Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Контрольная работа №2

 Электростатика и постоянный ток

Электростатическое поле

Основные понятия и формулы

Электростатика изучает электрическое поле неподвижных зарядов (дискретных и однородно распределенных)

• Закон Кулона ,

где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂ на расстоянии r; ε – диэлектрическая проницаемость среды (безразмерная величина, ε = 1 в вакууме); ε₀ = 8,85·10^-12Ф/м – электрическая постоянная. Фарада – единица электроемкости.

· Закон сохранения заряда  означает, что алгебраическая

сумма электрических зарядов изолированной системы сохраняется.

· Напряженность электрического поля  - это сила, действующая со стороны пволя на единичный точечный заряд, помещенный в данную точку поля.

· Напряженность поля точечного заряда в вакууме .

В диэлектрике , где - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, а - вектор электрического смещения.

· Циркуляция вектора E по замкнутому контуру L: .

· Работа электростатической силы по замкнутому контуру .

· Поток вектора E через замкнутую поверхность , где E_n – проекция  на нормаль  к элементу поверхности dS

· Теорема Остроградского-Гаусса , где  - алгебраическая сумма зарядов внутри замкнутой поверхности S.

· Принцип суперпозиции электрических полей

Напряженность поля двух и более точечных зарядов в данной точке пространства равна геометрической сумме напряженностей, создаваемых этими зарядами, т.е.

· Напряженность поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити на расстоянии r от ее оси, , где τ – линейная плотность заряда т.е. заряд единицы длины [Кл / м] .

· Напряженность поля металлической сферы радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии r от центра сферы:

 

E = 0 (при r < R);

 (при r>R);

 (при r = R).

· Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости

 , где σ – поверхностная плотность заряда, т.е. заряд единицы площади [Кл/м²].

 

Методические указания и примеры решения задач

Метод расчета электростатического поля выбирается в зависимости от того, как распределены заряды в пространстве.

1. Электрическое поле системы точечных зарядов вычисляется методом суперпозиции полей: .

2. Поля однородного распределения зарядов на телах симметричной формы (плоскостях, нитях, сферах, шарах, цилиндрах и т. д.) вычисляются методом Гаусса. Реализация метода начинается с записи теоремы Гаусса ,затем выбирается поверхность, согласованная с симметрией заряженного тела, т.е. поверхность S должна быть геометрическим местом точек, для которых E=const . Тогда поток . Далее подсчитав заряды внутри этой поверхности по теореме Гаусса определяют E.

3. Поля однородного распределения зарядов любой симметрии вычисляют методом дифференцирования-интегрирования (ДИ), при этом используется принцип суперпозиции электрических полей, созданных квазиточечными зарядами. Реализация метода ДИ осуществляется в три этапа:

a)  Анализ задачи и запись нужного физического закона (например, закона Кулона, или формулы для E ) в дифференциальной форме. Это расширяет область использования закона (формулы), позволяя применить его (их) к неточечным зарядам.

b) Подготовка дифференциальной формы (пункт а)) к интегрированию: выбор удобной переменной интегрирования, учет симметрии задачи и т.п.

c) Интегрирование рабочей формулы ,  и т. д.

Пример 2.1.

       Использовать метод Гаусса для нахождения напряженности  поля равномерно заряженной нити с линейной плотностью τ (Кл/м).

Дано: τ ; E_нити(r) - ?

Решение: Выбираем замкнутую поверхность Гаусса в виде цилиндра длиной l и радиусом r, соосного с нитью. В силу осевой (аксиальной) симметрии величина напряженности E будет одинаковой в любой точке боковой поверхности цилиндра. Поэтому поток напряженности через замкнутую цилиндрическую поверхность S будет , так как поток  через основания цилиндра равен 0, а суммарный заряд внутри S равен τ l, то по теореме Гаусса  или .

       Анализ результата: полученное выражение показывает, что поле вокруг нити неоднородно , в отличие, например, от поля однородно заряженной плоскости. /Уместно упомянуть о сходстве полученной формулы с выражением индукции магнитного поля прямого тока I: .

Пример 2.2.

       Определить напряженность поля отрезка однородно заряженной нити в точке О, не лежащей против середины данного отрезка и находящейся на расстоянии r₀ от него. Линейная плотность заряда нити τ, длина нити l.

Дано : l, τ , r₀, E_o(r_o) - ?

Решение: Равномерная заряженность отрезка нити и отсутствие высокой симметрии (центральной и аксиальной) в задаче заставляют обратиться к методу ДИ. Выделим на отрезке квазиточечный заряд dq = τ dl и определим поле dE₀ этого заряда в точке 0. Искомая напряженность E_o( r_o) получится в результате суперпозиции напряженностей dE₀ от всех dl, составляющих отрезок l. Асимметричное расположение точки О относительно концов отрезка приводит к тому, что результирующий вектор E_o( r_o) будет иметь составляющие E_ox = E_o cosα и E_oy = E_o sinα ,которые определяют интегрированием dE_ox и dE_oy соответственно. Отметим, что при интегрировании линейные переменные необходимо заменить на более удобные угловые т.е. ( r, dl→ α, dα ). Из рассмотрения подобных заштрихованных треугольников получим: ,

_. В результате необходимые для интегрирования dE_ox и dE_oy будут выглядеть следующим образом:

, .

