположить, что та же оценка (71) и тот же вывод справедливы также для метаматериалов, созданных из достаточно маленьких (а <<λ) металлических или иных структур, если электрическая и магнитная резонансные частоты имеют тот же порядок, что и ω_р, а величина, эквивалентная F_m / F_e , имеет порядок ωa ² /с². Можно было бы проверить, выполняется ли условие, подобное (68), для структур различной формы, данные о которых опубликованы, и установить область частот, в которой восприимчивость µ(ω) имеет физический смысл при макроскопическом описании образца. Несмотря на то, что характерный размер а в метаматериалах гораздо больше размера атома (составляет несколько десятков или сотен нанометров), очевидно, однако, что область частот, в которой удовлетворительно выполняется набор неравенств

при возрастании а в общем случае будет смещаться в сторону меньших частот. Действительно, может оказаться, что в метаматериалах с большими а неравенства (72) не выполняются для большинства частот, но длина волны к все же заметно превосходит а. Тогда восприимчивость невозможно измерить (и, следовательно, определить ее физический смысл) с помощью описанного выше соленоида. В этой ситуации для оценок остается, по сути, только критерий (63). Нам неизвестна какая-либо лучшая конфигурация для "измерения" восприимчивости.

До тех пор, пока λ>> а, метаматериал, разумеется, можно рассматривать как сплошную среду, а подход, основанный на учете пространственной дисперсии и использующий тензор ε(ω,к), представляет собой разумную альтернативу подходу, использующему ε(ω)и µ(ω) на тех частотах, на которых µ(ω) теряет физиче-ский смысл. Однако из рассуждений, приведенных в разделе 3, следует, что до тех пор, пока учет пространственной дисперсии ограничивается членами ωк², как, например, в уравнении (22), формально можно описывать поперечные поляритоны в рамках ε(ω)-µ(ω)-подхода, если теперь уже некая эффективная восприимчивость ц(со) задана уравнением (20), из которого следует обычное выражение (3) для коэффициента преломления. Однако из рассуждений, приведенных в этом разделе, ясно, что определенную таким образом восприимчивость µ(ω) в общем случае нельзя связать с полным магнитным моментом макроскопического тела при оптических частотах, так как учитывается только та часть пространственной дисперсии, которая обусловлена магнитными дипольно-разрешенными переходами. Описанный метод, основанный на учете пространственной дисперсии, разумеется, позволяет исследовать другие виды дисперсии и соответствующие качественно новые эффекты (такие как возникновение добавочных волн), которые полностью отсутствовали бы в описании материальных свойств тела в терминах ε(ω) и µ(ω).

Когда любой из структурных размеров а метаматериала становится сопоставимым с длиной волны света в среде к, описание распространения волн в композите в рамках электродинамики сплошных сред становится невозможным, поскольку композит нельзя считать, как уже упоминалось, "эффективной непрерывной" средой, и следует использовать описание с помощью зависящей от координаты функции отклика материала.

Актуален анализ применимости ε(ω)-µ(ω)-подхода к результатам уже опубликованных работ, в которых утверждалось о наблюдении в метаматериалах отрицательного преломления в оптической области. К сожалению, в публикациях не всегда приводятся данные о величинах ε(ω) и µ(ω). В некоторых случаях приводимое авторами этих работ значение мнимой части коэффициента отражения оказывается порядка значения действительной части или даже превосходит его, что исключает возможность серьезного отношения к публикуемым утверждениям. Важно также, чтобы изучаемые экспериментально структуры являлись по-настоящему трехмерными, а не двумерными монослоями: монослои даже искусственных материалов следует учитывать только в граничных условиях для полей. Никакого отношения к отрицательному преломлению в трехмерных материалах эксперименты с "монослоями", вообще говоря, не имеют.

Другие интересные эффекты