Тензор напряжений имеет следующие инварианты (invarient – неизменный), т.е. такие алгебраические комбинации компонентов, которые не меняют своих значений при повороте осей тензора (осей координат):
I1(Tн) = sx + sy + sz;
I2(Tн) = sx.sy + sy.sz + sz.sx - txy2 - txz2 - tyz2;
.
Величина
sср = I1(Tн)/3 = (sx + sy + sz) / 3
определяет среднее нормальное (гидростатическое) напряжение в «точке» и вызывает изменение объёма этой «точки».
Напряженное состояние в «точке» можно представить в виде суммы двух напряженных состояний, описываемых шаровым тензором и тензором-девиатором:
Tн = Tнш + Tнд.
Шаровым тензором называется тензор вида
,
он вызывает изменение только объёма «точки».
Тензор-девиатор Tнд определяет величину отклонения от гидроста-тического состояния и имеет следующие компоненты:
.
Легко убедиться в том, что первый инвариант тензора-девиатора равен нулю:
(sx – sср) + (sy – sср) + (sz – sср) = 0.
Это означает, что объёмные деформации, вызываемые тензором-девиатором, равны нулю. Касательные напряжения тензора-девиатора вызывают изменения формы «точки».
Произвольное напряженное состояние, в котором находится тело, можно представить в виде суммы двух напряженных состояний: первое представляет собой гидростатическое сжатие тела напряжением sср , а второе напряженное состояние наложено на первое и представляет собой состояние сдвига, обеспечиваемое тензором-девиатором напряжений.
Напряженное состояние в точке определено, если известны компоненты тензора напряжений Tнш и тензора-девиатора напряжений Tнд.
В механике сплошной среды показывается, что любой тензор напряжений может быть приведен к самому простому виду:
где s1, s2, s3 – главные нормальные напряжения. Они перпендикулярны друг другу и между ними выполняется неравенство s1 > s2 > s3.
Шаровой тензор напряжений и тензор-девиатор напряжений, выраженные через главные нормальные напряжения, имеют вид:
,
где sср = (s1 + s2 + s3) / 3 и
.
Главные касательные напряжения тензора напряжений Tн выражаются через главные нормальные напряжения
t1 = (s2 – s3) / 2, t2 = (s1 – s3) / 2, t3 = (s1 – s2) / 2,
векторы которых лежат на трех парах взаимно перпендикулярных плоскостей, делящих пополам углы между главными осями тензора напряжений.
Величина главных касательных напряжений тензора напряжений Tн совпадает с величиной главных касательных напряжений тензора-девиатора напряжений Tнд. В справедливости этого легко убедиться, выразив главные касательные напряжения тензора-девиатора через главные нормальные напряжения s1 - sср, s2 - sср, s3 - sср:
t1д = [(s2 – sср) - (s3 – sср)] / 2 = (s2 – s3)/2 = t1;
t2д = [(s1 – sср) - (s3 – sср)] / 2 = (s1 – s3)/2 = t2;
t3д = [(s1 – sср) - (s2 – sср)] / 2 = (s1 – s2)/2 = t3.
В механике сплошной среды большую роль играет первый инвариант тензора напряжений I1(Tн) и второй инвариант девиатора напряжений I2(Tнд). Через главные нормальные напряжения они имеют следующий вид:
I1(Tн) = (s1 + s2 + s3);
I2(Tнд) = [(s1 – s2)2 + (s2 – s3)2 + (s1 – s3)2] / 6.
Через второй инвариант девиатора напряжений вводится понятие интенсивности напряжений:
– интенсивность нормальных напряжений
si = [ 3I2(Tнд) ]0,5, (1)
– интенсивность касательных напряжений
ti = [ I2(Tнд) ]0,5. (2)
Через главные нормальные напряжения величины si, ti выражаются следующим образом:
si = [(s1 – s2)2 + (s2 – s3)2 + (s3 – s1)2]0.5 / 20.5 ;
ti = [(s1 – s2)2 + (s2 – s3)2 + (s3 – s1)2]0.5 / 60.5 .
Напряженное состояние в любой точке деформируемого тела определено, если в любой точке этого тела известны значения среднего нормального напряжения sср и интенсивности касательного напряжения ti.
2.1.2. Вектор перемещения и деформированное состояние в «точке». Приложение к твердому телу напряжений и его деформирование приводит к возникновению в теле поля перемещений: каждая точка тела перемещается из одного положения в другое. Такое перемещение точки под действием сил из начального положения в конечное характеризуется вектором перемещения (вектором деформации) U. В вектор-ном виде вектор деформации представим следующим образом:
U = r' – r,
где r ', r – радиус-векторы, характеризующие положение рассматриваемой точки после и до приложения сил, соответственно. Вектор U имеет следующие проекции на оси координат X, Y, Z, соответственно: u, v, w.