Третий этап метода ДИ- интегрирование:

Анализ результата: При α₁ =α₂=α задача становится симметричной и E_{0 y} =0, а

, что на множитель sinα отличается от напряженности поля бесконечной нити. Рассматриваемый отрезок превращается в такую нить при  и в этом случае . Таким образом, наш результат позволяет получить известные формулы как частный случай. Это подтверждает его правильность.

Потенциал. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.

Основные понятия и формулы.

· Потенциал электростатического поля -это потенциальная энергия единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля.

·  - Потенциальная энергия заряда q в поле с потенциалом φ.

· - работа по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂ ; работа сил поля в этом случае может быть также рассчитана , где E_l – проекция вектора Е на направление перемещения dl .

· Связь напряженности и потенциала электростатического поля

·  или , где  - векторный дифференциальный оператор (Набла ).

· Для однородного поля напряженностью E разность потенциалов , где d – расстояние между точками с потенциалами φ₁ и φ₂ .

· Потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда  , где ε – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей заряд

· Потенциал электрического поля, создаваемого сферической поверхностью с зарядом Q и радиуса R, в точке удаленной на расстояние r от центра сферы:

 ( при );

 ( при  ) .

Видно, что последняя формула совпадает с выражением для потенциала точечного заряда.

· Потенциал электрического поля, создаваемого системой n точечных зарядов согласно принципу суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности: .

Методические указания и примеры решения задач

Метод расчета потенциалов электрических полей ,также как и напряженностей, определяется распределением зарядов в пространстве.

Потенциал системы точечных зарядов рассчитывается по принципу суперпозиции.

Потенциал поля непрерывно распределенных зарядов рассчитывается методом не сам потенциал, а разность потенциалов. Так, например, формула  выражает потенциал поля точечного заряда на расстоянии r от него, справедлива в предположении, что потенциал φ=0 при r→∞.

В основе метода определения разности потенциалов лежит соотношение

, связывающее разность потенциалов двух точек поля с напряженностью в области между этими точками. Задача такого рода упрощается в случае симметричных полей с заранее известным распределением напряженности E( r).

Пример2.3 Положительный заряд q равномерно распределен по кольцу радиуса R . Найти потенциал на оси кольца как функцию расстояния h от центра кольца.

Дано: q,R; ?

Решение: Заряд, распределенный по кольцу , нельзя считать точечным поэтому воспользуемся методом ДИ. Разобьем кольцо на элементарные отрезки dl .Заряд такого отрезка будет , а потенциал , создаваемый этим зарядом , можно определить по формуле потенциала точечного заряда ,тогда получим: , где r- расстояние от элемента кольца до точки, в которой определяется потенциал,т.е

 

Подставив это выражение в  и интегрируя, найдем .

Анализ полученной функции φ( h) показывает:

1. Потенциал поля в произвольной точке на оси кольца зависит от заряда q и не зависит от того является ли распределение заряда по кольцу равномерным или неравномерным;
2. Потенциал является положительным для всех значений h и имеет максимальное значение в центре кольца.

Закон Ома.

Основные понятия и формулы

· Сила тока , или , где  q- количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника за время t

· Плотность тока    или  , где  S – площадь поперечного сечения проводника

· Сопротивление однородного проводника , где ρ – удельное сопротивление проводника, l- его длина

· Проводимость G проводника и удельная проводимость  вещества :

·                                   

Зависимость удельного сопротивления от температуры , где  и - удельные сопротивления, соответственно при t и 0 С,  - температурный коэффициент сопротивления

Правила Кирхгофа

Основные понятия и формулы

При расчете разветвленных электрических цепей постоянного тока пользуются двумя правилами (законами) Кирхгофа.

Первое правило относится к узлам цепей, т.е. к точкам, в которых сходятся не менее трех проводников: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю,т.е.  (при этом токи «втекающие» в узел считаются положительными, а «вытекающие» -отрицательными).

Второе правило относится к замкнутым контурам цепей: алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, действующих в нем, т.е .При этом силы токов и ЭДС считаются положительными, если их направление совпадают с выбранным (произвольно) направлением обхода контура.

Пример 2.6. Определить все токи (I₁…I₅) в разветвленной цепи, если заданы R₁…R₅ и E₁…E₅.

Решение. Произвольно выбираем направление токов. Применяем 1-ое правило Кирхгофа к одному из двух узлов (только один независим): . Произвольно выбираем направление обхода в двух контурах (только два из трех контуров независимы). Применяем 2-ое правило Кирхгофа в выбранных контурах:

       Таким образом, мы имеем три уравнения для трех неизвестных токов (I₁, I₂, I₅). Получение отрицательного значения какого-либо тока означает, что первоначальный выбор направления этого тока был неправильным и его надо изменить.

Магнитостатика.

Расчет магнитных полей постоянных токов
различной конфигурации

Основные понятия и формулы

• Закон Био - Савара – Лапласа

,

где  – вектор магнитной индукции, создаваемый элементом тока ; – сила тока; – вектор, равный по модулю длине элемента проводника и совпадающий по направлению с током; – радиус-вектор, проведенный от середины элемента  в точку, где определяется магнитная индукция; – магнитная проницаемость среды;  - магнитная постоянная .

• Модуль вектора магнитной индукции

,

где  – угол между векторами  и .

