А. Прямоугольный импульс

3.1. В режиме анализа спектра ("механизм формирования спектра Уолша") установите заданную амплитуду E и длительность t_И2 импульса (см. задание в прил. П2.2).

Перебирая номера функции Уолша k Î (0,7),проследитеза поведением подынтегрального произведения s(t)W_k(t). Усредните (проинтегрируйте) визуально это произведение для любого k с целью качественного (с точностью до знака) вычисления С_k, сравните ваш результат с коэффициентом С_k, вычисленным компьютером и записанным в нижнем правом углу экрана. Выведите на принтер содержание экрана для любого k = 5, 6, или 7.

3.2. Получите спектр прямоугольного импульса для заданных длительностей: целочисленной t_и1 и дробной t_И2. Занесите данные в таблицу.

3.3. В этом же режиме анализа исследуйте характер изменения коэффициентовС_е и С_m (номера е и m заданы в прил. П2.2) при измененииt_и от 1 до 7 мс. Запишите значения С_е и С_m, а затем постройте графики С_е(t_И), С_m(t_И) и сравните их с графиками С_k(t_И) на рис. П2.1. Установите и обоснуйте связь этих графиков с соответствующими функциями W_е(t) и W_m(t).

3.4. Перейдите в режим синтеза (восстановления) сигнала с использованием системы {W8}, сохранив установленные значения E и t_И2. Ознакомьтесь с процедурой синтеза при пошаговом изменении (увеличении) числа слагаемых k в ряде Уолша - Фурье. Обратите внимание на снижение погрешности синтеза, запишите ее значения для всех k. Используйте это наблюдение для обоснования (в отчете) свойства полноты базисной системы функций Уолша. Выведите на принтер экран для k = 6 (при этом на экране установятся и соседние ситуации для k-1 = 5 и k+1 = 7).

3.5. В этом же режиме синтеза (k = 6), увеличивая t_И от 1 до 7 мс через Dt_И=0,25 мс, обратите внимание на

- групповой характер изменения спектра Уолша;

- различный механизм изменения сигналов: анализируемого (обычный механизм приращений по горизонтальной оси) и восстанавливаемого (необычный механизм последовательных приращений по вертикали и горизонтали).

При оформлении отчета обоснуйте (разъясните) наблюдаемые процессы.

3.6. Перейдите в режим синтеза в расширенной системе функций Уолша {W16} и без распечатки повторите п. 3.4 лабораторного задания. Поскольку в расширенной системе период сигнала увеличивается в два раза (принимает значение 16 мс), то и длительность t_И2 следует увеличить в два раза (чтобы сохранить неизменной скважность импульсов Q = T /t_И ). В отчете следует аргументированно обосновать возможности этой системы по сравнению с системой {W8}.

Б. Ступенчатое пилообразное напряжение

3.7. В режиме анализа изучите механизм формирования коэффициентов С_k, запишите ненулевые значения С_k.

3.8. Переведите программу в режим синтеза в системе {W8}. Убедитесь в быстрой сходимости ряда (по сравнению с рассмотренным выше прямоугольным импульсом). Выведите на принтер экран синтеза для k=3. При оформлении отчета, используя полученные результаты в пунктах 3.7 и 3.8, ответьте на вопрос: не является ли избыточной для этого сигнала система Уолша {W8}, нельзя ли обойтись системой Радемахера, входящей в {W8}?

В. Непрерывное пилообразное напряжение

3.9. Повторите пункты работы 3.7 и 3.8 для данного сигнала. Запишите ненуле-

вые коэффициенты С_kи объясните полное совпадение спектров обоих пилообразных напряжений. Выведите на принтер экран синтеза для k = 3.

следует также ответить на вопрос: как повлияло бы расширение системы до {W16} на результаты синтеза этих двух пилообразных колебаний?

Г. Синусоидальное напряжение

3.10. В режиме анализа установите заданную амплитуду Е синусоидального напряжения. как и для предыдущих сигналов, рассмотрите подынтегральные произведения при получении коэффициентов С_k.

3.11. Синтез проведите в системе {W16}. Убедитесь в "пассивном" (в смысле скорости) схождении суммы ряда Уолша к исходной синусоидальной функции. Выведите на принтер экран для k = 12 или 13.

3.12. В том же режиме синтеза выполните небольшое исследование:

- запишите значение коэффициента С₁ и погрешности g₁ для синусоидысзаданной амплитудой Е;

- войдите в режим синтеза лабораторной работы №1, установите меандр с тем же значением Е и запишите полученные значения амплитуды А₁ и погрешности g₁.

На какие размышления наводит Вас удивительный факт: совпадение числовых значений амплитуд и погрешностей в обеих ситуациях? Приведите эти рассуждения в отчете.

