А. Прямоугольные импульсы

3.1. Вызвав из меню исследуемый сигнал, установите заданную в прил. П3.2 длительность импульсов t_И. Установите также число отсчетов N = 8 (на период сигнала) и частоту среза идеального синтезирующего фильтра F_ср = 4 кГц.

В третьем окне экрана приведены амплитудно-частотные спектры дискретизованного (зеленый + желтые цвета) и восстановленного (зеленый цвет) сигналов. Изучите эти спектры, проверьте, соответствуют ли заданным N и F_ср частотные параметры спектров. Запишите погрешность синтеза (восстановления) сигнала. При составлении отчета ответьте на вопрос: как изменится спектр дискретизованного сигнала, если длительность выборок (в отличие от нашей ситуации) будет больше нуля?

Примечания.

1) Слагаемые ряда Котельникова выводятся на экран только при N = 2...8.

2) Для лучшего восстановления сигнала частоту F_ср следует выбирать по соотношению F_ср = N/2 (без учета размерности), что всегда будет соответствовать граничной (разделительной) частоте парциального спектра дискретизованного сигнала: = ¦_д /2 = 1 / 2Т_д = N / 2.

3) Интервал дискретизации Т_д может не совпадать с интервалом Dt = 1/2 f_m в ряде Котельникова, где граничная частота f_m выбирается по спектру континуального сигнала (часто f_m = 1/ t_И). Поэтому при Т_д > Dt разделительная частота < ¦_m (спектр еще больше ограничивается, искажения увеличиваются), а при Т_д < Dt частота > ¦_m (отбрасываемый “хвост” спектра сокращается, восстановление сигнала улучшается).

3.2. Увеличьте N и F_ср в 2 раза, то есть N = 16, F_ср = 8кГц. Проследите за изменениями формы восстановленного сигнала и частотными спектрами сигналов. Убедитесь в соответствии частотных и временных параметров восстановленного сигнала. Посмотрите, как изменилась погрешность синтеза, обоснуйте улучшение качества синтеза. Выведите на принтер содержимое экрана.

3.3. При прежних значениях t_И и N постепенно увеличивайте F_ср до предельного значения (64 кГц), одновременно наблюдая за эволюцией восстанавливаемого сигнала. В отчете ответьте на вопрос: почему при больших значениях F_ср (F_ср >> ) отклики фильтра на воздействующие выборки не складываются, а прикладываются друг к другу (то есть идут друг за другом)?

3.4. Факультативно (в конце работы, при наличии времени или в дополнительное время) можно ознакомиться с дискретизацией и восстановлением прямоугольных импульсов с предельными значениями их длительности: t_И = 0,01 мс (d- импульс) и

t_И = 1,0 мс (постоянное напряжение). Предполагается, что пытливый исследователь творчески изучит и отразит в отчете эти “экзотические” ситуации.

Б. импульсы треугольной формы

3.5. выставьте заданные в прил. П3.2 параметры t_И , N₁, (соответственно F_СР= N₁ /2) и ознакомьтесь со спектрами дискретизованного и восстановленного сигналов треугольной формы.

Увеличьте число отсчетов, выставив из прил. П3.2, N₂ (F_СР = N₂ /2).Благодаря разнесению парциальных спектров увеличится граничная частота , лучше станет просматриваться форма спектра исходного треугольного импульса и улучшится качество синтеза. Выведите на принтер полученные результаты.

при подготовке отчета получите аналитическое выражение для спектра напряжения треугольной формы и проверьте правильность экспериментальных результатов.

В. Пилообразные импульсы

3.6. Выставьте максимальную длительность импульсов t_И = 1,0 мс и изучите механизм и качество синтеза поочерёдно при N = 8 и N = 32. Не забудьте каждый раз выставлять требуемую частоту среза f_ср ФНЧ: соответственно 4 кГц и 16 кГц. Обратите внимание на наличие дефекта Гиббса в пилообразном сигнале. Выведите на принтер синтез пилообразного напряжения при N = 32, f_ср=16.

