Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

Рассмотренные выше реологические уравнения состояния идеальных тел связывают между собой напряжения и деформации с помощью реологических параметров, модулей деформации. В нашем случае ими явились модуль сдвига G , коэффициент объемного сжатия K, коэффициент динамической вязкости h, предел текучести  t _т . Первые два параметра позволяют определить еще два модуля деформации, которые играют большую роль в механике деформирования твердых тел. Этими модулями являются модуль Юнга E и коэффициент поперечной деформации n .

Из приведенных четырех коэффициентов (E, n, G, K) только два являются независимыми (чаще всего экспериментально определяют первые два коэффициента). Это означает, что по любым двум известным коэффициентам всегда можно найти неизвестные:

 

E = 2G(1 + n);

n = (3K – 2G) / (6K + 2G);

                                               K = E / 3[(1 – n)];

                                            G = E / 2(1 + n).

 

Постоянные E, G, K имеют размерность напряжений (Па), а величина n является безразмерной.

3.4.1. Модуль Юнга – модуль продольной упругости. Модуль Юнга является коэффициентом пропорциональности между нормальным напряжением s , действующим в образце, и упругой относительной деформацией ε, возникающей в нем вдоль линии действия механического усилия. Конкретный вид выражения, с помощью которого определяется модуль Юнга, зависит от вида напряженного состояния, в котором находится образец.

Основной формулой для нахождения модуля Юнга является реологическое уравнение состояния t_i = G.g_i.

Так как при одноосном сжатии образца справедливы равенства (табл.2, 3)

t_i = s₁/3^0.5, g_i = 2(1 + n)e₁/3^0.5,

 

то физическое уравнение, связывающее нормальное напряжение s₁ и относительную линейную деформацию образца e₁ вдоль направления действия силы при этом напряженном состоянии, имеет вид

 

                                              s₁ = 2G(1 + n)e₁,                                      (10)

 

где 2G(1 + n) = E – модуль продольной упругости (модуль Юнга). Из уравнения s₁ = Ee₁ следует равенство E = s₁ / e₁, которое определяет экспериментальный способ нахождения величины модуля Юнга.

В условиях компрессионного испытания образца (когда развитие поперечной деформации блокировано: образец керна, например, находится в толстостенном металлическом цилиндре, сдерживающем развитие поперечной деформации), интенсивность касательных напряжений и деформаций имеет вид

 

t_i = 3^–0,.5(1 – 2n)s₁ / (1 – n), g_i = 2e₁/3^0,5.

 

Закон Гука для такого испытания будет иметь вид:

 

s = 2G(1 – n)^.e / (1 – 2n) ,

 

где коэффициент 2 G (1 – n) / (1 – 2n) = E_о и является модулем Юнга материала, находящегося в данном напряженном состоянии. Используя полученное выше значение (10) модуля Юнга для случая одноосного сжатия, последнее выражение можно переписать в виде

 

E_о= E(1 – n) / [(1 + n)(1 – 2n)],

 

где E – найденный ранее модуль Юнга в эксперименте без компрессии, E_о –  модуль Юнга в эксперименте с компрессией.

Традиционное определение величины модуля Юнга происходит в экспериментах одноосного сжатия при медленном механическом нагружении образца горной породы в пределах упругости. Для экспериментального определения модуля Юнга используются образцы горных пород, приготовленные либо из керна, либо образцы кубической формы. К противоположным параллельным поверхностям образца прикладывается механическая нагрузка (сила сжатия F). Уравнение E = s₁/e₁ можно записать в виде

 

E = F/S : Dl/l = F·l / (S·Dl),

где s = F / S, S – площадь поперечного сечения образца горной породы, e = Dl / l – относительная деформация образца породы,

Dl – абсолютная деформация образца.

Таким образом, для определения величины модуля Юнга необходимо измерить площадь поперечного сечения образца, абсолютную деформацию образца в направлении действия силы, величину силы F, вызвавшую эту деформацию.

Величина модуля Юнга основных породообразующих минералов составляет (10⁵ ÷ 10⁴) МПа. Например, модуль Юнга таких минералов, как кварц, кальцит, оливин, ортоклаз, доломит составляет 9,4·10⁴ МПа, 8,2·10⁴ МПа, 2,1·10⁵ МПа, 6,2·10⁴ МПа, 8,0·10⁴ МПа, соответственно.

Модуль Юнга горных пород на порядок и более уступает приведенным значениям модуля Юнга породообразующих минералов. Резкое отличие модуля Юнга горных пород от модуля Юнга минералов объясняется наличием слабых адгезионных границ между минералами, наличием пор в горной породе.

Модуль Юнга, определяемый при сжатии образцов горных пород, в 1,5 ÷ 4 раза превосходит модуль упругости, определяемый при растяжении этих же образцов.

Модуль продольной упругости E и модуль поперечной упругости G соответствуют основным видам напряжений и деформаций и поэтому считаются основными характеристиками упругости горных пород.

