Необходимо рассмотреть несколько теоретических моментов.

Теорема 1. Функция  является решением линейного однородного дифференциального уравнения  есть характеристический корень. 

Доказательство. Ищем решение в виде . 

Если , то , , ... .

Подставим в уравнение .

Получим .

Во всех слагаемых одинаковая экспонента, вынесем её за скобку:  

.

Но поскольку , то .

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения тоже является его решением.

Доказательство.  (ДОК 23)

Пусть  и  - два различных решения уравнения

.

То есть, они оба обращают его в тождество:

 и

.

Надо доказать, что линейная комбинация  тоже подходит в качестве решения. Известно, что для производной, а также и последующих выполняется свойство линейности: , поэтому , , и т.д.

Тогда, подставляя линейную комбинацию в дифференциальное уравнение, получим:

 =

Но ведь в каждой скобке 0, так как каждая из этих функция была решением уравнения. Получается .

Таким образом, линейная комбинация решений тоже является решением линейного уравнения.

Задача 1.  Решить уравнение   .

Решение. Характеристическое уравнение: , оно сводится к виду , корни , . Тогда решениями могут быть только  и . Сделаем проверку для каждой из экспонент. Подставим каждую из них в уравнение.

1)  = .

2)  = .

Проверка выполнена. Обе экспоненты являются решениями.

При этом никакая третья экспонента не может служить решением этого же уравнения, потому что характеристический многочлен 2-й степени, и он имеет максимум 2 корня.

Их линейная комбинация .

Ответ. .

Задача 2. Найти общее решение дифф. уравнения .      

Решение. Характеристическое уравнение: , его корни

1 и . Тогда ФСР = , и общее решение: .

Ответ. .

Задача 3. Найти частное решение дифф. уравнения  при условиях Коши: .  

Решение. Характеристическое уравнение: , его корни: , . Тогда ФСР состоит из  и , общее решение такое: .

Теперь найдём решение задачи Коши. Сначала запишем функцию и её производную: и .

Кроме того, у нас есть информация: .

Тогда , . Получается система уравнений

вычитая 1-е уравнение из 2-го, находим, , т.е. , тогда . Тогда частное решение: .

Ответ. Общее решение , частное .

Задача 4. Решить уравнение   , найти частное решения для условий Коши: .

Решение. Характеристическое уравнение: , его корни: , . Тогда ФСР состоит из , общее решение такое: .

Теперь найдём решение задачи Коши. Сначала запишем функцию и её производную:

 и .

Кроме того, у нас есть информация: .

Ищем частное решение.

, 

,

Получается система уравнений

, решая её, находим из 2-го ,

откуда , . Тогда частное решение: .

Ответ. .

       Если  - корень кратности , то в системе решений будут присутствовать  , то есть одну и ту же экспоненту  раз включать в фундаменатльную систему решений нельзя, иначе фактическое количество функций в ФСР получится меньше, чем n.

Кроме самой экспоненты, нужно взять ещё и с домножением на степенные, по нарастанию степеней до .

Задача 5. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение: , то есть , характеристическое корни . Тогда ФСР: , а общее решение: . 

Ответ. .

Сделаем проверку. Для  очевидно. Проверим .

, тогда , .

 =  =  = = 0.

Если один из корней 0, то в ФСР присутствует экспонента вида , то есть контанта 1 принадлежит ФСР.

Задача 6. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение: , корни 0 и 5. Тогда ФСР: , а общее решение: . 

Ответ. .

***

Ещё одно небольшое теоретическое отступление. Докажем, что если 0 является корнем кратности , то система решений, соответствующих этому корню, имеет вид , то есть . Характеристическое уравнение обязательно имеет вид , так как  можно вынести за скобку  0 корень кратности . Но это значит, что исходное дифференциальное уравнение имеет вид .

Оно содержит производные порядка  и выше. Известно, что если степенную функцию продифференцировать столько раз, какова её степень, то получим константу, а если большее количество раз, то обратится в 0. Так, например,

, .

В данном уравнении производные порядка  и выше. Любая из степенных функций порядка  и ниже, а именно взятая из набора , является решением.

Случай комплексных корней. Если присутствуют два сопряжённых корня   то общее решение: .

Задача 7. Найти общее решение уравнения . 

Решение. Характеристическое уравнение: .

Ищем его корни. . Корни  =  =

 = . Найдём действительную и мнимую части функции  =  =  = .

Две линейно-независимых функции образуют ФСР:

 и . Общее решение: .

Ответ. .

Проверка. Проверим, например, одно из слагаемых.

 = .

Подставим в уравнение.  = 0.

Задача 8. Найти общее решение уравнения . 

Решение. Характеристическое уравнение: , т.е.  корни , то есть .  Две линейно-независимых функции образуют ФСР:  и .

Общее решение: .

Ответ. .