Приходовский М.А.
Математика
Курс практических занятий
Семестр 3
Учебное пособие для специальности
Прикладная информатика в экономике»
Томск
ТУСУР
2019
Электронное учебное пособие составлено по материалам практических занятий на ФСУ в группах 448-1,2 осенью 2019 года.
Оглавление
| Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка...... Циркуляция, формула Грина ......................................................... Потенциальные векторные поля .................................................... Действия над комплексными числами.......................................... Функции комплексного переменного............................................ Интегрирование функций комплексного переменного............... Интегральная формула Коши......................................................... Особые точки и вычеты.................................................................. | 5 15 19 25 32 44 50 59 |
Содержание по номерам задач и датам практик
| 448-1 | задачи: | 448-2 | ||
| Практика 1 | 2.9 | 1-10 | 7.9 | 1-10 |
| Практика 2 | 4.9 | 11-17 | 11.9 | 11-17 |
| Практика 3 | 9.9 | 18-27 | 14.9 | 18-27 |
| Практика 4 | 16.9 | 28-32* | 21.9 | 28-33* |
| Практика 5 | 18.9 | 33 - 44 | 25.9 | 34 - 44 |
| Практика 6 | 23.9 | 45 - 53 | 28.9 | 45 - 53 |
| Практика 7 | 30.9 | 54 - 58 * | 5.10 | 54 - 58* |
| Практика 8 | 2.10 | 59 - 66 | 9.10 | 59 - 66 |
| Практика 9 | 7.10 | 67 - 79 | 12.10 | 67 - 79 |
| Практика 10 | ||||
* на практике есть контрольная работа
Линейные неоднородные уравнения высшего порядка.
Циркуляция и формула Грина.
Задача 15.
Найти циркуляцию векторного поля 
по перемещению точки по границе верхнего полукруга радиуса 1 двумя методами:
А). без формулы Грина. Б). по формуле Грина.
Решение.
Решение А). без формулы Грина. В этом случае нужно для каждого участка - отрезка 
и полуокружности 
- вычислить работу поля отдельно. Чтобы обход всего контура осуществлялся один раз и против часовой стрелки, надо, чтобы движение по отрезку было слева направо 
(при этом 
, и 
), а по полуокружности справа налево, т.е. на ней использовать обычный метод параметрического задания точек: 
.
По 
: 
= 0.
По : 
=
, во втором интеграле очевидно, подведение под знак дифференциала, а в первом есть несколько путей решения:
1) с помощью замены, учитывая то, что суммарная степень чётна (изучали во 2 семестре).
2) применить формулу понижения степени к каждому из квадратов.
3) использовать то, что 
и формулу 
.
Наиболее оптимальным наверное, здесь будет 3-й путь.
= 
= 
= 
=
= 
= 
= 
.
Решение Б). По формуле Грина.
Если 
то 
.
Двойной интеграл по полукругу вычисляется с помощью полярных координат, это стандартная задача, которые решали во 2 семестре. Так как полукруг в верхней полуплоскости, то 
, а радиус 1, 
.
= 
= 
=
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 16. Найти циркуляцию векторного поля 
по перемещению точки по треугольнику с вершинами (0,0), (0,1), (1,1) с помощью формулы Грина.
Решение. Если не использовать формулу Грина, то на каждой из сторон - горизонтальной, вектикальной и наклонной - надо было бы отдельно провести вычисление работы поля. Используя формулу Грина, мы вычислим лишь один двойной интеграл.
.
Чертёж этого треугольника:
Далее следует стандартный метод вычисления двойного интеграла, изученный в прошлом семестре. Сначала спроецируем фигуру на ось Ох и найдём глобальные границы по 
, это 
. При каждом конкретном высота изменяется от наклонной линии 
до горизонтальной 
, то есть 
. Итак,
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 17. Найти циркуляцию векторного поля 
по перемещению точки по квадрату 
, с помощью формулы Грина.
Решение. 
, 
= 
= 
= 
.
Ответ. 0.
