В следствие вращения и многократной повторяемости нагруже-ния и разгрузки в течение срока службы вал испытывает переменные напряжения, которые могут вызвать усталостные разрушения. Поэтому после выбора диаметра из условий статической прочности и конструирования вала необходимо проверить его на сопротивление усталости (усталостную прочность).
Выбор расчетных сечений
Устанавливают тип и число концентраторов напряжений и выбирают расчетные сечения.
Расчет характеристик циклов переменных напряжений
Для каждого из выбранных расчетных сечений определяют характеристики циклов изменения напряжений. При этом учитыва-ют, что вследствие вращения вала напряжения изгиба 
меняются по симметричному циклу (рис. 4.4, а) с параметрами:
- амплитуда напряжений
, (4.5)
- среднее напряжение
(4.6)
В течение срока службы вал испытывает многократное повторное нагружение и разгрузку, тогда касательные напряжения кручения меняются по отнулевому циклу (рис. 4.4,б).
Параметры цикла:
. (4.7)
Где принято, что для круглого поперечного сечения WP = 2·WИ.
Основные расчетные зависимости
Для каждого из опасных сечений необходимо произвести расчет на усталостную прочность, который состоит в проверке условия
n ≥ [n], (4.8)
где [n] – минимально допустимый коэффициент запаса уста-лостной прочности, принимаемый в пределах 1,3…2,0 или по табл. П.8 (см. приложение);
n – эквивалентный (суммарный) запас усталостной прочности, соответствующий плоскому напряженному состоянию в опасной точке сечения (см. рис. 4.2,в), определяемый по формуле:
, (4.9)
в которой 
и 
запасы прочности по нормальным и каса-тельным напряжениям соответственно, рассчитываемые по зависи-мостям:
; (4.10)
, (4.11)
где 
, 
- пределы выносливости материала при симме-тричных циклах изменения нормальных и касательных напряжений;
- соответственно амплитудные и средние значения напряжений;
- 
коэффициенты чувствительности материала к асим-метрии цикла по нормальным и касательным напряжениям.
Кроме того , в формулы (4.10), (4.11) входят 
и 
- сум-марные коэффициенты снижения пределов выносливости детали, учитывающие влияние на сопротивление усталости конструктивных и технологических факторов и определяемые по формулам:
; (4.12)
; (4.13)
где 
- коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении. Их значения зависят от вида концентратора и принимаются по табл. П.3, П.5, П.6 приложения;
- коэффициенты влияния абсолютных размеров попе-речного сечения, выбираемые в зависимости от диаметра вала и ма-териала по табл. П.7 приложения;
КF – коэффициент влияния шероховатости поверхности. Его зна-чения приведены на рис. П.1 приложения;
КV – коэффициент влияния поверхностного упрочнения, опреде-ляемый по табл. П.9.
Отметим, что приведенные расчетные формулы (4.10) – (4.13) свидетельствуют о том, что расчет запасов усталостной прочности 
и n можно выполнить лишь зная конструкцию вала и техно-логию его изготовления.
Расчет коэффициентов запаса и оценка усталостной прочности
Для каждого из расчетных сечений вала по формулам (4.10), (4.11), (4.9) рассчитывают коэффициенты запаса прочности и
n , затем проверяют условие (4.8) и делают необходи-мый вывод.
При недостаточной прочности вала дают рекомендации по ее повышению.
Пример решения вала с насаженными на него двумя шестернями
Рассмотрим расчет вала, схема которого показана на рис. 4.5,а, а конструкция – на рис. 4.5,б.
Рис. 4.5
Исходные данные:
F1X = 12,3 кН, F1Y = 4,47 кН – силы в зацеплении прямозубой шестерни 1 , соответственно окружная и радиальная;
F2X = 6,15 кН, F2X = 2,28 кН, F2Z = 1,08 кН –силы в зацеплении косозубой шестерни 2, соответственно окружная , радиальная и осевая;
l1 = 100 мм, l2 = 165 мм – линейные размеры;
R1 = 100 мм, R2 = 200 мм – радиусы начальных окружностей;
Сталь 45 – материал вала.
Вал вращается в подшипниках А и В и работает в области многоцикловой усталости (N0 > 107 циклов) в установившемся режиме.
Необходимо:
1) построить эпюры изгибающих моментов МХ, МУ;
2) построить эпюру суммарных изгибающих моментов МИ;
3) построить эпюру крутящих моментов ТК;
4) построить эпюру эквивалентных изгибающих моментов МЭКВ, рассчитанных по гипотезе прочности максимальных касательных напряжений;
5) подобрать диаметры вала из условия статической прочности;
6) назначить геометрические размеры;
7) выполнить проверочный расчет вала на усталостную прочность.