• Принцип суперпозиции магнитных полей

,

где  – магнитная индукция результирующего поля;  – магнитная индукция суммируемых полей:

• Магнитная индукция в центре кругового проводника с током

,

где Гн/м – магнитная постоянная; – радиус кривизны проводника; – сила тока.

 

• Магнитная индукция поля в точке, лежащей на оси кругового про­водника с током на расстоянии h от его центра,

• Магнитная индукция поля, создаваемого участком проводника,

,

где  и  - углы между осью проводника и прямыми, проведенными из концов проводника в точку наблюдения (см. рис. 5).

• Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным пря­мым проводником с током,

,

 где  –  расстояние от оси проводника до точки наблюдения.

• Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороидом на его оси),

,

где - число витков, приходящихся на единицу длины соленоида (тороида); - сила тока в одном витке.

Методические указания и примеры решения задач

Математические методы расчета магнитных полей выбираются в зависимости от того, какова конфигурация токов, практически они являются теми же, что и методы расчета электрических полей.

При расчете магнитных полей необходимо:

• указать основные законы и формулы, на которых базируется решение задачи (если при решении задачи применяется формула, имеющая частный харак­тер, не выражающая какой-либо физический закон или определение физи­ческой величины, её следует вывести);
• знать правила изображения магнитных полей: вектор  в каждой точке силовой линии направлен по касательной к ней, а густота линий пропорциональна значению ; силовые линии магнитной индукции замкнуты, не пересекаются и не соприкасаются;
• применять для определения направления поля правило буравчика: если направление поступательного движения буравчика совпадает с направле­нием тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением линий магнитной индукции;
• знать, что мнемоническое правило буравчика связано с правилом вектор­ного умножения векторов;
• использовать принцип суперпозиции парциальных (слагаемых) полей: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током в отдельности.

Пример 2.7  Из проволоки длиной м сделана квадратная рамка. По рамке течет ток 1 = 10 А. Найти магнитную индукцию  в центре рамки.

Дано:  м, 1 = 10 А; - ?

Решение

Согласно принципу суперпозиции полей магнитная индукция  квадратной рамки равна векторной сумме магнитных индукций, создаваемых каждой стороной в отдельности:

. Учитывая, что эти векторы и точке О имеют одинаковое направление и в силу симметрии рамки равны по модулю, имеем . Таким образом, задача нахождения  сводится к определению магнитной индукции, создаваемой одной из сторон рамки, например . Для определения запишем сначала в дифференциальной форме основной закон, на котором основано решение задач:

Принимая во внимание, что индукция магнитного поля каждого элемен­та тока  имеет в точке О одно и то же направление, получим

где символ l указывает, что интеграл берется по длине одной стороны рамки. Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы можно было проинтегрировать по углу . Пусть элемент  виден из точки О под углом . Тогда длина дуги, стягивающей этот угол, . С другой стороны, как это следует из малого прямоугольного треугольника ABC (см. рис.1), можно написать: . Теперь, учитывая приведенное выражение , найдем . Разделив левую и правую части найденного равенства  на , получим  или , где . Подставив это выражение под знак интеграла в формуле для магнитной индукции , получим

.

Учтем, что угол ; расстояние . Тогда магнитная индукция, создаваемая одной стороной рамки, , а искомая магнитная индукция . Подставив значения величин, найдем

Тл мкТл.

Направление вектора  показано кружком с крестиком в центре рамки. Заметим, что при расчете магнитных полей постоянных токов, создаваемых проводниками произвольной конфигурации так же, как и при расчете электростатических полей, широко используется принцип суперпозиции. Закон Био – Савара – Лапласа сначала записывается в основной дифференциальной форме, затем подготавливается к интегрирова­нию рабочая формула и осуществляется необходимое интегрирование.

Основные понятия и формулы

• Закон Ампера

 или ,

 где  сила, действующая на элемент тока , помещенный в магнит­ное ноле с индукцией  ; – угол между направлениями поля и тока.

• Магнитный момент контура с током

где  – сила тока в контуре;  – площадь, охватываемая контуром;  – единичный вектор нормали к поверхности , ограниченной контуром с током (направление  определяется по правилу буравчика).

• Вращательный момент, действующий на контур с током, помещен­ный в магнитное поле,

, или ,

 где  – угол между векторами  и .

• Сила , действующая на заряд q, движущийся со скоростью  в маг­нитном поле (сила Лоренца),

, или ,

где  – угол между векторами  и .

• Поток вектора магнитной индукции  (магнитный поток);

а) в случае произвольной поверхности S и неоднородного поля

,

где  - проекция вектора  на направление нормали  к эле­менту поверхности dS (  – угол между векторами  и );

б) в случае однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору ,

.

• Полный поток магнитной индукции, сцепленный с витками контура (потокосцепление),

,

где  – магнитный поток через один виток; – число витков контура.

• Работа но перемещению контура с током в магнитном поле

,

 где  – сила тока в контуре; – изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную замкнутым контуром (в случае перемещения проводника в магнитном поле – поток, «заметаемый» проводником при перемещении).

Методические указания и примеры решения задач

 

При решении задач по данной теме необходимо:

· показать на рисунке направление сил, действующих со стороны магнитного поля на проводник с током или движущийся заряд;

· помнить, что сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током или движущийся заряд, всегда перпендикулярна направлению вектора магнитной индукции;

· для определения направления силы применять правило левой руки: если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная проводнику со­ставляющая вектора магнитной индукции входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали на направление движения положительных заря­дов (по току), то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы;

· при наличии нескольких полей или сил различной природы использовать принцип суперпозиции;учитывать различное направление сил со стороны электрического и маг­нитного полей, действующих на движущийся заряд;

§ в случае равновесия системы проводников с током или зарядов использо­вать для каждого из них общие условия равновесия: , .