4. Контрольные вопросы

А. Вопросы для коллоквиума

4.1. Напишите аналитическое выражение для W_k(t) и приведите структурную схему генератора функций Уолша для системы {W8}.

4.2. Перечислите свойства базисной системы функций Уолша, проиллюстрируйте их на примерах.

4.3. Сложите по модулю 2 следующие числа: 5 и 7, 3 и 6, 10 и 12, 14 и 15. Эти же числа сложите по модулю 3.

4.4. В чем заключается свойство мультипликативности? Чему равны произведения функций Уолша: W₅(t)W₆(t)иW_k(5)W_k(6)?

4.5. Почему система функций Радемахера является неполной?

4.6. Верно ли суждение: чем чаще скачки в ступенчатом сигнале или короче импульс, тем выше должен быть номер старшей функции Радемахера, входящей в систему Уолша?

4.7. Приведите аналитическое выражение коэффициента Уолша С_k и изобразите структурную схему анализатора спектра в системе {W8}. Какой будет осциллограмма напряжения на выходе пятого перемножителя при подаче на вход анализатора непрерывного пилообразного напряжения?

4.8. Запишите ряд Фурье -Уолша и изобразите структурную схему синтезатора сигнала в системе {W8}. Изобразите также осциллограмму напряжения на выходе шестого перемножителя, если шестой коэффициент ряда Уолша равняется -5 В.

4.9. Какие математические операции выполняются в анализаторе и синтезаторе Уолша?

4.10. Напишите и разъясните формулы для вычисления погрешностей g_а и g_с.

4.11. Какие из исследуемых в лабораторной работе сигналов не могут быть восстановлены точно и почему?

4.12. Какая разница между функциями Уолша, имеющими в своей основе различные системы счисления, например m=2 или m=3.

Б. Вопросы на защите отчета

4.13. Объясните групповой (двоичный) характер спектра Уолша (рис. П2.1), который наглядно проявляется при изменении длительности прямоугольного импульса. Можно ли связать (если "да", то как) это свойство с функциями Радемахера в системе Уолша?

4.14. Почему спектры у исследуемых непрерывного и ступенчатого сигналов в системе {W8} одинаковы? Что произойдет со спектрами этих сигналов при расширении системы, например до {W16} или сужении до {W4}? Как изменятся при этом погрешности аппроксимации g_а и g_с.?

4.15. Какой по размеру должна быть система функций Уолша при синтезе непрерывного пилообразного напряжения?

4.16. Предположим, что при домашней подготовке были рассчитаны спектры исследуемых непрерывного и ступенчатого пилообразных напряжений (рисунок в прил. П2.1) и найдены погрешности их анализа g_а. Можно ли по этой информации, не проводя самой лабораторной работы по синтезу сигналов, уверенно утверждать, что в обоих случаях будет получен (восстановлен) сигнал, совпадающий с одним из исходных? Кстати, (если "да", то) с каким?

4.17. Случайно ли совпадение численных значений погрешностей синтеза g₁ и амплитуд А₁ и С₁ в следующих случаях: при синтезе (замене) меандра первой гармоникой А₁соs(w₁t + p /2) тригонометрического ряда Фурье и при замене синусоиды первым слагаемым C₁W₁(t) в ряде Уолша - Фурье?

4.18. Как объяснить своеобразный ступенчатый характер приращений восстанавливаемого сигнала прямоугольной формы с изменяющейся длительностью: приращение напряжения в столбце (на очередном интервале Dt) с поочередным присоединением к сигналу "заполненных" столбцов?

4.19. Почему на рис.П2.1 и по полученным данным (п.3.3) наблюдается интегральная зависимость между С_k(t_И)иW_k(t)?

4.20. По результатам спектрального анализа восстановите в системе {W8} ступенчатое пилообразное напряжение, то есть изобразите слагаемые и сумму ряда Уолша-

Фурье.

4.21. Какую из базисных систем {соsnw_it, sinnw_it } или {W_k(t)} порекомендуете для спектрального представления следующих сигналов?

4.22. Можно ли по форме (виду) анализируемого сигнала высказать соображение о значении хотя бы первых спектральных коэффициентов Уолша (во всяком случае назвать знаки коэффициентов С_k)? Приведите примеры из лабораторной работы.

4.23. Может ли спектральный коэффициент быть: а) положительным, б) отрицательным, в) нулевым, г) знакочередующимся, т.е. в виде С_k(t)? Почему?

4.24. Разъясните на принтерных распечатках осциллограммы, спектрограммы и числовые значения.

4.25. Чем отличаются векторные диаграммы функций Радемахера R₁(t) и R₂(t)?

4.26. Изобразите векторные и временные диаграммы n - х функций Радемахера в двух разных системах счисления: m = 2 и m = 3.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение П2.1