А. Меандр

3.1. В режиме анализа спектра ("механизм формирования коэффициентов ряда Фурье") ознакомьтесь с процедурой получения коэффициентов a_n, b_n, амплитуд А_n и фаз Q_n гармоник при времени задержки t_з = 0. При изменении номера гармоники n Î(1,15) обратите внимание на эволюцию подынтегральных произведений s(t)cosnw₁t и s(t)sinnw₁t .

Попробуйте визуально проинтегрировать (усреднить) эти произведения и обнаружить совпадение, хотя бы приближенное (с точностью до знака), ваших результатов с вычисленными компьютером коэффициентами а_n, b_n, а как следствие и со значениями А_n и Q_n.

3.2. Установите заданное значение t_з. Убедитесь, что коэффициенты a_n, b_n и фазы

Q_n стали иными, а амплитуды гармоник А_n остались прежними. Выведите на принтер и распечатайте содержимое экрана при n=15.

Выполните здесь еще два наблюдения.

Первое. в положении n = 15 переберите t_з Î (-0,5; 0,5) мс и понаблюдайте за изменением фазовой спектрограммы Q(n). Запишите значенияQ₁₅, а₁₅,b₁₅дляt_з= -0,5; 0,25; 0; 0,25; 0,5 мс.

Второе. в положении n = 1илиn = 3 измените постоянное смещение U_о в пределах U_о Î (-E, E). Обратите внимание на существенное изменение подынтегральных произведений, но неизменность (!) коэффициентов а_n и b_n, кроме а₀ /2.

3.3. В режиме синтеза сигнала при заданном значении t_з ознакомьтесь с процедурой синтеза (восстановления) меандра, изменяя n Î (1,14).При этом на дисплее будут демонстрироваться и крайние ситуации: для n = 0 и n = 15. Обратите внимание на фазировку гармоник (в соответствии с фазовым спектром), на характер изменения вершины и фронта импульсов, на снижение погрешности синтеза при увеличении числа слагаемых в ряде Фурье. Не упустите из виду и дефект Гиббса. Выведите на принтер содержимое экрана для n = 4 (или n = 5).

Б. Импульсы прямоугольной формы со скважностью Q > 2

3.4. Для заданной скважности Q при t_з = 0 выполните пошаговый (nÎ (1,15)) спектральный анализ. Обратите внимание на лепестковый характер спектра.

При n=15 дополнительно рассмотрите следующее.

Первое. изменяя скважность Q Î(2,15), проследите за формированием лепестков спектра. Проверьте, сколько гармоник размещается в одном спектральном лепестке и как это число зависит от скважности.

Второе. установив заданную скважность Q, переберитеt_з Î (-0,5; 0,5) мс. Убедитесь в правильности изменения дискретных спектрограмм А(n) и Q(n). На принтер выведите экран анализа с заданными Q, t_з и n=15.

При оформлении отчета вычислите фазы Q_n для двух-трёх гармоник для заданного t_з, сравните полученные значения с соответствующими фазами на фазовой спектрограмме Q (n).

3.5. Выполните синтез сигнала, наблюдая за восстановлением формы импульсов при увеличении числа гармоник n Î (1,14). Не упустите из виду механизм формирования вершины импульса, влияние на этот механизм фаз гармоник в лепестках. Распечатайте экран синтеза с заданным Q, t_з, n = n_maкс (см. прил. П1.3).

В. Пилообразные импульсы

3.6. Изучите спектральный состав "типового" сигнала пилообразной формы, когда t_u= Т, (t_u = 1мс, а t_з = 0, U_о = 0, Е = 1 В). Сравните амплитудный и фазовый спектры с соответствующими спектрами меандра. Попробуйте укоротить импульс, объясните изменения амплитудного спектра, свяжите их с известной теоремой о связи длительности импульса с шириной его спектра.

3.7. В режиме синтеза (опять t_u=1 мс, t_з= 0) проследите за восстановлением пилообразных импульсов при увеличении n, не упуская из виду фазировку четных и нечетных гармоник. Сравнивая синтез меандра и пилообразного сигнала, объясните причину исчезновения положительного скачка в последнем случае.

Запишите погрешность синтеза g_С для n = n_maкс, заданного в прил. П1.3.

Г. Колебания треугольной формы

3.8. Рекомендуется повторить пункты 3.6 и 3.7, но для "типового" импульса треугольной формы:t_u = Т, t_з =0. Обратите внимание на быструю сходимость ряда Фурье для этого сигнала.

При предельном укорочении импульсов (в практикумеt_u = 0,05 мс) сумма ряда из 15 гармоник приближается к функции вида sin (х)/х. Свяжите полученный результат со спектрограммой этих коротких импульсов. Запишите погрешность синтеза g_С дляn=15 и n = n_maкс с тем, чтобы позже сравнить её с погрешностью в п. 3.10.

Д. Колебания вида sin (х)/х

3.9. При исследовании этого сигнала рекомендуется получить аргументированные ответы на следующие вопросы.

Как связана функция sin(х)/ х с функцией d(t)?

Почему ширина спектра определяется числом полуволн N в сигнале?

Можно ли использовать данный сигнал в качестве испытательного при снятии частотных характеристик линейного четырехполюсника?

3.10. Выполните два дополнительных исследования.

Первое. используя метку, получите (запишите) численные значения функций в фиксированный момент времени и убедитесь, что сумма ряда из n гармоник есть алгебраическая сумма ряда из n-1гармоник с n-й гармоникой. Рекомендуется использовать графики для n = 14 и n = 15. Измерение лучше выполнить в начале графиков, то есть при t=- 0,5 мс. Кроме того, для измерений следует пользоваться увеличенными окнами (кнопка F5).

