Рассмотрим множество  и его покрытие . Пару  мы будем далее называть картой.

Произвольная карта  позволяет ввести на множестве  отношение толерантности , определенное условием: , если существует такое , что одновременно  и . Так определенную толерантность  мы назовем толерантностью, порожденную картон . Очевидно, каждое  является предклассом порожденной толерантности .

Если  – пространство толерантности и  – множество всех классов толерантности в этом пространстве, то, в силу леммы 2.3.3 толерантность, порожденная картой , совпадает с исходной толерантностью . Аналогичное утверждение справедливо и для произвольного базиса  в пространстве .

Карта  называется канонической, если каждый элемент  покрытия  оказывается классом толерантности, порожденной исходной картон . Легко видеть, что если карта  является канонической, то  содержит некоторый базис , порожденный толерантности: .

На рис. 1 изображена некоторая карта , а справа система классов порожденной толерантности (впрочем, в данном случае эта система состоит из одного класса). Этот пример показывает, в частности, существование неканонических карт.

Каждая карта  естественным образом приводит к всюду определенному соответствию

которое каждому элементу  сопоставляет все те , для которых . Наоборот, если дано некоторое всюду определенное соответствие , то оно порождает покрытие  множества , состоящее из прообразов элементов из  при соответствии . Таким образом,  тогда и только тогда, когда существует такое , что  есть множество элементов из , которым соответствие  сопоставляет . Обозначим для дальнейшего прообраз элемента  при соответствии  через .

По соответствию можно построить отображение,

которое каждому элементу  сопоставляет непустое множество элементов , для которых . С помощью отображении толерантность , порожденная исходной картой , выражается условием , если . Можно ввести еще и отношение , определяемое условием: , если . , очевидно, является эквивалентностью.

Посмотрим на примерах, как канонические признаки выражаются через исходные признаки карты. В примере на рис. 1 Имеем .

В примере на рис. 2а, изображено соответствие: , где , . Нa рис. 2б изображены классы порожденной толерантности. Легко проверить, что , .

На рис 3 исходная карта уже является канонической. Но если взять каноническую карту  с полным набором классов толерантности, то получим, что . Посмотрим далее, каким образом и всегда ли канонические признаки могут быть выражены через исходные.

Теорема

Для произвольной карты  любой класс порожденной толерантности  всегда может быть выражен через элементы покрытия  с помощью операций пересечения и объединения.

Доказательство. Рассмотрим некоторый класс толерантности . Пусть . По определению класса, для всякого , , а по определению толераптности существует признак  такой, что . Тогда 1) ; 2) . Действительно, 1) следует из того, что  для всех признаков , a 2) следует из того, что всякий , принадленжащий , толерантен к . Поскольку  – произвольный элемент из , по свойству максимальности класса . Отсюда вытекает, что , что доказывает теорему.

Подчеркнем, что канонические признаки оправляются через исходные без перехода к дополнениям. О связи между исходными и каноническими признаками говорит также.

Теорема

Существует такой базис классов порожденной толерантности, что каждый из классов этого базиса содержит некоторое множество .

Доказательство. По определению толерантности в  для всякого  любая пара  и  толерантна. Значит,  есть предкласс. Тогда по лемме 2.3.2 получается существует класс . Выберем для каждого  один из классов . Очевидно, выбранная совокупность классов удовлетворяет условию 1) из определения 1.4.1. Значит, она содержит некоторый базис .

Следствие. Когда  конечно, то существует базис классов толерантности, число классов в котором не превышает количества исходных признаков.

Рассмотрим исходную карту  и полученную из нее каноническую карту , где  – базис. Как уже было отмечено, отношения толерантности, издаваемые на множестве обьектов  обеими картами, совпадают.

Несколько иначе обстоит дело с отношением эквивалентности , задаваемым на  с помощью определения, приведенного в начале параграфа. Пусть  – отношение эквивалентности, заданное исходным множеством признаков , а  – отношение эквивалентности, заданное по . Как показывает пример на рис. 1, отношения  и  могут и не совпадать. В общем, случае справедлива

Теорема

Если выполнено соотношение: , то выполнено и соотношение , т.е. .

Доказательство. Если , то совокупности исходных признаков  и , выполненных для  и , совпадают. Из теоремы 2.6.1 вытекает, что для каждого класса толерантности  и  одновременно содержатся или не содержатся в нем. Таким образом,  и  имеют одинаковые наборы канонических признаков, т.е. . Теорема доказана.