Пример 2.8. В однородном магнитном поле (В = 0,02 Тл) в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное полукольцо длиной  = 3 см, по которому течет ток = 0,1 А. Найти силу, действующую на полукольцо, если подводящие провода находятся вне поля.

Дано:  В = 0,02 Тл, l= 3 см, I = 0,1 A; F- ?

Решение

Согласно закону Ампера сила , действующая на элемент тока  со стороны магнитного поля В, определяется по формуле , где  – угол между направлением поля  и тока , равный по условию задачи 90°. Поэтому . Направление силы , определяемое по правилу левой руки, показано на рис.2.

                        Рис.2.

 

При переходе от одного элемента полукольца к другому направление элементарных сил, оставаясь радиальным, непрерывно меняется. Поэтому искомую результирующую силу F будем искать по формуле , где  и  - проекции силы F на координатные оси X и Y. Эти проекции определяются интегрированием:

, ,

где dF_x и dF_y – проекции элементарных сил dF на координатные  оси, символ  указывает на то, что интеграл берется по всей длине полукольца. Учитывая симметрию полукольца, имеем . Тогда результирующая сила

                                 .                            (1)

Из рис.2 следует , или, после подстановки , . Поскольку , где  – угол, стягиваемый дугой dl, то . Теперь введем dF_y под знак интеграла (1) и проинтегрируем по  в пределах от  до :

.

Подставив в правую часть полученного равенства  получим окончательно

                                         .                             (2)

 Проверим, дает ли правая часть (2) единицу силы (Н):

Подставив значения величин в (2), найдем .

Согласно выражению (1) сила F направлена вдоль оси Х. Заметим, что если полукольцо распрямить, то все элементарные силы  будут направлены вдоль оси Y, что приведет к увеличению результи­рующей силы; если же полукольцо превратить в кольцо, то последнее будет растя­гиваться или сжиматься в зависимости от направления тока в кольце.

Пример 2.9. Рядом с бесконечно длинным проводом, по которому течет ток силы = 5 А, расположена квадратная рамка со стороной  = 10 см и током  = 0,2 А. Рамка лежит в одной плоскости с проводником, так, что ее сторона, бли­жайшая к проводу нахо­дится от него на расстоя­нии а = 5 см, ток в ней противоположен по на­правлению току  в прово­де (см. рис.). Определить работу при удалении рамки из магнитного поля. Считать, что при движении рамки токи  и  поддерживаются постоянными.

Дано: , , см, см ; ?

Решение

Рассмотрим два способа решения задачи.

Первый способ Квадратная рамка с током находится в неоднородном маг­нитном поле прямого проводника с током . Индукция этого поля

                  (1)

где x – расстояние от проводника до рассматриваемой точки поля.

Сила, с которой поле действует на каждую сторону рамки, может быть определена суммированием элементарных сил Ампера

dF = I′ dlBsinα,                              (2)

где  – угол между направлениями тока и поля.

    Направление сил, действующих на стороны рамки, определим по правилу левой руки. Учитывая, что для всех элементов одной и той же стороны рамки (левой или правой) величина индукции одинакова и sinα = 1, найдем силы, действующие на каждую из этих сторон:

               , .        (3)

Что касается других сторон рамки (верхней и нижней), то поскольку они расположены одинаково по отношению к длинному проводу и токи в них про­тивоположны по направлению, то действующие на них силы F ₃ и F ₄ должны быть уравновешенными. Следовательно, равнодействующая всех сил, при­ложенных к рамке, равна  и направлена так, что рамка будет выталкиваться из поля. Используя выражения (1) и (3), представим силы  и  в следующем виде

                  (4)

Работа выталкивания рамки из магнитного поля складывается из поло­жительной работы силы  и отрицательной работы силы :

                (5)

При вычислении работы А учтем, что сила ,  переместив левую сторону рамки на расстояние , при дальнейшем перемещении совер­шает такую же работу, как и сила  на всем пути перемещения правой сто­роны рамки, но с противоположным знаком. Таким образом,

       

 

Второй способ. Для определения работ А можно воспользоваться формулой

                   ,                      (6)

где  и  – магнитные потоки через площадь, ограниченную контуром, до и после ее перемещения. Поскольку вне поля магнитный поток через рамку Ф₂ = = 0, то (6) принимает следующий вид:

                     (7)

Поток  найдем по формуле:

,

где  – проекция вектора  на нормаль к плоскости рамки. По­скольку вектор  магнитного поля длинного провода перпендикулярен плоскости рамки и составляет угол  с ее нормалью, то . Сле­довательно, поток  является отрицательным, а изменение потока  и ра­бота, выражаемая формулой (6) – положительны. При вычислении  следует иметь в виду, что поле, в котором распо­ложена рамка, неоднородно, т.е. зависит от : . Следовательно, элементарный поток  также будет зависеть от x: , где  – площадь элементарной полоски длиной  и шириной  (полоска расположена парал­лельно длинному проводу). Тогда полный поток

Подставив полученное выражение Ф в формулу (7), найдем

Этот результат совпадает с ответом, полученным первым способом.