3.4.2. Коэффициент поперечной деформации. Помимо продольной деформации, измеряемой вдоль направления действия силы, в образце возникает и поперечная деформация, измеряемая в направлении, перпендикулярном действию силы. Модуль отношения величины относительной поперечной деформации e_поп к величине относительной продольной деформации e_пр называется коэффициентом поперечной деформации n. Знак модуля применяем по следующей причине: продольная и поперечная деформации имеют различные знаки: e_пр – деформация сжатия и ей соответствует знак плюс, e_поп  – деформация растяжения, ей соответствует знак минус):

│e_поп / e_пр│ = n.

 

Выражая величину поперечной и продольной деформации образца горной породы, приготовленного из керна диаметром d и высотой l, получим выражение для определения коэффициента поперечной деформации при одноосном сжатии образца:

 

                                          n = │Dd·l / d·Dl│,                                  (11)

 

где Dd, Dl – абсолютная деформация диаметра и высоты образца.

В области упругого поведения горных пород коэффициент поперечной деформации называется коэффициентом Пуассона и является постоянной величиной. Для различных материалов величина коэффициента Пуассона изменяется в узких пределах 0 < n £ 0,5. Среднее его значение для горных пород и минералов меняется в диапазоне 0,2 – 0,4.

При отсутствии поперечной деформации, т.е. при выполнении условия e_поп = 0, справедливо равенство n = 0 . В этом случае деформация образца происходит только вдоль линии действия сжимающей образец силы. Но при отсутствии поперечной деформации происходит только изменение объёма образца без изменения его формы и справедливы соотношения

E = 2G, K = 2G/3.

 

Так как для пластически деформируемых материалов выполняется реологическое уравнение  e_v = 0 (материал несжимаем:  K ® ¥ и происходит изменение формы образца без изменения его объёма), то для образцов, изготовленных из такого материала, будут справедливы равенства n = 0.5 (этот вывод следует из уравнения    K = E / 3[(1 – n)] ) и G = E / 3 ).

Коэффициент поперечной деформации n в силу своей незначительной величины весьма мало влияет на количественное изменение напряженно-деформированного состояния массивов различных горных пород, находящихся в сходных условиях. Если же коэффициент поперечной деформации рассматривать не только как упругую постоянную, а как параметр, который может быть переменным в зависимости от величины деформаций, то рост коэффициента поперечной деформации может информировать о развитии разрушения горной породы.

3.4.3. Коэффициент объемного деформирования. В случае сложного напряженного состояния, которое характеризуется интенсивностью касательного напряжения τ_i, интенсивностью деформации сдвига g_i, средним нормальным напряжением s_ср и средним относительным удлинением (сжатием) e_ср , в пределах упругой деформации наблюдается линейная связь между величиной среднего нормального напряжения и средним относительным удлинением (сжатием): s_ср = Ke_ср или            P = Ke_v/3, где K - коэффициент объемного деформирования (модуль объёмного сжатия), P = (s₁ + s₂ + s₃) / 3 – всестороннее давление.

Величина b_T = K ^{– 1} называется изотермической сжимаемостью. Сжимаемость (объёмная упругость) представляет собой относительное уменьшение объёма V (жидкости, образца горной породы, минерала) при росте давления P на 1 МПа:

 

b_T = – V_o^-1·(dV/dP)_T = r^-1·(dr/dP)_T,

 

где V_o – начальный объём, r – плотность. Иначе говоря, сжимаемость - это способность вещества изменять свой объём под действием всестороннего давления. Тело называется несжимаемым, если величина его плотности не зависит от давления dr/dP = 0. Знак «минус» вводится в формуле, определяющей величину b_T, для того, чтобы сделать величину b_T положительной, т.к. производная (dV/dP)_T в формуле всегда отрицательна.

Той или иной величиной сжимаемости обладают все вещества. Сжимаемость минералов чрезвычайно мала и незначительно изменяется при росте напряжений. Алмаз, например, при росте давления вообще не изменяет величину сжимаемости. Величина коэффициента сжимаемости некоторых жидкостей и минералов приведена в таблице 4.

 

Таблица 4

Величина коэффициента сжимаемости минералов,
горных пород и жидкостей

Минерал, порода	βТ·105, МПа-1, Р = 196 МПа	Жидкость	βТ·105, МПа-1
Алмаз	0,18	Вода	22,1
Кварц	2,86	Бензол	49,1
Галит	4,09	ССl4	91,6
Гранит	2,16	Спирт этил.	112,0

 

Данные табл. 4 показывают, что сжимаемость жидкостей значительно превосходит сжимаемость минералов и горной породы. Коэффициент сжимаемости горных пород практически всегда больше коэффициента сжимаемости минералов, входящих в состав породы. Объясняется это большой величиной адгезионной поверхности в горной породе, и  как следствие, менее плотным ее сложением.

Процесс сжатия сопровождается ростом температуры и выделением тепла. Рост температуры также вызывает изменение объёма. Подобное изменение объема характеризует адиабатическая сжимаемость b_S. Адиабатическая сжимаемость b_S меньше изотермической b_T. Модуль адиабатического объемного сжатия K_S определяется уравнением

 

K_S = r·(dP/dV )_T.