Полное перемещение деформируемых точек в трехмерном пространстве определяется формулой
d = (u2 + v2 + w2)0,5
и является непрерывной функцией координат.
Деформированное состояние в «точке», также как и напряженное состояние, описывается тензором, отвечающим за изменение геометрии рассматриваемой «точки»: изменение её объёма и формы.
Представим «точку» в виде элементарного куба. Рассмотрим одну грань куба, лежащую в плоскости YX (рис. 3). До механического нагружения «точки» грань куба ОАБС имеет следующие размеры: ОА = Δy, ОС = Δx. После деформации отрезки ОА, ОС изменят не только свои размеры, но и направления. По этой причине деформация «точки» слагается из линейных (ex, ey, ez) и сдвиговых (угловых) (gxy, gxz, gyx, gyz, gzx, gzy) деформаций. Соответственно этому и тензор деформаций состоит из линейных и сдвиговых компонент:
.
Деформация, соответствующая нормальным напряжениям тензора напряжения, выражается через относительное изменение линейного размера тела l. Линейная деформация может быть абсолютной и в этом случае она определяется формулой
(lк – lн) = Δl,
где lк – линейный размер тела после деформирования, lн – начальный линейный размер тела, и относительной
e = Dl / lн.
|
Рис.3. Пример векторов перемещения и физический смысл компонент тензора
|
Принято считать относительную линейную деформацию положительной, если она происходит при сжатии тела, и отрицательной - при растяжении тела.
Линейная относительная деформация, происходящая по направлению действия силы, называется продольной, а перпендикулярно действию силы – поперечной.
Сторона ОС деформируемой «точки» кубика преобразуется в отрезок ОС1, проекция которого на ось X равна величине (Dx + Du), где Du = (du/dx)Dx, Dx >> Du. Отсюда следует, что относительная линейная деформация отрезка ОС, измеряемая в направлении оси X, определится следующим выражением
ex = {Dx – [Dx + (–Du)]} / Dx = du/dx.
Числитель в написанной формуле обозначает абсолютную деформацию стороны ОС куба. Знак «минус» перед величиной Δu обозначает, что рассматривается деформация растяжения тела (при сжатии тела в этой формуле берется знак «плюс»).
Линейная относительная деформация элементарного куба в направлении осей Y, Z обозначаются аналогичным образом: ey, ez. Величина этих деформаций выражается через компоненты вектора перемещения v, w:
ey = dv/dy, ez = dw/dz,
Угловые (сдвиговые) деформации в теле возникают при действии касательных напряжений. Сдвиговая деформация физически представляет собой величину изменения прямого угла между гранями элементарного куба при его деформировании. Если рассмотреть, например, одну грань куба, находящуюся в плоскости YX (рис. 3), то величина угла a, определяющего отклонение направления отрезка ОС1 от его первоначального направления ОС, определится проекциями Δu и Δv
tg a = Dv / (Dx + Du) » dv/dx,
т.е. угловая деформация gxy выражается как градиент смещения
gxy = dv /dx.
(Первая буква индекса обозначает ось, от которой происходит движение, вторая буква – к какой оси осуществляется поворот).
Угол b характеризует изменение направления отрезка ОА. Величина угла b определяет угловую деформацию gyx и выражается через проекции отрезка ОА1 на оси X (проекция u) и Y (проекция v):
gyx = tg b = Du / (Dy + Dv) » du/dy.
Суммарное изменение первоначально прямого угла между отрезками ОС и ОА определяется углом y = a + b.
Совместное искажение первоначально прямых углов описывается суммой
tg a + tg b » tg(a+b) = tg y = dv/dx + du/dy
или gxy = gyx = tg(a+b)/2 = y/2.
Если появление очень малых углов a и b интерпретировать как вращение тела, то угол поворота каждой из рассматриваемых сторон будет равен величине y / 2.
Связь между компонентами вектора смещения и компонентами тензора деформации определяется геометрическими уравнениями (уравнения Коши):
ex = du/dx; ey = dv/dy; ez = dw/dz;
gxz = dw/dx + du/dz; gxy = dv/dx + du/dy; gyz = dw/dy + dv/dz .
Физический смысл геометрических уравнений (уравнений Коши) заключается в том, что деформируемое тело является сплошным до, во время и после деформирования. Другими словами, деформирование тела происходит без разрыва вектора перемещения U и, естественно, без разрыва его проекций u, v, w на оси координат.
Тензор деформации Tд , так же как тензор напряжений, имеет три инварианта I1(Tд), I2(Tд), I3(Tд), аналогичные по строению инвариантам тензора напряжений:
I1(Tд) = ex + ey + ez;
I2(Tд) = ex.ey + ey.ez + ez.ex - gxy2 - gxz2 - gyz2;
.