    Заметим, что в рассмотренном случае работа совершается за счет сил Ампера, действующих в плоскости рамки и выталкивающих рамку из маг­нитного поля, создаваемого длинным проводом с током. В действительности рамка находится в неустойчивом равновесии и при малейшем его нарушении может развернуться на 180°, после чего начнет притягиваться к длинному проводу. Однако в этом случае рамка будет двигаться так, что магнитный поток через нее будет увеличиваться . Можно убедиться, что формула (6) справедлива для расчета работы по перемещению контура любой формы, в произвольном по конфигурации магнитном поле и произвольном перемещении. В случае проводника конечных размеров формула (6) тоже считается справедливой, усложняется лишь расчет величины .

Основные понятия и формулы

Явление электромагнитной индукции заключается в том, что при любом изменении магнитного потока ,  сцепленного с данным контуром, в по­следнем возникает электродвижущая сила индукции . Явление электромаг­нитной индукции описывается законом Фарадея и правилом Ленца.

• Закон Фарадея. Величина ЭДС индукции пропорциональна скорости из­менения магнитного потока:

,

где – число витков контура; Ф – поток через один виток; – потокосцепление; знак минус связан с правилом Ленца, определяющим направ­ление тока индукции.

• Правило Ленца. ЭДС индукции, а, следовательно, и индукционный ток в контуре всегда имеют такое направление, что магнитное поле индуциро­ванного тока препятствует тем изменениям основного потока магнитного поля, которые вызвали появление индукционного тока.

• Потокосцепление контура

, где  – индуктивность; – сила тока в контуре.

• Индуктивность соленоида с немагнитным сердечником

,

где ,  - соответственно, площадь поперечного сечения и длина соленоида.

Ток индукции в контуре с сопротивлением R

.

• Полный заряд, протекающий по контуру за время  изменения магнитного потока,

.

• ЭДС индукции на концах проводника, движущеюся с постоянной скоростью  в магнитном поле с индукцией ,

,

где – длина проводника.

• Энергия магнитного поля, связанного с контуром индуктивностью L, по которому течет ток ,

.

Методические указания и примеры решения задач

 

При решении задач на данную тему необходимо:

§ применять закон Фарадея при любом изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную проводящим контуром, или перемещении проводника в магнитном поле;

§ учитывать, что величина ЭДС индукции определяется скоростью измене­ния магнитного потока и не зависит от величины потока;

§ иметь в виду, что закон сохранения энергии выполняется для любых фи­зических процессов и явлений: не составляет исключение и явление элек­тромагнитной индукции: получение тока индукции всегда связано с рабо­той, которую необходимо совершить, чтобы тем или иным способом из­менить потокосцепление.

Анализ задачи следует начинать с определения причин, вызвавших из­менение магнитного потока или причин перераспределения зарядов. Это по­зволяет найти по правилу Ленца знак ЭДС индукции и направление тока ин­дукции. Если дан замкнутый контур, поток через который изменяется по тем или иным причинам, то его следует выразить как функцию времени. Тогда ЭДС индукции может быть найдена путем последующего дифференцирова­ния этой функции. Если дан проводник и в задаче требуется найти разность потенциалов на концах проводника, движущегося в магнитном ноле, то надо иметь в виду, что искомая разность потенциалов численно равна ЭДС индук­ции в проводнике. В этом случае, в зависимости от условия задачи, ЭДС ин­дукции находят либо тоже по формуле, выражающей закон Фарадея, где под  следует понимать магнитный поток, пересекаемый движущимся про­водником в единицу времени, либо исследуя силы Лоренца, действующие на свободные заряды в движущемся проводнике.

Пример 2.10. Рамка площадью см  равномерно вращается с частотой с  относительно оси, лежащей в плоскости рамки. Ось вращения перпендикулярна линиям индукции однородного магнитного поля . Каково максимальное и среднее значения ЭДС индукции за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от максимального значения до нуля?

Дано: см м , с , ;

Решение

На рисунке показано мгновенное положение рамки под углом φ к направлению магнитного поля. Угол между нор-малью к рамке и направлением магнитного поля, как видно из рисунка,  Поэтому поток, пронизывающий рам-ку,   Учитывая, что за время  угол поворота  где n – частота вращения рамки (число оборотов, совершаемых рамкой за 1 с), для изменения потока со временем можно записать

.                     (1)

Согласно закону Фарадея ЭДС индукции определяется скоростью изменения потока:

.                                  (2)

Подставив в формулу (2) выражение (1) и продифференцировав по времени, найдем зависимость мгновенного значения ЭДС индукции от времени:

.              (3)

Максимальное значение ЭДС (амплитуда):

Для нахождения среднего значения ЭДС индукции следует воспользоваться формулой

где – изменение магнитного потока за время  поворота рамки из положения, при котором рамка параллельна магнитному полю в положение, при котором она перпендикулярна ему. За это время рамка повернется на угол . Поток при этом изменится от значения Ф₁ = 0 до значения Ф₂ = BS. Изменение потока за это время составит ΔФ = BS. Время Δt найдем из условия . Отсюда получаем . Следовательно, искомое среднее значение ЭДС индукции

.                             (4)

Убедимся в том, что правая часть полученной расчетной формулы дает единицу ЭДС вольт (В):

.

