Заметив, что функция 
аналитическая, т.е. для неё выполняются условия Коши-Римана, можно не раскрывать скобки предыдущим способом, а вычислить первообразную по 
в начальной и конечной точке.
= 
= 
, а дальше всё сводится просто к вычислению степени комплексного числа.
= 
, тогда
= 
.
Ответ.
Задача 58. Вычислить 
по участку единичной окружности в 1-й четверти от 1 до 
.
Решение. Здесь тоже можно вычислять как без, так и по формуле Ньютона-Лейбница. Но разница в объёме вычислений будет огромная.
Так как функция аналитическая, нам не важно, соединены точки по дуге окружности или по какой-то другой линии, на самом деле результат зависит только от первообразной в начальной и конечной точках. Сделаем по формуле Ньютона-Лейбница.
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 59. Вычислить 
по отрезку от 0 до 
.
Решение. Так как 
, то функция не аналитическая, т.к. частные производные от 
будут какие-то функции, а от 
нулевые, и точно не не будет совпадений, которые нужны для условий Коши-Римана. Поэтому формулу Ньютона-Лейбница здесь применить нельзя, а только универсальный способ с разложением на 
. Отрезок от (0,0) до (1,3), он характеризуется явным уравнением 
, при этом 
, 
.
= 
= 
=
= 
=
= 
.
Ответ. 
.
Задача 60. Вычислить 
.
Решение. Несмотря на то, что здесь интеграл по замкнутому контуру, применять интегральную формулу Коши нельзя, ведь функция не аналитическая, т.е. аналитичность нарушена не в изолированных точках, а во всей плоскости.
Сделаем разложение функции на Re и Im.
= 
= 
= 
=
.
После этого введём обычную для такой единичной окружности параметризацию через 
: 
, где 
.
При этом 
. После того, как выразим через , получается такое выражение, записанное в две строки:
+
.
Если привести подобные, то:
=
далее в действительной части используем формулу понижения степени, а в мнимой части подведение под знак дифференциала.
=
=
в мнимой части все интегралы окажутся 0, так как на верхнем и нижнем пределе 0 и 
, а тригонометрические функции совпадают в точках, отличающихся на , значит, формула Ньютона-Лейбница приведёт к 0.
=
= 
.
Ответ. 
.
Задача 61. Вычислить 
, где АВ - участок кубической параболы 
от (0,0) до (1,1).
Решение. = 
=
= 
.
Теперь сведём все получившиеся криволинейные интегралы к одной лишь переменной 
, заменяя 
и 
, где 
.
=
= 
=
= 
.
Ответ. 
.
Задача 62. Вычислить 
.
Решение. Здесь сумма степенных функций, они являются аналитическими. Поэтому используем формулу Ньютона-Лейбница.
= 
= 
.
Отдельно вычислим 
,
.
Тогда 
= 
.
Ответ. 
.
Задача 63. Вычислить 
.
Решение. 
= 
= 
.
Вычислим квадрат и куб этого числа. 
,
= 
.
Тогда 
= 
=
.
Ответ. .
Задача 64. Вычислить 
.
Решение. Можно применять формулу Ньютона-Лейбница, так как функция 
аналитическая.
, тогда:
, 
.
= 
= 
= 
= 
=
= 
.
Ответ. 
.
Интегральная формула Коши.
Следующая серия задач решается с помощью формул Коши:
и 
.
Здесь будут комбинированные задачи, состоящие из нескольких подзадач, где контур проводится сначала вокруг той или иной точки разрыва, а затем вокруг всех этих точек.
Задача 65. Вычислить 
, где контур 
:
А) 
Б) 
В) 
.
Решение. В знаменателе разложим на множители, и станет видно, что корни многочлена там 2 и 
.
= 
.
Если контур радиуса 0,5 окружает одну из точек, то надо применить интегральную формулу Коши, где точка 
одна из них, а именно, в первом пункте 
, а во втором 
. Надо убрать из знаменателя соответствующую скобку, и присвоить конкретное 
вместо 
в оставшейся части функции.
А) 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Б) 
= 
= 
= 
= 
= 
.
В) В третьем пункте, где контур окружает уже обе точки, достаточно будет воспользоваться теоремой Коши и суммировать результаты двух предыдущих пунктов. Получится 
.
Ответы. А) 
Б) 
В) 
.
Задача 66. Вычислить 
, где контур 
:
А) 
Б) 
В) 
Г) 
Д) 
.
Решение. В каждом случае применяем интегральную формулу Коши к той или иной точке разрыва функции, 2, 3 и 5. Убирая соответствующий множитель из знаменателя, затем подставляем в оставшуюся часть функции это число.
А) 
= 
= 
.
Б) 
= 
= 
.
В) 
= 
= 
.
Если радиус 6, то все 3 точки находятся внутри контура. Суммируем все 3 результата:
Г) 
+ 
= 0 .
В последнем случае, лишь две из трёх точек внутри контура:
Д) 
= 
.
Ответы. А) Б) 
В) Г) 0 Д) .
Задача 67. Вычислить 
.
Решение. = 
. Здесь две особые точки, это 
, они являются полюсами 1 порядка. Тогда в каждой из этих точек применим интегральную формулу Коши.