Второе.запишите погрешность синтеза сигнала при n=N=15 и сравните ее с погрешностью наиболее короткого импульса треугольной формы (см. п. 3.8). Объясните причину их неполного совпадения. На принтер следует вывести 2 экрана (анализа и синтеза) с заданными параметрами.

Е. Произвольный сигнал

3.11. Выберите из меню пункт "Произвольный сигнал" в режиме синтеза, позволяющий сформировать сигнал из 16 гармоник (n Î (0,15)) с любыми амплитудами и фазами (А_n=0…1 В, Q_n = -p…+p). В связи с большим объёмом лабораторной работы ограничимся двумя простыми упражнениями (без распечатывания результатов).

Первое. Сложение двух гармоник. Для бригад с четными номерами следует взять 1 и 2-ю гармоники, для нечетных бригад - 1 и 3-ю. Амплитуды лучше взять равными и максимальными, то есть А_n = 1 В. Фазу второй (третьей) гармоники рекомендуется вначале установить нулевой, а затем равной p. убедитесь в получении четной (нечетной) результирующей функции и влиянии фазы гармоники на форму сигнала. Меняет ли фаза характер четности (нечетности) функции?

Второе. Сложение двух гармонических колебаний близких частот. Эксперимент рекомендуется провести на гармониках с номерами n = 10…15, причем четные бригады упражняются на парах четных гармоник (с номерами 10 и 12 или 12 и 14), а нечетные - на гармониках 11 и 13 или 13 и 15. Из физики известно, что при этом получаются биения. Определите частоту биений и частоту заполнения (измерьте меткой F6 соответствующие периоды). Теперь предельно сократите частотный интервал между гармониками, то есть возьмите две соседние гармоники (10 и 11 или 13 и 14). Как повлияет сближение частот складываемых колебаний на частоту биений и частоту заполнения?

4. Контрольные вопросы

А. Вопросы для коллоквиума

4.1. Напишите аналитические выражения для коэффициентов Фурье а_n, b_n, а также для амплитуды А_n и фазы Q_n n - й гармоники сигнала S(t).

4.2. Нарисуйте структурную схему анализатора спектра для получения амплитуд а_n и фаз Q_n гармоник через коэффициенты a_n и b_n .

4.3. Изобразите структурную схему синтезатора сигнала S_S(t).

4.4. Запишите n-е слагаемое ряда Фурье, выраженного тремя способами: через две тригонометрические формы и через комплексно - экспоненциальный базис.

4.5. Как оценивается погрешность синтеза сигнала? Запишите аналитическое выражение для погрешности g_С.

4.6. Найдите квадрат нормы для систем {cosnw₁t, sinnw₁t}, {exp(jnw₁t )}.

4.7. Ортогональны ли функции в системах {cosnw₁t, sinnw₁t}, и {exp(jnw₁t)}?

4.8. Обладают ли свойством мультипликативности базисные системы {cosnw₁t, sinnw₁t} и {exp(jnw₁t)}?

4.9. Чем отличаются спектры периодических и непериодических сигналов?

4.10. Как зависит спектр периодических импульсов прямоугольной формы от длительности импульсов и периода их повторения?

Б. Вопросы на защите отчета

4.11. Когда коэффициенты Фурье а_n , b_n бывают отрицательными? Зависят ли они от времени?

4.12. При изменении постоянного напряжения U₀, добавленного к сигналу U(t), подынтегральные произведения U(t)cosnw₁t и U(t)sinnw₁t существенно меняются, а а_n и b_n (кроме а₀ /2) не меняются. Почему?

4.13. Вычислите фазу Q_n для прямоугольных (или других) импульсов непосредственно через t_з , а также через коэффициенты а_n, b_n..

4.14. Что и как меняется в спектре сигнала при его временном сдвиге на ± t_з?

Приведите примеры из лабораторной работы и докажите соответствующую теорему.

4.15. Изложите механизм синтеза меандра по принтерной распечатке. Как меняется вершина импульса и его фронты при добавлении гармоник?

4.16. Пользуясь спектрограммами, покажите, что меандр является частным случаем импульсов прямоугольной формы со скважностью Q >2.

4.17. В чем видится лепестковый характер спектра прямоугольных импульсов?

4.18. Что такое явление (дефект) Гиббса? Приведите пример из работы.

4.19. Свяжите понятия: сходимость ряда и разрывность временной функции.

4.20. Чем отличаются спектры меандра и пилообразного сигнала при t_и = T ?

4.21. Ответьте на вопросы п. 3.9 (о функции sin(x) / x).

4.22. Как получается d-функция (спектральная трактовка)?

4.23. Вычислите погрешности анализа g_а и синтеза g_С меандра (или других сигналов).

4.24. Что такое равенство Парсеваля? Приведите иллюстрации из работы.

4.25. Обоснуйте справедливость равенства (П1.21).

4.26. Сложите первую и третью (пятую) гармоники меандра, причем в двух случаях: когда меандр является четной и когда нечетной функцией.

4.27. Что получим при синтезе сигнала, если из спектра типового пилообразного напряжения исключить все четные гармоники?

4.28. Можно ли по форме синтезированных импульсов прямоугольной формы со скважностью Q >> 2 (по осцилляциям на вершинах импульсов и в паузах между импульсами) указать:

- какой (по счету) спектральный лепесток участвует в синтезе;

- номер старшей гармоники в усеченном ряде Фурье?

4.29. Чему равна частота биений (огибающей) и частота высокочастотного заполнения при сложении двух гармонических колебаний?

4.30. Обоснуйте (тригонометрически) характер, форму и параметры биений при сложении двух колебаний.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение П1.1