Производя вычисления по формуле (4), получим

Задачи данного параграфа связаны с расчетом магнитного поля при наличии магнитных сред и базируются на знании свойств диа-, пара- и ферромагнетиков. Расчет полей значительно упрощается введением вектора напряженности , как характеристики магнитного поля, определяемой через векторы  и  соотношением . Особенность вектора  состоит в том, что его циркуляция не зависит от магнитных свойств среды, в которой находится выбранный контур интегрирования, а определяется лишь алгебраической суммой токов проводимости, охватываемых этим контуром. Вектор  – магнитный момент, возникающий при намагничивании среды. Вектор  характеризует магнитное поле с учетом влияния среды.

      При решении уравнения, полученного в результате применения теоремы о циркуляции вектора , часто используется соотношение . При этом важно обращать внимание на то, что относительная магнитная проницаемость  ферромагнетика сама зависит от  и является величиной переменной.

       Важно также, что магнитные свойства сердечника зависят от его формы. В рассматриваемых ниже решениях задач это показано на примере сердечников, имеющих форму тора сплошного или с узким воздушным зазором.

Интерференция света

Основные понятия и формулы

Интерференция света — усиление или ослабление света в результате сложения двух (или нескольких) световых волн с одинаковыми частотами и с независящей от времени разностью фаз (такие волны называют когерентными).

· Оптическая разность хода D двух лучей, один из которых проходит путь длиной l₁ в среде с показателем преломления n₁, а с другой - путь l₂ в среде с показателем преломления n₂

D = l₂n₂ – l₁n_1.

· Условие максимального усиления света (интерференционные максимумы)

,

где m = 0,1,2,...; l – длина волны.

· Условие максимального ослабления света (интерференционные минимумы)

,

где m = 0,1,2,..; l – длина волны.

· Оптическая разность хода лучей в тонких пленках в отраженном свете

,

где d – толщина пленки; n – показатель преломления вещества пленки; a – угол падения.

· Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете

,

где m = 1,2,3,... – порядковый номер кольца, R – радиус кривизны линзы.

· Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете

,

где m = 1,2,3,... – порядковый номер кольца, R – радиус кривизны линзы.

Методические указания и примеры решения задач

В качестве общего подхода к решению задач на интерференцию света используются следующие действия:

1) выясняются причины появления оптической разности хода между интерферирующими лучами и находится эта разность;

2) записываются условия интерференционных максимумов или минимумов;

3) из этих условий и определяется искомая величина.

Задачи на интерференцию света в основном делятся на две группы.

К задачам первой группы относятся случаи интерференции, полученной с помощью зеркала Ллойда, зеркал Френеля, бипризмы Френеля, в опыте Юнга др. В этих задачах для расчета интерференционной картины удобно данную оптическую систему заменить другой, эквивалентной, считая при этом, что имеется не один, а два когерентных источника.

Вторую группу составляют задачи на интерференцию в плоскопараллельных, клинообразных тонких слоях, а также задачи на кольца Ньютона.

При решении этих задач следует обратить внимание на то, что разность фаз когерентных волн при встрече, и, следовательно, результат интерференции, обусловлены двумя причинами: оптической разностью хода и условиями отражения обеих волн.

Если отражение происходит от границы с оптически более плотной средой, фаза волны претерпевает изменение на π. Если отражение происходит от границы с оптически менее плотной средой, то скачка фазы не происходит.

Пример 2.11 На толстую стеклянную пластинку с показателем преломления , покрытую тонким слоем пленки с показателем преломления , под углом  падает пучок лучей монохроматического света с длиной волны . Определить минимальную толщину пленки, если отраженный свет максимально ослаблен.

Дано: , , , ;

Решение

На границу раздела воздух-пленка падает плоская монохроматическая волна, угол падения которой  На границе раздела волна частично отражается, частично преломляется. Волны, отраженные от верхней поверхности пластинки и отраженные от нижней и затем преломленные на верхней, будут когерентными и при наложении интерферируют.

Результат интерференции зависит от того, какому условию удовлетворяет оптическая разность хода.

Отраженный свет максимально ослаблен, следовательно, при интерференции выполняется условие минимума:

где

Оптическая разность хода указанных волн

.

Волна, отраженная от верхней поверхности пленки, изменяет фазу на π и точно также на π изменится фаза волны, отраженной от нижней поверхности пленки. Поэтому добавочная разность фаз и разность хода не возникает .

Таким образом, оптическая разность хода указанных волн

Условие минимума освещенности:

Найдем толщину пленки d:

Пример 2.12 При освещении клина с углом 2,2·10^–4 рад пучком параллельных лучей с длиной волны 0,66 мкм, падающим нормально к поверхности, образуются интерференционные полосы, причем на длине 1 см, укладываются 10 темных полос. Определить показатель преломления материала пластины.

Дано: α = 2,2·10^–4 рад, λ = 0,66 мкм, l = 10^–2 м, Ν = 10; n = ?

Решение

В данном случае интерферируют лучи 1 и 2 отраженные от двух поверхностей клина (рис. ). Так как интерференция на клине наблюдается при малых углах α, лучи 1 и 2 можно считать параллельными.

Оптическую разность хода лучей можно определить по формуле , учтя, что при нормальном падении лучей на пластину i = 0. Условие m-го интерференционного минимума может быть записано в виде

, или ,

где – толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеру m.

