Основные понятия и формулы

• Закон Ампера

 или ,

 где  сила, действующая на элемент тока , помещенный в магнит­ное ноле с индукцией  ; – угол между направлениями поля и тока.

• Магнитный момент контура с током

где  – сила тока в контуре;  – площадь, охватываемая контуром;  – единичный вектор нормали к поверхности , ограниченной контуром с током (направление  определяется по правилу буравчика).

• Вращательный момент, действующий на контур с током, помещен­ный в магнитное поле,

, или ,

 где  – угол между векторами  и .

• Сила , действующая на заряд q, движущийся со скоростью  в маг­нитном поле (сила Лоренца),

, или ,

где  – угол между векторами  и .

• Поток вектора магнитной индукции  (магнитный поток);

а) в случае произвольной поверхности S и неоднородного поля

,

где  - проекция вектора  на направление нормали  к эле­менту поверхности dS (  – угол между векторами  и );

б) в случае однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору ,

.

• Полный поток магнитной индукции, сцепленный с витками контура (потокосцепление),

,

где  – магнитный поток через один виток; – число витков контура.

• Работа но перемещению контура с током в магнитном поле

,

 где  – сила тока в контуре; – изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную замкнутым контуром (в случае перемещения проводника в магнитном поле – поток, «заметаемый» проводником при перемещении).

Методические указания и примеры решения задач

При решении задач по данной теме необходимо:

· показать на рисунке направление сил, действующих со стороны магнитного поля на проводник с током или движущийся заряд;

· помнить, что сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током или движущийся заряд, всегда перпендикулярна направлению вектора магнитной индукции;

· для определения направления силы применять правило левой руки: если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная проводнику со­ставляющая вектора магнитной индукции входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали на направление движения положительных заря­дов (по току), то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы;

· при наличии нескольких полей или сил различной природы использовать принцип суперпозиции;учитывать различное направление сил со стороны электрического и маг­нитного полей, действующих на движущийся заряд;

§ в случае равновесия системы проводников с током или зарядов использо­вать для каждого из них общие условия равновесия: , .

Пример 2.8. В однородном магнитном поле (В = 0,02 Тл) в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное полукольцо длиной  = 3 см, по которому течет ток = 0,1 А. Найти силу, действующую на полукольцо, если подводящие провода находятся вне поля.

Дано:  В = 0,02 Тл, l= 3 см, I = 0,1 A; F- ?

Решение

Согласно закону Ампера сила , действующая на элемент тока  со стороны магнитного поля В, определяется по формуле , где  – угол между направлением поля  и тока , равный по условию задачи 90°. Поэтому . Направление силы , определяемое по правилу левой руки, показано на рис.2.

                        Рис.2.

При переходе от одного элемента полукольца к другому направление элементарных сил, оставаясь радиальным, непрерывно меняется. Поэтому искомую результирующую силу F будем искать по формуле , где  и  - проекции силы F на координатные оси X и Y. Эти проекции определяются интегрированием:

, ,

где dF_x и dF_y – проекции элементарных сил dF на координатные  оси, символ  указывает на то, что интеграл берется по всей длине полукольца. Учитывая симметрию полукольца, имеем . Тогда результирующая сила

                                 .                            (1)

Из рис.2 следует , или, после подстановки , . Поскольку , где  – угол, стягиваемый дугой dl, то . Теперь введем dF_y под знак интеграла (1) и проинтегрируем по  в пределах от  до :

.

Подставив в правую часть полученного равенства  получим окончательно

                                         .                             (2)

 Проверим, дает ли правая часть (2) единицу силы (Н):

Подставив значения величин в (2), найдем .

Согласно выражению (1) сила F направлена вдоль оси Х. Заметим, что если полукольцо распрямить, то все элементарные силы  будут направлены вдоль оси Y, что приведет к увеличению результи­рующей силы; если же полукольцо превратить в кольцо, то последнее будет растя­гиваться или сжиматься в зависимости от направления тока в кольце.