Г. Синусоидальное колебание

3.7. Установите частоту f_ср = f_{ср мин} = 1 кГц и минимальное число отсчетов на период N = N_мин = 2, которое по теории достаточно для представления такого сигнала выборками. Однако ни дискретизации, ни восстановления сигнала не произойдет: отсчеты пришлись на t = 0 и t = Т/2, где сигнал равен нулю. Убедитесь, что введением фазового сдвига синусоиды можно добиться полного восстановления сигнала.

Верните синусоидальное колебание в исходное положение, то есть установите j=0. Увеличьте число отсчетов до четырех (F_ср = 2 кГц). Здесь, как и выше, отсчеты в точках t = 0 и t =T/2 равны нулю, поэтому реально получаем 2 отсчета на период. убедитесь в нормальном восстановлении колебания.

3.8. Выставьте нечетное и избыточное число отсчетов: N=25 (в принципе можно выставить любое нечетное число, но для сравнения результатов данного и следующего пунктов целесообразно взять N=25). В спектре дискретизованного сигнала появляется "спектральный шум" дискретизации. Используйте этот недостаток компьютерной обработки (этого шума не будет при значениях N=2ⁿ, n=2, 3,...) для полезного наблюдения. Установите f_ср = 12 кГц = N/2. Тем не менее полноговосстановления синусоиды не получается (при таком- то числе отсчетов!). Изменяя f_ср в окрестности f_ср = N/2, точнее от 10 кГц до 14 кГц, вы добьётесь захвата восстанавливающим фильтром группы из 4...5 шумовых составляющих малой величины, что и приводит к погрешности синтеза. Попробуйте увидеть в структуре частотного спектра сумму, состоящую из большой низкочастотной гармоники и узкополосной группы высокочастотных составляющих малой величины, то есть из спектра небольшого модулированного колебания. Разве восстановленный сигнал не отражает этот спектральный альянс? Приведите в отчете частотно- временную трактовку этих наблюдений, результатов. Ответьте также на вопрос: как будет выглядеть восстановленный сигнал, если убрать из его спектра низкочастотную гармонику?

Сделайте здесь еще одно наблюдение. Увеличьте f_ср примерно в 3 раза с тем, чтобы захватить фильтром не только низкочастотную гармонику, но и первую пару полезных высокочастотных составляющих дискретизованного сигнала. Здесь на шумовой спектр можно не обращать внимания как на сравнительно малый компонент. Восстановленный сигнал представляет собой асимметричные биения. Не делает ли эту асимметрию низкочастотная гармоника? Распечатайте содержимое экрана.

Д. Амплитудно-модулированное колебание

3.9. Сохраните число отсчетов N=25, которое для АМ колебания будет также избыточным. Частота дискретизации будет равна f_д = 1/Т_Д = N = 25 кГц. Эта и кратные ей частоты будут являться центральными частотами парциальных спектров. Каждый из этих спектров содержит ещё по паре боковых составляющих, отстоящих от центральных частот на DF = 1/Т= 1 кГц. При помощи метки F6 измерьте величины этих составляющих и вычислите коэффициент модуляции.

Установите центральную частоту полосового фильтра f_р = 25 кГц и полосу пропускания F_ПП = 2 = 25 кГц. Убедитесь в полном восстановлении АМ колебания.

Выполните здесь еще одно наблюдение. Сравните последнюю распечатку с данными результатами и согласитесь, что:

- полосовой фильтр исключил из спектра низкочастотную гармонику;

- в парциальном спектре появилась центральная составляющая, причем той же (значительной) величины, что и исключенная гармоника;

- заметно снизились боковые составляющие в парциальном спектре.

Попытайтесь разобраться и отразить в отчете, как эти изменения в спектре трансформировали сигнал: от асимметричных биений до симметричной амплитудной модуляции.

3.10. Установите теперь N=5, F_ПП = 5 кГц, то есть в 5 раз меньше предыдущего случая: этого совершенно недостаточно при решении задачи дискретизации модулированного колебания "в лоб" (по частоте несущего колебания) и вполне достаточно при дискретизации АМ колебания по теореме Котельникова, то есть по низкочастотной огибающей. Здесь f_д также снизится в 5 раз. полосовой фильтр с прежней резонансной (центральной) частотой f_Р восстановит АМ колебание столь же качественно, что и в п. 3.9. При составлении отчета объясните и обоснуйте этот благоприятный факт. Распечатайте содержимое экрана.