Пусть темной полосе m + N соответствует толщина   . Тогда . Согласно условию задачи на расстоянии l укладывается Ν полос. Из рисунка видно, что . Учитывая, что при малых углах  и подставляя значения , получим .

Отсюда находим показатель преломления

.

Дифракция света

Основные понятия и формулы

Дифракция света — явления, связанные с отклонением светового луча от прямолинейности при распространении света в среде с резкими неоднородностями.

· Радиусы зон Френеля для сферического волнового фронта     

                            ,                          (1)

где m = 1,2,3,... – порядковый номер зоны; l – длина волны света; a – расстояние от источника света до сферического фронта волны; b – расстояние от сферического фронта волны до точки наблюдения.

Элементы квантовой механики

Основные понятия и формулы

· Длина волны де Бройля

,

где р – импульса частица.

· Соотношение неопределенностей Гейзенберга

где Δх – неопределенность координаты; Δр – неопреде-ленность импульса; ΔЕ – неопределенность энергии; Δt – неопределенность времени.

Методические указания и примеры решения задач

Пример 2.18 Найти длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией: 1) Т = 100 эВ; 2) Т =3 МэВ.

Дано: Т =100 эВ; Т =3 МэВ; λ =?

Решение

Поскольку длина волны де Бройля , то задача сводится к выражению импульса p электрона через его кинетическую энергию Т. Решение задачи зависит от того, классической или релятивистской частицей следует считать электрон.

1.В первом случае Т << m_oc², где m_oc² =0,51 МэВ – энергия покоя электрона, то электрон является классической частицей, его импульс и кинетическая энергия связаны соотношением: . Отсюда , подставив его в формулу длины волны де Бройля, получим:

.

2.Во втором случае , поэтому электрон следует считать релятивистской частицей, для которой импульс и энергия связаны:

. Тогда для дебройлевской длины волны получим выражение:

 Пример 2.19 Электрон с кинетической энергией Т= 4 эВ локализован в области размером l=1 мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.

Дано: Т= 4 эВ= 4·1,6·10^-19 = 6,4·10^-19 Дж, l=10^{-6 м.}

Решение

Полагая в соотношении неопределенностей , получаем для неопределен-ности модуля скорости электрона формулу  где m – масса электрона. Учитывая, что по условию задачи  находим  Таким образом, для относительной неопределенности модуля скорости электрона получаем оценку  Подставляя численные значения величин, находим

 

Контрольная работа №2

 Электростатика и постоянный ток

Электростатическое поле

Основные понятия и формулы

Электростатика изучает электрическое поле неподвижных зарядов (дискретных и однородно распределенных)

• Закон Кулона ,

где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂ на расстоянии r; ε – диэлектрическая проницаемость среды (безразмерная величина, ε = 1 в вакууме); ε₀ = 8,85·10^-12Ф/м – электрическая постоянная. Фарада – единица электроемкости.

· Закон сохранения заряда  означает, что алгебраическая

сумма электрических зарядов изолированной системы сохраняется.

· Напряженность электрического поля  - это сила, действующая со стороны пволя на единичный точечный заряд, помещенный в данную точку поля.

· Напряженность поля точечного заряда в вакууме .

В диэлектрике , где - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, а - вектор электрического смещения.

· Циркуляция вектора E по замкнутому контуру L: .

· Работа электростатической силы по замкнутому контуру .

· Поток вектора E через замкнутую поверхность , где E_n – проекция  на нормаль  к элементу поверхности dS

· Теорема Остроградского-Гаусса , где  - алгебраическая сумма зарядов внутри замкнутой поверхности S.

· Принцип суперпозиции электрических полей

Напряженность поля двух и более точечных зарядов в данной точке пространства равна геометрической сумме напряженностей, создаваемых этими зарядами, т.е.

· Напряженность поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити на расстоянии r от ее оси, , где τ – линейная плотность заряда т.е. заряд единицы длины [Кл / м] .

· Напряженность поля металлической сферы радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии r от центра сферы:

 

E = 0 (при r < R);

 (при r>R);

 (при r = R).

· Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости

 , где σ – поверхностная плотность заряда, т.е. заряд единицы площади [Кл/м²].

 

Методические указания и примеры решения задач

Метод расчета электростатического поля выбирается в зависимости от того, как распределены заряды в пространстве.

1. Электрическое поле системы точечных зарядов вычисляется методом суперпозиции полей: .

2. Поля однородного распределения зарядов на телах симметричной формы (плоскостях, нитях, сферах, шарах, цилиндрах и т. д.) вычисляются методом Гаусса. Реализация метода начинается с записи теоремы Гаусса ,затем выбирается поверхность, согласованная с симметрией заряженного тела, т.е. поверхность S должна быть геометрическим местом точек, для которых E=const . Тогда поток . Далее подсчитав заряды внутри этой поверхности по теореме Гаусса определяют E.

3. Поля однородного распределения зарядов любой симметрии вычисляют методом дифференцирования-интегрирования (ДИ), при этом используется принцип суперпозиции электрических полей, созданных квазиточечными зарядами. Реализация метода ДИ осуществляется в три этапа:

a)  Анализ задачи и запись нужного физического закона (например, закона Кулона, или формулы для E ) в дифференциальной форме. Это расширяет область использования закона (формулы), позволяя применить его (их) к неточечным зарядам.

b) Подготовка дифференциальной формы (пункт а)) к интегрированию: выбор удобной переменной интегрирования, учет симметрии задачи и т.п.

c) Интегрирование рабочей формулы ,  и т. д.