Задача 17*. (дополнительно, или домашняя). Найти циркуляцию векторного поля 
по перемещению точки по треугольнику с вершинами (0,0), (1,0), (1,1) с помощью формулы Грина.
Ответ. 
.
Решение.
Чтобы доказать, что поле потенциально, построим матрицу из всех 9 производных. В первом столбце по 
, во втором по 
и в 3-м по 
:
= 
Матрица симметрична поле потенциально.
Теперь ищем потенциал. Для этого соединим начальную точку с произвольной с помощью ломаной, чтобы каждое звено было параллельно какой-либо из осей координат.
Начальная точка, как правило, (0,0,0). Изменяющуюся переменную при этом будем обозначать через 
, чтобы отличать от переменных , , , которые в этих вычислениях будут использять роль верхнего предела в том или ином интеграле, либо роль фиксированной константы внутри функции. Получается такая сумма интегралов:
Применим это к конкретным функциям в этой задаче.
= 
= 
.
Вспомнив, что потенциал определяется с точность до константы, окончательный ответ можно записать так: 
.
Ответ. 
.
Задача 24. 
.
Решение. Найдём производную матрицу.
= 
Она симметрична, значит, поле потенциально. Ищем потенциал:
=
= 
= 
.
Ответ. 
.
Задача 25. 
.
Решение. 
= 
симметрична.
= 
= 
= 
. Ответ. 
.
Задача 26. 
.
Решение. 
= 
симметрична.
В данном случае мы не можем в качестве начальной точки взять (0,0,0), так как эти функции имеют там бесконечный предел. Однако можно рассматривать точку (1,1,1) .
= 
=
= 
=
= 
.
Ответ. 
.
Решение.
Для 1-го числа: 
, 
(та же точка, как в прошлой задаче).
Для 2-го числа: 
, 
. Тогда 
= 
= 
= 
= 
, прибавим 
, для удобства вычисления. Итак, 
= 
.
Ответ. 
.
Задача 30. Вычислить 
.
Решение. Представим в показательной форме каждое из чисел.
, 
и 
, 
. Тогда
= 
= 
= 
здесь в числителе прибавили угол 
, кратный 
, а в знаменателе отняли 
. Далее, = 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Домашняя задача. Вычислить 
. Ответ. 
Задача 31. Вычислить 
Решение. Формула: 
.
Сначала найдём модуль и аргумент исходного числа.
(т.к. 90 градусов и ещё 30 во второй четверти),
.
Тогда 
= 
= 
таким образом, 4 точки лежат на окружности, углы 300, 1200, 2100, 3000 (по +900 добавить 4 раза). Отмечены на чертеже зелёным. Здесь 4 корня:
: 
= 
= 
. 
: 
= 
= 
.
: 
= 
= 
.
: 
= 
= 
.
Чертёж:
Ответ. 
и 
.
Задача 32. Дано 
. Найти 
.
Решение. 
= 
= 
= 
.
Ответ. 
.
Задача 33. Дано 
. Найти .
Решение. 
= 
= 
. Далее с помощью прямоугольного треугольника вычислим 
. Если надо найти синус и косинус того угла, тангенс которого равен 3, то сначала подпишем длины катетов по известному тангенсу, гипотенуза 
вычислится автоматом по теореме Пифагора, а далее будет уже известны синус и косинус.
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 34. Дано 
. Найти .
Решение. 
= 
=
=
. Делаем аналогично тому, как в прошлой задаче, просто треугольник здесь во 2 четверти (угол 
отмеряется от 180 в обратном направлении).
Но гипотенуза всё равно легко вычисляется по теореме Пифагора: 
, тогда 
= 
.
Ответ. .
Задача 35. Найти все значения 
.
Решение. Используем формулу 
.
= 
. Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид: 
, 
, 
, ...
Ответ. 
.
Задача 36. Вычислить 
.
Решение. 
= 
. Последовательность значений такова: 
каждая соседняя пара отличается на 
по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для 
.
Ответ. 
.
Задача 37. Найти все значения 
.