Е. Радиоимпульсы

3.11. Установите параметры t_И, N радиосигнала с прямоугольной огибающей в соответствие с прил. П3.2. Выберите необходимую центральную частоту f_Р полосового фильтра. Уменьшайте полосу пропускания f_ПП от 2N кГц до 1 кГц. Обоснуйте изменения формы и качества восстановления радиосигнала. При составлении отчета укажите также буквенные обозначения временных параметров радиоимпульса и характерных точек частотного спектра.

4. Контрольные вопросы

А. Вопросы для коллоквиума

4.1. Сформулируйте теорему Котельникова.

4.2. Чему равен интервал дискретизации по Котельникову? Как определяются граничные частоты спектров исследуемых в лабораторной работе сигналов?

4.3. Как сходится ряд Котельникова в точках t_n = nDt и t_n = (n + 0,5)Dt? Зависит ли сходимость в этих точках от числа слагаемых?

4.4. Нарисуйте два слагаемых ряда Котельникова с выборками в 10 мВ и - 5 мВ, соответствующими n = -2 и n = 1, если максимальная частота спектра 2 кГц.

4.5. чем отличаются спектры дискретизованного и континуального сигналов?

4.6. Изобразите спектры исходного континуального сигнала, его дискретного образа и сигнала, восстановленного из дискретных значений идеальным ФНЧ.

4.7. Что произойдёт со спектром дискретизованного сигнала при уменьшении длительности отсчетных импульсов?

4.8. В каких случаях происходит частичное наложение соседних копий в спектре дискретного сигнала? назовите рекомендуемую величину шага дискретизации для реальных сигналов.

4.9. как изменится выходной сигнал идеального ФНЧ при увеличении:

- частоты выборок,

- граничной частоты фильтра,

- частоты выборок и граничной частоты (увеличение одинаковое и одновременное)?

4.10. Какие операции выполняются идеальным ФНЧ при восстановлении сигнала?

Б. Вопросы на защите отчета

4.11. Каким станет спектр одного дискретизованного видеоимпульса при его периодическом повторении? Приведите пример из лабораторной работы.

4.12. изобразите спектр периодической пачки прямоугольных импульсов со следующими параметрами: t_и = 2 мкс, T₀ = 10 мкс, длительность пачки t_П = 32 мкс, период её повторения T_П = 100 мкс. Переведите этот пример на язык дискретизации сигналов и оцените ситуацию с точки зрения теоремы Котельникова.

4.13. Можно ли по виду импульсной характеристики ФНЧ судить о качестве синтеза сигнала?

4.14. Как зависит импульсная характеристика от крутизны ФЧХ, крутизны спада АЧХ фильтра, а также частоты среза ФНЧ?

4.15. Приведите графическую иллюстрацию синтеза сигнала (временной и частотный подход) при шаге дискретизации T_Д больше требуемого Dt.

4.16. Как должны соотноситься частоты фильтра w_гр и спектра w_m для исключения погрешности синтеза, вносимой фильтром?

Переведите эти рекомендации на временной язык - на импульсную характеристику фильтра.

4.17. Объясните, почему при синтезе сигналов в компьютерном классе получились ситуации, когда сигнал S_S(t) превышал в среднем исходный сигнал S(t) или был меньше?

4.18. Поясните условие численного совпадения F_СР = N/2 (без учета размерности) для благоприятного синтеза сигналов.

4.19. Какая особенность в дискретизации и восстановлении модулированных колебаний? Приведите примеры из лабораторной работы.

4.20. Как восстановится модулированное колебание, если центральную частоту полосового фильтра перестроить на вторую гармонику несущего колебания?

4.21. Почему в п. 3.9 из асимметричных биений получается колебание как результат амплитудной балансной модуляции?

4.22. Полезно ли сокращать интервал дискретизации, если условия применения теоремы Котельникова идеальны, а Т_Д изначально совпадает с Dt = 1/2f_m?

Приложения

Приложение П3.1