Следующая теорема, принадлежащая С.М. Якубович, дает условия того, что некоторое множество является классом толерантности, т.е. того, что некоторый признак является каноническим.

Теорема

Пусть имеется карта . Для, того чтобы элемент покрытия  являлся классом порожденной толерантности , необходимо и достаточно, чтобы для любого подмножества , из  следоаало бы .

Доказательство. Сначала предположим, что множество  не является классом толерантности. Так как  является предклассом, то единственная причина, по которой  может не быть классом, состоит в том, что существует , не входящий в  и толерантный ко всем элементам . Значит, для всякого  существует множество , содержащее  и . Таким образом, множества  образуют покрытие множества . Но все  содержат элемент , не входящий в . Следовательно, пересечение  не содержится в . Итак, мы доказали достаточность условия, указанною в теореме 2.6.4. Докажем теперь необходимость. Пусть существует такое подмножество , что , но . Значит, существует элемент , не входящий в , но входящий во все . Этот элемент толерантен ко всем . Значит,  не является максимальным предклассом, т.е. не является классом толерантности. Теорема доказана.

Рассмотрим еще так называемые сопряженные и производные пространства толерантности.

Пусть  – произвольное пространство толерантности, и пусть  – некоторая совокупность классов толерантности. Множество  естественным образом превращается в пространство толерантности  при помощи следующего определения: , если .

Определение. Если  совпадает с множеством  всех классов, то пространство  называется сопряженным к  и обозначается  (таким образом, ).

Рассмотрим несколько примеров.

В пространстве  элемент , содержащий все числа, толерантен ко всем элементам и, стало быть, входит во все классы толерантности. Значит, в пространствe  – полное отношение.

На рис. 4 изображен циклический граф из 7 вершин. Классами толерантности являются "ребра", а толерантны классы, соответствующие смежным ребрам. Ясно, что для линейного графа из  вершин сопряженным является линейный граф из  вершин.

На рис. 5 изображен циклический граф. Сопряженным к нему будет циклический граф из того же числа верин (если количество вершин исходного графа было больше трех).

На рис. 6 изображено пространство толерантности , состоящее из двух циклов, зацепленных в одной точке. Сопряженное пространство  состоит из таких же циклов с более сложным зацеплением. Но сопряженное к последнему пространство  по существу совпадает с исходным пространством .

Определение. Пусть  – базис. Тогда пространство  называется сопряженным к , относительно данного базиса .

Определение. Второе сопряженное пространство относительно некоторого базиса  в  и базиса  в  называется производным от исходного пространства толерантности .

Итак, производное пространство толерантности определяется не однозначно, а с точностью до выбора базисов. Этот произвол исключается, когда  и  имеют по единственному базису.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Для линейного графа с  вершинами  производное пространство также есть линейный граф, но с  вершинами (см. рис. 4)

2. Для циклического графа с  вершинами  производное пространство "совпадает" с исходным пространством (см. рис. 5).

3. Та же ситуация для зацепленных циклических графов (см. рис. 6).

4. Для пространства  производное пространство  состоит из одного элемента.

Теорема

Если  – произвольное пространство толерантности, а  – произвольный базис в нем, то существует такой базис  в сопряженном пространстве  и такое инъективное отображение , что при  и  из  следует .

Доказательство. Обозначим через  множество классов из базиса , содержащих . Для любых классов  и  из  имеем , т.е. . Итак, множества  суть предклассы в . Значит, для всякого  существует класс в , для которого . Зафиксируем для каждого  некоторый класс  и множество этих классов обозначим через . Мы имеем сюръекцию , которое каждому  сопоставляет класс . Покажем, что  содержит некоторый базис . Действительно, если , то существует , содержащийся в  и . Тогда  и  содержаться в , а значит,  и . Теперь для каждого  выберем ровно один элемент , для которого . Множество таких элементов обозначим через . Ясно, что  и возникающая при этом сюръекция  на  инъективно. Тогда обратное к нему отображение  инъективно отображает  на подмножество  множества . Поэтому его можно рассматривать как инъективное (но уже в общем случае не сюръективное) отображение. Пусть теперь  и,  где  и  и . Тогда существует класс , содержащий  и . Значит, . Но из  и  следует, что , т.е. . Теорема доказана.

Приложение понятий эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека