Рассмотрим ещё один метод решения дифференциальных уравнений, основанный на использовании потенциала поля. Пусть дано дифференциальное уравнение вида ,
причем . Тогда это уравнение называется «уравнением в полных дифференциалах». Здесь
является потенциальным векторным полем. В этом случае уравнение можно представить в виде
, а значит,
. Затем остаётся только выразить
через
.
Задача 27. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Проверяем тип уравнения. Здесь ,
. При этом
, ведь
,
. То есть, векторное поле
потенциально. Ищем потенциал. Соединяем точки (0,0) и
с помощью ломаной, и вычисляем:
=
=
. Итак,
. Тогда
общее решение дифф. уравнения.
Ответ. .
Глава 2. Теория функций комплексного переменного.
Действия над комплексными числами.
Задача 28. Возвести в степень .
Решение. Чертёж:
Катеты имеют длину и
, поэтому в полярных коорданатах:
,
.
Тогда в показательной форме, а тогда
=
=
=
далее раскроем по формуле Эйлера:
, но синус и косинус не зависят от добавления и вычитания полного оборота
, поэтому получается
=
=
. Ответ.
.
Задача 29. Вычислить в показательной форме .
Решение.
Для 1-го числа: ,
(та же точка, как в прошлой задаче).
Для 2-го числа: ,
. Тогда
=
=
=
=
, прибавим
, для удобства вычисления. Итак,
=
.
Ответ. .
Задача 30. Вычислить .
Решение. Представим в показательной форме каждое из чисел.
,
и
,
. Тогда
=
=
=
здесь в числителе прибавили угол
, кратный
, а в знаменателе отняли
. Далее,
=
=
=
=
=
=
.
Ответ. .
Домашняя задача. Вычислить . Ответ.
Задача 31. Вычислить
Решение. Формула: .
Сначала найдём модуль и аргумент исходного числа.
(т.к. 90 градусов и ещё 30 во второй четверти),
.
Тогда =
=
таким образом, 4 точки лежат на окружности, углы 300, 1200, 2100, 3000 (по +900 добавить 4 раза). Отмечены на чертеже зелёным. Здесь 4 корня:
:
=
=
.
:
=
=
.
:
=
=
.
:
=
=
.
Чертёж:
Ответ. и
.
Задача 32. Дано . Найти
.
Решение. =
=
=
.
Ответ. .
Задача 33. Дано . Найти
.
Решение. =
=
. Далее с помощью прямоугольного треугольника вычислим
. Если надо найти синус и косинус того угла, тангенс которого равен 3, то сначала подпишем длины катетов по известному тангенсу, гипотенуза
вычислится автоматом по теореме Пифагора, а далее будет уже известны синус и косинус.
=
=
.
Ответ. .
Задача 34. Дано . Найти
.
Решение. =
=
=
. Делаем аналогично тому, как в прошлой задаче, просто треугольник здесь во 2 четверти (угол
отмеряется от 180 в обратном направлении).
Но гипотенуза всё равно легко вычисляется по теореме Пифагора: , тогда
=
.
Ответ. .
Задача 35. Найти все значения .
Решение. Используем формулу .
=
. Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид:
,
,
, ...
Ответ. .
Задача 36. Вычислить .
Решение. =
. Последовательность значений такова:
каждая соседняя пара отличается на
по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для
.
Ответ. .
Задача 37. Найти все значения .
Решение. Используем формулу .
Для числа ,
,
. Тогда
.
Чертёж: бесконечная последовательность точек, на уровне абсциссы
, по высоте каждая пара соседних отличается на
.
Ответ. .
Задача 38. Вычислить .
Решение. Представим , расположенную в основании, в виде
. Тогда
, причём чуть выше мы вычисляли
. Тогда
=
=
т.е. получается бесконечное множество точек на действительной оси.
Ответ. .
Дата: 2019-11-01, просмотров: 213.