Решение. Используем формулу .
Для числа 
, 
, 
. Тогда
.
Чертёж: бесконечная последовательность точек, на уровне абсциссы
, по высоте каждая пара соседних отличается на .
Ответ. .
Задача 38. Вычислить 
.
Решение. Представим 
, расположенную в основании, в виде 
. Тогда 
, причём чуть выше мы вычисляли
. Тогда = 
= 
т.е. получается бесконечное множество точек на действительной оси.
Ответ. 
.
Решение.
Способ 1.
Производная как от единой функции 
:
= 
, что в точке 
равно 
.
Способ 2.
По компонентам 
из предыдущей задачи:
= 
= 
,
в точке означает что в 
, т.е. данные функции надо вычислить в точке 
. Тогда 
= 
, как и том способе.
Ответ. .
Интегральная формула Коши.
Следующая серия задач решается с помощью формул Коши:
и 
.
Здесь будут комбинированные задачи, состоящие из нескольких подзадач, где контур проводится сначала вокруг той или иной точки разрыва, а затем вокруг всех этих точек.
Задача 65. Вычислить 
, где контур 
:
А) 
Б) 
В) 
.
Решение. В знаменателе разложим на множители, и станет видно, что корни многочлена там 2 и 
.
= 
.
Если контур радиуса 0,5 окружает одну из точек, то надо применить интегральную формулу Коши, где точка 
одна из них, а именно, в первом пункте 
, а во втором 
. Надо убрать из знаменателя соответствующую скобку, и присвоить конкретное 
вместо 
в оставшейся части функции.
А) 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Б) 
= 
= 
= 
= 
= 
.
В) В третьем пункте, где контур окружает уже обе точки, достаточно будет воспользоваться теоремой Коши и суммировать результаты двух предыдущих пунктов. Получится 
.
Ответы. А) 
Б) 
В) 
.
Задача 66. Вычислить 
, где контур 
:
А) 
Б) 
В) 
Г) 
Д) 
.
Решение. В каждом случае применяем интегральную формулу Коши к той или иной точке разрыва функции, 2, 3 и 5. Убирая соответствующий множитель из знаменателя, затем подставляем в оставшуюся часть функции это число.
А) 
= 
= 
.
Б) 
= 
= 
.
В) 
= 
= 
.
Если радиус 6, то все 3 точки находятся внутри контура. Суммируем все 3 результата:
Г) 
+ 
= 0 .
В последнем случае, лишь две из трёх точек внутри контура:
Д) 
= 
.
Ответы. А) Б) 
В) Г) 0 Д) .
Задача 67. Вычислить 
.
Решение. = 
. Здесь две особые точки, это 
, они являются полюсами 1 порядка. Тогда в каждой из этих точек применим интегральную формулу Коши.
= 
=
= 
.
Ответ. 0.
Задача 68. Вычислить 
, где контур :
А) Б) 
В) 
.
Решение. В 1 пункте здесь корень 2 соответствует , а во втором корень 0, но он имеет кратность 2, поэтому надо будет сделать по обобщённой интегральной формуле Коши, то есть с помощью производной.
А) 
= 
= 
= 
.
Б) Здесь корень 0, он соответствует множителю 
, который, впрочем, можно было бы записать в виде скобки 
.
Конкретизируем обобщённую формулу Коши для 2 степени:
, при n=1: 
Тогда 
= 
= 
=
= 
= 
.
В) Здесь внутри контура обе особые точки, рассмотренные в предыдущих пунктах. По интегральной теореме Коши просто складываем результаты, полученные в 2 предыдущих пунктах. Получаем 
.
Ответы. А) Б) В) 
.
Задача 69. Вычислить 
, где контур :
А) Б) 
В) .
Решение.
А) 
= 
= 
= 
.
Б) В этом случае корень знаменателя имеет кратность 3, так что придётся считать с помощью 2-й производной.
Конкретизируем обобщённую формулу Коши для 3 степени:
, при n=2: 
. Тогда 
= 
=
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
В) 
= 0 .