Пример 2.9. Рядом с бесконечно длинным проводом, по которому течет ток силы = 5 А, расположена квадратная рамка со стороной  = 10 см и током  = 0,2 А. Рамка лежит в одной плоскости с проводником, так, что ее сторона, бли­жайшая к проводу нахо­дится от него на расстоя­нии а = 5 см, ток в ней противоположен по на­правлению току  в прово­де (см. рис.). Определить работу при удалении рамки из магнитного поля. Считать, что при движении рамки токи  и  поддерживаются постоянными.

Дано: , , см, см ; ?

Решение

Рассмотрим два способа решения задачи.

Первый способ Квадратная рамка с током находится в неоднородном маг­нитном поле прямого проводника с током . Индукция этого поля

                  (1)

где x – расстояние от проводника до рассматриваемой точки поля.

Сила, с которой поле действует на каждую сторону рамки, может быть определена суммированием элементарных сил Ампера

dF = I′ dlBsinα,                              (2)

где  – угол между направлениями тока и поля.

    Направление сил, действующих на стороны рамки, определим по правилу левой руки. Учитывая, что для всех элементов одной и той же стороны рамки (левой или правой) величина индукции одинакова и sinα = 1, найдем силы, действующие на каждую из этих сторон:

               , .        (3)

Что касается других сторон рамки (верхней и нижней), то поскольку они расположены одинаково по отношению к длинному проводу и токи в них про­тивоположны по направлению, то действующие на них силы F ₃ и F ₄ должны быть уравновешенными. Следовательно, равнодействующая всех сил, при­ложенных к рамке, равна  и направлена так, что рамка будет выталкиваться из поля. Используя выражения (1) и (3), представим силы  и  в следующем виде

                  (4)

Работа выталкивания рамки из магнитного поля складывается из поло­жительной работы силы  и отрицательной работы силы :

                (5)

При вычислении работы А учтем, что сила ,  переместив левую сторону рамки на расстояние , при дальнейшем перемещении совер­шает такую же работу, как и сила  на всем пути перемещения правой сто­роны рамки, но с противоположным знаком. Таким образом,

Второй способ. Для определения работ А можно воспользоваться формулой

                   ,                      (6)

где  и  – магнитные потоки через площадь, ограниченную контуром, до и после ее перемещения. Поскольку вне поля магнитный поток через рамку Ф₂ = = 0, то (6) принимает следующий вид:

                     (7)

Поток  найдем по формуле:

,

где  – проекция вектора  на нормаль к плоскости рамки. По­скольку вектор  магнитного поля длинного провода перпендикулярен плоскости рамки и составляет угол  с ее нормалью, то . Сле­довательно, поток  является отрицательным, а изменение потока  и ра­бота, выражаемая формулой (6) – положительны. При вычислении  следует иметь в виду, что поле, в котором распо­ложена рамка, неоднородно, т.е. зависит от : . Следовательно, элементарный поток  также будет зависеть от x: , где  – площадь элементарной полоски длиной  и шириной  (полоска расположена парал­лельно длинному проводу). Тогда полный поток

Подставив полученное выражение Ф в формулу (7), найдем

Этот результат совпадает с ответом, полученным первым способом.

    Заметим, что в рассмотренном случае работа совершается за счет сил Ампера, действующих в плоскости рамки и выталкивающих рамку из маг­нитного поля, создаваемого длинным проводом с током. В действительности рамка находится в неустойчивом равновесии и при малейшем его нарушении может развернуться на 180°, после чего начнет притягиваться к длинному проводу. Однако в этом случае рамка будет двигаться так, что магнитный поток через нее будет увеличиваться . Можно убедиться, что формула (6) справедлива для расчета работы по перемещению контура любой формы, в произвольном по конфигурации магнитном поле и произвольном перемещении. В случае проводника конечных размеров формула (6) тоже считается справедливой, усложняется лишь расчет величины .