4.4.1. Проектировочный расчет вала на статическую прочность (вопросы 1 - 5)
Построение эпюр изгибающих моментов МХ, МУ. Составим расчетную схему вала в виде двухопорной балки, представленной на рис. 4.6,а. После переноса на вал всех сил, действующих на шестерни, появляются два скручивающих момента в сечениях Д и С:
Т1 = F1X ·R1= 12,3·01 = 1,23 кНм;
Т2 = F2X·R2 = 6,15·0,2 = 1,23 кНм,
а также и изгибающий момент в сечении С
M = F2Z·R2 = 1,08·0,2 = 0,216 кНм.
Опору А выбираем шарнирно – подвижной, а опору В - шарнирно – неподвижной. Из рис. 4.6,а следует, что вал работает на совместное действие сжатия, кручения и изгиба в вертикальной (Z0Y) и горизонтальной (Z0X) плоскостях. Влиянием сжатия и поперечных сил на нагруженность вала пренебрегаем. Кручение и изгиб рас-смотрим отдельно, используя принцип независимости действия сил.
Изгиб в вертикальной плоскости Z0Y (рис. 4.6,б).
Определим реакции опор YA и YB из уравнений равновесия:
∑MB = 0; - F1Y ·0,43 + YA ·0,33 – F2Y · 0,165 + M = 0,
откуда 
= 6.31 кН,
∑МА = 0; - YB ·0,33 + M – F2Y ·0,165 = 0,
откуда YB = 
= 0,44 кН.
Проверка:∑Y =- F1Y + YA – F2Y + YB = - 4,47+ 6,31- 2,28 + 0,44 = 0.
Найдем изгибающие моменты МХ в характерных сечениях вала (в сечениях А, С, D и В).
МХ(А) = - F1Y ·0,1 = - 4,47 ·0,1 = - 0,447 кНм;
МХ(С)ЛЕВ = - F1Y · 0,265 +YA · 0,165= - 4,47 ·0,265 +
+ 6,31· 0,165 = - 0,143 кНм.
МХ(С)ПРАВ = YB · 0,165 = 0,44 · 0,165 = 0,073 кНм;
MX(D) = MX(B) = 0.
По полученным значениям строим эпюру МХ (рис. 4.6, в).
Аналогично рассматриваем изгиб вала в горизонтальной плоско-сти Z0X (рис. 4.6,г).
Определение суммарных изгибающих моментов МИ и построе-ние их эпюры. Так как вал имеет круглое поперечное сечение, то изгибающие моменты МХ и МУ можно свести к суммарному изги-бающему моменту МИ :
.
В сечениях А, С, D и В значения МИ будут соответственно равны:
= 1,31 кНм;
= 1,13 кНм;
= 1,122 кНм;
МИ(D) = МИ(В) = 0.
По полученным данным построим эпюру суммарных изгибаю-щих моментов МИ (рис. 4.6,е). На участке АС эпюра имеет нелиней-ный характер (пунктирная кривая выпуклостью вниз). Для упроще-ния вычислений эпюру на этом участке принимают линейной (спло-шная линия). При этом погрешность идет в сторону увеличения запаса прочности.
Построение эпюры крутящих моментов ТК (рис. 4.6,ж). Два скручивающих момента Т1 и Т2 (см. рис. 4.6,а) вызывают кручение на участке АС крутящим моментом:
ТК = Т1 = Т2 = 1,23 кНм.
Построение эпюры эквивалентных изгибающих моментов МЭКВ (рис. 4.6,з). Для бруса круглого поперечного сечения эквивалентные изгибающие моменты по теории прочности максимальных касатель-ных напряжений подсчитывают по следующей формуле:
.
Найдем значения МЭКВ в характерных сечениях вала:
= 1,23 кНм;
= 1,79 кНм;
= 1,67 кНм;
= 1,122 кНм.
Участки эпюры, соответствующие интервалам вала DA и АС, нелинейны (пунктирные кривые с выпуклостью вниз). Как и в случае с эпюрой МИ, эти участки принимаем линейными (сплошные линии), а погрешность ведет к увеличению запаса прочности.
Подбор диаметров вала D1 и D2 (см. рис. 4.5,б) из условия стати-ческой прочности. Из эпюры МЭКВ видно, что наибольшие значения эквивалентного изгибающего момента соответствуют сечениям А и С. Минимально допустимое значение диаметра вала в сечении А:
Рис. 4.6
= 0,0645 м.
Здесь [ ] – допускаемое напряжение для вала, которое принято равным 70 МПа (табл. П.1, см. приложение). При этом учитывалось, что изменение напряжений во вращающемся вале происходит по симметричному циклу, а материал – углеродистая сталь марки 45 ( 
=900 МПа, см. табл. П.2).
Аналогично найдем минимально допустимое значение диаметра вала в сечении С:
= 0,0625 м.
Округлив полученное значение в миллиметрах D1 до ближайше-го большего числа, оканчивающегося на 0 или 5, получим D1 = 65 мм – диаметр сечений ступеней вала под подшипники.
Так как D2 < D1 , то диаметр сечения ступени вала под шестерню 2 в соответствии с рекомендацией (см. п. 4.2) принимаем равным
D2 = D1 + 5 = 65 + 5 = 70 мм.
Дата: 2016-10-02, просмотров: 179.