Пример 2.1.

       Использовать метод Гаусса для нахождения напряженности  поля равномерно заряженной нити с линейной плотностью τ (Кл/м).

Дано: τ ; E_нити(r) - ?

Решение: Выбираем замкнутую поверхность Гаусса в виде цилиндра длиной l и радиусом r, соосного с нитью. В силу осевой (аксиальной) симметрии величина напряженности E будет одинаковой в любой точке боковой поверхности цилиндра. Поэтому поток напряженности через замкнутую цилиндрическую поверхность S будет , так как поток  через основания цилиндра равен 0, а суммарный заряд внутри S равен τ l, то по теореме Гаусса  или .

       Анализ результата: полученное выражение показывает, что поле вокруг нити неоднородно , в отличие, например, от поля однородно заряженной плоскости. /Уместно упомянуть о сходстве полученной формулы с выражением индукции магнитного поля прямого тока I: .

Пример 2.2.

       Определить напряженность поля отрезка однородно заряженной нити в точке О, не лежащей против середины данного отрезка и находящейся на расстоянии r₀ от него. Линейная плотность заряда нити τ, длина нити l.

Дано : l, τ , r₀, E_o(r_o) - ?

Решение: Равномерная заряженность отрезка нити и отсутствие высокой симметрии (центральной и аксиальной) в задаче заставляют обратиться к методу ДИ. Выделим на отрезке квазиточечный заряд dq = τ dl и определим поле dE₀ этого заряда в точке 0. Искомая напряженность E_o( r_o) получится в результате суперпозиции напряженностей dE₀ от всех dl, составляющих отрезок l. Асимметричное расположение точки О относительно концов отрезка приводит к тому, что результирующий вектор E_o( r_o) будет иметь составляющие E_ox = E_o cosα и E_oy = E_o sinα ,которые определяют интегрированием dE_ox и dE_oy соответственно. Отметим, что при интегрировании линейные переменные необходимо заменить на более удобные угловые т.е. ( r, dl→ α, dα ). Из рассмотрения подобных заштрихованных треугольников получим: ,

_. В результате необходимые для интегрирования dE_ox и dE_oy будут выглядеть следующим образом:

, .

Третий этап метода ДИ- интегрирование:

Анализ результата: При α₁ =α₂=α задача становится симметричной и E_{0 y} =0, а

, что на множитель sinα отличается от напряженности поля бесконечной нити. Рассматриваемый отрезок превращается в такую нить при  и в этом случае . Таким образом, наш результат позволяет получить известные формулы как частный случай. Это подтверждает его правильность.

Потенциал. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.

Основные понятия и формулы.

· Потенциал электростатического поля -это потенциальная энергия единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля.

·  - Потенциальная энергия заряда q в поле с потенциалом φ.

· - работа по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂ ; работа сил поля в этом случае может быть также рассчитана , где E_l – проекция вектора Е на направление перемещения dl .

· Связь напряженности и потенциала электростатического поля

·  или , где  - векторный дифференциальный оператор (Набла ).

· Для однородного поля напряженностью E разность потенциалов , где d – расстояние между точками с потенциалами φ₁ и φ₂ .

· Потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда  , где ε – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей заряд

· Потенциал электрического поля, создаваемого сферической поверхностью с зарядом Q и радиуса R, в точке удаленной на расстояние r от центра сферы:

 ( при );

 ( при  ) .

Видно, что последняя формула совпадает с выражением для потенциала точечного заряда.

· Потенциал электрического поля, создаваемого системой n точечных зарядов согласно принципу суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности: .

Методические указания и примеры решения задач

Метод расчета потенциалов электрических полей ,также как и напряженностей, определяется распределением зарядов в пространстве.

Потенциал системы точечных зарядов рассчитывается по принципу суперпозиции.

Потенциал поля непрерывно распределенных зарядов рассчитывается методом не сам потенциал, а разность потенциалов. Так, например, формула  выражает потенциал поля точечного заряда на расстоянии r от него, справедлива в предположении, что потенциал φ=0 при r→∞.

В основе метода определения разности потенциалов лежит соотношение

, связывающее разность потенциалов двух точек поля с напряженностью в области между этими точками. Задача такого рода упрощается в случае симметричных полей с заранее известным распределением напряженности E( r).

Пример2.3 Положительный заряд q равномерно распределен по кольцу радиуса R . Найти потенциал на оси кольца как функцию расстояния h от центра кольца.

Дано: q,R; ?

Решение: Заряд, распределенный по кольцу , нельзя считать точечным поэтому воспользуемся методом ДИ. Разобьем кольцо на элементарные отрезки dl .Заряд такого отрезка будет , а потенциал , создаваемый этим зарядом , можно определить по формуле потенциала точечного заряда ,тогда получим: , где r- расстояние от элемента кольца до точки, в которой определяется потенциал,т.е

 

Подставив это выражение в  и интегрируя, найдем .

Анализ полученной функции φ( h) показывает:

1. Потенциал поля в произвольной точке на оси кольца зависит от заряда q и не зависит от того является ли распределение заряда по кольцу равномерным или неравномерным;
2. Потенциал является положительным для всех значений h и имеет максимальное значение в центре кольца.

Электрическая емкость. Конденсаторы.