Ответы. А) 
Б) В) 0 .
Задача 70. Вычислить 
, где контур :
А) 
Б) В) .
Решение.
А) 
= 
= 
= 0.
Б) 
= 
= 
= 
= 
.
В) 0+ 
= 
.
Ответы. А) 0 Б) 
В) 
.
Задача 71. Вычислить 
, где контур 
:
А) 
Б) В) 
Г) 
.
Решение. Так как здесь в интеграле уже изначально есть множитель 
, то домножать на 
в правой части не нужно.
А) 
= 
= 
.
Б) 
= 
= 
.
В) В отличие от двух первых точек, здесь в знаменателе корень 2-го порядка, поэтому подставляем 
не сразу, а после вычисления производной.
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Г) По интегральной теореме Коши, сумма интегралов по трём предыдущим контурам: 
+ 
= 0 .
Ответы. А) 
Б) В) 
Г) 0.
Задача 72. Вычислить 
.
Решение. Здесь две особые точки, 
полюс 1-го порядка и 
полюс 2-го порядка. Для 2-й точки надо применять обобщённую формулу Коши (с производной).
= 
=
= 
=
.
Ответ. 0.
Задача 73. Вычислить 
.
Решение. Внутри окружности радиуса 2 лежат 2 из 3 особых точек, а именно, 0 и 1, точка 3 снаружи.
Поэтому интегральную формулу Коши применяем только к двум точкам.
= 
.
Предварительно вычислим производную.
= 
= 
= 
.
Далее, 
=
= 
=
= 
.
Ответ. 
.
Задача 74. Вычислить 
.
Решение. Здесь степень множителя в знаменателе равна 2. Есть всего одна точка разрыва, а именно 
. Конкретизируем обобщённую интегральную формулу Коши для этого случая.
, при n = 1 получается
= 
.
Отсюда следует, что 
Тогда 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 74-Б. Вычислить 
.
Решение. Здесь степень множителя в знаменателе равна 3. Есть всего одна точка разрыва, а именно .
= 
.
Отсюда следует, что 
Тогда 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 75. Вычислить 
.
Решение. , тогда = 
= 
= 
= 
= 
Ответ. 
.
Особые точки и вычеты.
Задача 76. Найти все особые точки и определить их тип для функции 
.
Решение. Здесь нужно сначала преобразовать выражение в знаменателе, выделить множители, соответствующие каждому корню.
= 
= 
= 
. Таким образом, полюсы 1-го порядка: 
.
Ответ. Полюсы 1-го порядка: 
.
Задача 77. Найти все особые точки и определить их тип для функции 
.
Решение. Разложим знаменатель на множители, предварительно найдём корни с помощью дискриминанта.
= 
= 
. 
, корни 
, 
.
Тогда 
. Для знаменателя и 
нули порядка 1, значит, для функции это полюсы порядка 1.
Ответ. Полюсы 1-го порядка: , .
Задача 78. Найти все особые точки и определить их тип для функции 
.
Решение. Разложим знаменатель на множители,
= 
= 
.
При 
, 
, 
нули 1-го порядка в знаменателе, тогда для функции это полюсы 1 порядка.
Ответ. Полюсы 1-го порядка: 
.
Задача 79. Исследовать тип особой точки 
для 
.
Решение. Здесь в знаменателе 3-я степень, но в этой точке в числителе тоже 0, и он влияет на итоговый порядок полюса. Надо в числителе разложить в ряд, чтобы остались одни лишь только степенные функции, потом вынесем за скобку минимальную степень, и это будет определять порядок нуля в числителе.
= 
= 
В числителе и знаменателе нули соответственно 1-го и 3-го порядка. После сокращения на 
видно, что полюс 2 порядка, так как в скобках осталась функция, не стремящаяся к 0 в .
.
Ответ. 
полюс 2 порядка.
Приходовский М.А.
Математика
Курс практических занятий
Семестр 3
Учебное пособие для специальности
Дата: 2019-11-01, просмотров: 266.