= 
=
= 
.
Ответ. 0.
Задача 68. Вычислить 
, где контур :
А) Б) 
В) 
.
Решение. В 1 пункте здесь корень 2 соответствует , а во втором корень 0, но он имеет кратность 2, поэтому надо будет сделать по обобщённой интегральной формуле Коши, то есть с помощью производной.
А) 
= 
= 
= 
.
Б) Здесь корень 0, он соответствует множителю 
, который, впрочем, можно было бы записать в виде скобки 
.
Конкретизируем обобщённую формулу Коши для 2 степени:
, при n=1: 
Тогда 
= 
= 
=
= 
= 
.
В) Здесь внутри контура обе особые точки, рассмотренные в предыдущих пунктах. По интегральной теореме Коши просто складываем результаты, полученные в 2 предыдущих пунктах. Получаем 
.
Ответы. А) Б) В) 
.
Задача 69. Вычислить 
, где контур :
А) Б) 
В) .
Решение.
А) 
= 
= 
= 
.
Б) В этом случае корень знаменателя имеет кратность 3, так что придётся считать с помощью 2-й производной.
Конкретизируем обобщённую формулу Коши для 3 степени:
, при n=2: 
. Тогда 
= 
=
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
В) 
= 0 .
Ответы. А) 
Б) В) 0 .
Задача 70. Вычислить 
, где контур :
А) 
Б) В) .
Решение.
А) 
= 
= 
= 0.
Б) 
= 
= 
= 
= 
.
В) 0+ 
= 
.
Ответы. А) 0 Б) 
В) 
.
Задача 71. Вычислить 
, где контур 
:
А) 
Б) В) 
Г) 
.
Решение. Так как здесь в интеграле уже изначально есть множитель 
, то домножать на 
в правой части не нужно.
А) 
= 
= 
.
Б) 
= 
= 
.
В) В отличие от двух первых точек, здесь в знаменателе корень 2-го порядка, поэтому подставляем 
не сразу, а после вычисления производной.
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Г) По интегральной теореме Коши, сумма интегралов по трём предыдущим контурам: 
+ 
= 0 .
Ответы. А) 
Б) В) 
Г) 0.
Задача 72. Вычислить 
.
Решение. Здесь две особые точки, 
полюс 1-го порядка и 
полюс 2-го порядка. Для 2-й точки надо применять обобщённую формулу Коши (с производной).
= 
=
= 
=
.
Ответ. 0.
Задача 73. Вычислить 
.
Решение. Внутри окружности радиуса 2 лежат 2 из 3 особых точек, а именно, 0 и 1, точка 3 снаружи.
Поэтому интегральную формулу Коши применяем только к двум точкам.
= 
.
Предварительно вычислим производную.
= 
= 
= 
.
Далее, 
=
= 
=
= 
.
Ответ. 
.
Задача 74. Вычислить 
.
Решение. Здесь степень множителя в знаменателе равна 2. Есть всего одна точка разрыва, а именно 
. Конкретизируем обобщённую интегральную формулу Коши для этого случая.
, при n = 1 получается
= 
.
Отсюда следует, что 
Тогда 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 74-Б. Вычислить 
.
Решение. Здесь степень множителя в знаменателе равна 3. Есть всего одна точка разрыва, а именно .
= 
.
Отсюда следует, что 
Тогда 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 75. Вычислить 
.
Решение. , тогда = 
= 
= 
= 
= 
Ответ. 
.
Особые точки и вычеты.
Задача 76. Найти все особые точки и определить их тип для функции 
.
Решение. Здесь нужно сначала преобразовать выражение в знаменателе, выделить множители, соответствующие каждому корню.
= 
= 
= 
. Таким образом, полюсы 1-го порядка: 
.
Ответ. Полюсы 1-го порядка: 
.
Задача 77. Найти все особые точки и определить их тип для функции 
.
Решение. Разложим знаменатель на множители, предварительно найдём корни с помощью дискриминанта.
= 
= 
. 
, корни 
, 
.
Тогда 
. Для знаменателя и 
нули порядка 1, значит, для функции это полюсы порядка 1.
Ответ. Полюсы 1-го порядка: , .
Задача 78. Найти все особые точки и определить их тип для функции 
.
Решение. Разложим знаменатель на множители,
= 
= 
.
При 
, 
, 
нули 1-го порядка в знаменателе, тогда для функции это полюсы 1 порядка.
Ответ. Полюсы 1-го порядка: 
.
Задача 79. Исследовать тип особой точки 
для 
.
Решение. Здесь в знаменателе 3-я степень, но в этой точке в числителе тоже 0, и он влияет на итоговый порядок полюса. Надо в числителе разложить в ряд, чтобы остались одни лишь только степенные функции, потом вынесем за скобку минимальную степень, и это будет определять порядок нуля в числителе.
= 
= 
В числителе и знаменателе нули соответственно 1-го и 3-го порядка. После сокращения на 
видно, что полюс 2 порядка, так как в скобках осталась функция, не стремящаяся к 0 в .
.
Ответ. 
полюс 2 порядка.
Дата: 2019-11-01, просмотров: 208.