 

Отличие между величинами K_S и K составляет несколько процентов. Величина модуля сдвига G горных пород всегда меньше величины модуля Юнга. Величина коэффициента K может быть как больше модуля Юнга, так и меньше его.

 

 

ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

 

Под прочностью или трещиноcтойкостью понимается способность твердого тела сопротивляться развитию в нем трещины. Величина прочности оценивается либо значением напряжения, при котором тело разрушается, либо работой деформаций.

Трещины хрупкого разрушения в горных породах следует рассматривать как поверхность разрыва вектора перемещения. На такой поверхности все три компоненты u, v, w этого вектора могут иметь разрыв. Имеется три вида независимых кинематических движений верхней и нижней поверхностей трещины относительно друг друга при разрушении тела: нормальный отрыв, поперечный и продольный сдвиги.

Типы движений противоположных поверхностей трещины, расположенной до деформирования в одной плоскости, можно описать следующим образом:

• нормальный отрыв: две противолежащие поверхности трещины стремятся разойтись симметрично относительно плоскости, в которой была расположена трещина до деформации; между сторонами трещины возникает полость;

• поперечный сдвиг: две противолежащие поверхности трещины скользят одна по другой в одной плоскости, но в противоположных направлениях (срез);

• продольный сдвиг: две противолежащие поверхности трещины в процессе деформирования тела претерпевают кручение в противоположном направлении и оказываются после деформации в различных плоскостях (кручение).

Наиболее опасными с точки зрения развития разрушения являются трещины нормального отрыва. Это связано с тем, что при таком варианте разрушения не происходит потерь энергии, связанных с преодолением сил трения между противоположными поверхностями трещины.

При разрушении на разрыв различают прочность теоретическую и техническую (реальную). Под теоретической прочностью понимают прочность бездефектного твердого тела. В этом случае прочность определяется только величиной энергии связи между частицами (атомы, молекулы) твердого тела. Величина теоретической прочности тела на разрыв (развивается трещина нормального отрыва) составляет примерно одну десятую от значения модуля Юнга: s_т = 0,1E = 10³ ÷ 10⁴ МПа.

Расчетная величина теоретической прочности некоторых кристаллических минералов: NaCl – 3950 МПа, MgO – 17300 МПа, LiF – 11400 МПа, теоретическая прочность аморфного неорганического стекла составляет 8000 МПа.

Под дефектами твердого тела понимаются любые нарушения кристалллической решетки (внедренные атомы другого вещества и вакансии в узлах кристаллической решетки – это точечные дефекты; дислокации - линейные дефекты; к дефектам относят и механическое повреждение поверхности твердого тела – царапины).

Под технической прочностью понимают прочность реального твердого тела со всеми дефектами. Величина технической прочности значительно (на 2 порядка) меньше теоретической прочности.

Главными дефектами в горной породе, приводящими к значительному понижению их прочности, являются адгезионные границы, трещины и поры. Как следствие этого, реальная прочность горных пород при одноосном растяжении s_р невелика (гранит – 11 МПа, порфирит – 17,5 МПа, песчаник кварцевый – 6,6 МПа, известняк – 3,0 МПа).

Если представить трещины и поры в виде эллипса длиной l и радиусом закругления r, то низкое значение технической прочности горных пород при их растяжении можно объяснить следующим образом: в тупиковой части микротрещин (вершине) или пор возникает резкое увеличение действующего напряжения (происходит концентрация напряжений). Если в среднем сечении образца возникает напряжение s*, то в тупиковой части трещины действует напряжение:

 

s_к = 2s^*·(l / r)^0,5,

 

величина которого зависит от геометрии дефекта, т.е. от величин l, r.

При уменьшении радиуса кривизны r напряжение s_к в вершине трещины возрастает. Тело разрушится тогда, когда напряжение s_к достигает величины теоретической прочности s_т данного тела.

Прочность образцов горных пород при разрушении их срезом, кручением t_сдв, т.е. в тех условиях, когда величина трения между противоположными поверхностями трещины минимальна, превосходит величину прочности, измеряемую при растяжении образцов, но все же значительно меньше величины прочности при одноосном сжатии образцов. 

Развитие трещин сдвига существенно затруднено при наличии сил (напряжений), стремящихся прижать две поверхности сдвиговой трещины друг к другу. При этом резко возрастают силы трения (силы внутреннего трения), сдерживающие развитие сдвиговой трещины. Физически это означает появление дополнительного слагаемого (помимо слагаемого, учитывающего действие сил связи в структуре тела), из-за которого и наблюдаются значительные расхождения величины прочности твердых тел при их растяжении и сжатии. 

Прочность горных пород при одноосном сжатии s_сж многократно превышает величину их прочности s_р на разрыв и сдвиговую прочность. Это является следствием не только возникновения внутреннего трения, но и большой неоднородности свойств горных пород. Для более однородных материалов отношение s_сж / s_р значительно меньше: для чугуна, например, это отношение равно трем, для магниевых сплавов – чуть больше единицы.

Относительные значения величин s_сж ,s_р , t_сдв для некоторых горных пород приведены в табл. 5.

 

Таблица 5