Рассмотрим ещё один метод решения дифференциальных уравнений, основанный на использовании потенциала поля. Пусть дано дифференциальное уравнение вида ,
причем . Тогда это уравнение называется «уравнением в полных дифференциалах». Здесь является потенциальным векторным полем. В этом случае уравнение можно представить в виде , а значит, . Затем остаётся только выразить через .
Задача 27. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Проверяем тип уравнения. Здесь , . При этом
, ведь , . То есть, векторное поле потенциально. Ищем потенциал. Соединяем точки (0,0) и с помощью ломаной, и вычисляем:
= = . Итак, . Тогда общее решение дифф. уравнения.
Ответ. .
Глава 2. Теория функций комплексного переменного.
Действия над комплексными числами.
Задача 28. Возвести в степень .
Решение. Чертёж:
Катеты имеют длину и , поэтому в полярных коорданатах:
, .
Тогда в показательной форме, а тогда =
= = далее раскроем по формуле Эйлера: , но синус и косинус не зависят от добавления и вычитания полного оборота , поэтому получается = = . Ответ. .
Задача 29. Вычислить в показательной форме .
Решение.
Для 1-го числа: , (та же точка, как в прошлой задаче).
Для 2-го числа: , . Тогда = = = = , прибавим , для удобства вычисления. Итак, = .
Ответ. .
Задача 30. Вычислить .
Решение. Представим в показательной форме каждое из чисел.
, и , . Тогда
= = = здесь в числителе прибавили угол , кратный , а в знаменателе отняли . Далее, = = = = = = .
Ответ. .
Домашняя задача. Вычислить . Ответ.
Задача 31. Вычислить
Решение. Формула: .
Сначала найдём модуль и аргумент исходного числа.
(т.к. 90 градусов и ещё 30 во второй четверти),
.
Тогда = = таким образом, 4 точки лежат на окружности, углы 300, 1200, 2100, 3000 (по +900 добавить 4 раза). Отмечены на чертеже зелёным. Здесь 4 корня:
: = = .
: = = .
: = = .
: = = .
Чертёж:
Ответ. и .
Задача 32. Дано . Найти .
Решение. = = = .
Ответ. .
Задача 33. Дано . Найти .
Решение. = = . Далее с помощью прямоугольного треугольника вычислим . Если надо найти синус и косинус того угла, тангенс которого равен 3, то сначала подпишем длины катетов по известному тангенсу, гипотенуза вычислится автоматом по теореме Пифагора, а далее будет уже известны синус и косинус.
= = .
Ответ. .
Задача 34. Дано . Найти .
Решение. = =
=
. Делаем аналогично тому, как в прошлой задаче, просто треугольник здесь во 2 четверти (угол отмеряется от 180 в обратном направлении).
Но гипотенуза всё равно легко вычисляется по теореме Пифагора: , тогда = .
Ответ. .
Задача 35. Найти все значения .
Решение. Используем формулу .
= . Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид: , , , ...
Ответ. .
Задача 36. Вычислить .
Решение. = . Последовательность значений такова: каждая соседняя пара отличается на по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для .
Ответ. .
Задача 37. Найти все значения .
Решение. Используем формулу .
Для числа , , . Тогда
.
Чертёж: бесконечная последовательность точек, на уровне абсциссы
, по высоте каждая пара соседних отличается на .
Ответ. .
Задача 38. Вычислить .
Решение. Представим , расположенную в основании, в виде . Тогда , причём чуть выше мы вычисляли
. Тогда = = т.е. получается бесконечное множество точек на действительной оси.
Ответ. .
Дата: 2019-11-01, просмотров: 206.