Тензору напряжений, выраженному через главные нормальные напряжения s1, s2, s3 , соответствует тензор деформации Tд вида
,
где e1, e2, e3 – есть главные линейные деформации; своим появлением они обязаны действию главных нормальных напряжений.
Разности g1 = e2 – e3 , g2 = e3 – e1, g3 = e1 – e2 определяют величину главных сдвигов.
Как и в случае с тензором напряженного состояния, тензор деформации можно разложить на два тензора, отвечающих за изменение объёма и формы «точки»:
Tд = TдШ + TдД,
где TдШ – шаровой тензор, имеющий вид:
TдД – тензор-девиатор, имеющий вид:
где eср = (ez+ ey+ ex) /3 – средняя линейная относительная деформация.
Шаровый тензор определяет изменение объема «точки», а тензор-девиатор отвечает за изменение формы «точки».
Величина
ev = ez + ey + ex
характеризует относительное изменение объёма ΔV/V элементарного куба, «точки». Этот вывод следует из следующего мысленного опыта. Если к «точке», имеющей форму куба, приложить три взаимно равных сжимающих напряжения, то «точка» будет находиться в состоянии гидростатического сжатия: P = sx = sy = sz, а касательные напряжения в ней будут равны нулю. Приложенные нормальные напряжения вызовут укорочение ребер куба, а значит и уменьшение его объёма. Если первоначальную длину ребра куба принять равной единице, то относительное изменение объёма такого куба ev будет равно следующей величине:
ev = DV/V = [(начальный объём) - (полученный объём)] / (начальный объём) =
[1 – (1 – ex)(1 – ey)(1 – ez)] / 1.
Если не принимать во внимание величины второго и третьего порядка малости (т.е. произведения типа ezey, exezey), то легко получается окончательная формула
ev = ez + ey + ex.
Разделив правую и левую части этого равенства на число 3, получим связь между средней линейной относительной деформацией и относительной объемной деформацией
eср = ev / 3.
Первый инвариант тензора девиатора, т.е. величина
ex – eср + ey – eср + ez – eср
тождественно равна нулю. Физически это означает, что сумма диагональных напряжений тензора девиатора не вызывает изменения объёма деформируемой точки.
Шаровой тензор деформаций Tдш, выраженный через главные линейные деформации, имеет вид:
,
где eср = (e1 + e2 + e3) / 3 , а тензор-девиатор Tдд деформаций задается матрицей следующего содержания:
.
В механике сплошной среды (в теории пластичности) большое значение имеет второй инвариант девиатора деформаций
I2(Tдд) = [(e1 – e2)2 + (e2 – e3)2 + (e3 – e1)2] / 6,
который является суммарной характеристикой изменения формы деформируемого тела. Через второй инвариант девиатора деформаций I2(Tдд) выражаются интенсивность линейных деформаций ei и интенсивность деформаций сдвига gi:
ei = 
;
gi = 
.
Через главные линейные деформации приведенные величины выражаются следующим образом:
ei = 20,5[ (e1 – e2)2 + (e2 – e3)2 + (e3 – e1)2 ]0.5 / 3 , (3)
gi = (2/3)0,5 [ (e1 – e2)2 + (e2 – e3)2 + (e3 – e1)2 ]0.5. (4)
Резюме: Деформация тела заключается в изменении формы, вызванном действием касательных напряжений, и в изменении объёма под действием всестороннего давления.
Такое разделение имеет важное значение при анализе законномерностей деформирования, т.к. эти виды деформаций описываются разными законами. С этими законами мы познакомимся в третьем разделе пособия. Здесь же отметим, что, например, и у упругих и у вязких тел объёмная деформация описывается одним уравнением: объёмная деформация прямо пропорциональна всестороннему давлению. А вот сопротивление формоизменению у этих тел резко отличается: если у упругих тел форма изменяется пропорционально напряжению сдвига, то вязкие тела вообще не могут сохранять форму и сопротивляться сдвигу.
2.2. Инвариантные соотношения для напряжений и деформаций
при различных напряженных состояниях
При изучении напряженно-деформированного состояния тела используют не сами тензоры, а их инварианты.
С помощью главных нормальных напряжений s1 > s2 > s3 можно задать различные напряженные состояния, при которых определяют прочность тел:
Одноосное сжатие
s1 > 0, s2 = s3 = 0 и e1 > 0, e2 = e3 = – ne1,
где n – коэффициент поперечной деформации.
Одноосное растяжение
s1 = s2 = 0, s3 < 0 и e1 = e2 = – ne3.
Чистый сдвиг
s1 = – s3 = t, s2 = 0 и e1 = – e3 = g/2, e2 = 0.
4. Осесимметричное трехосное сжатие (нагружение Кармана)
s1 > s2 = s3 > 0 и e1 > 0, e2 = e3 < 0.
5. Радиальное сжатие (нагружение Бёкера)
s1 = s2 > s3 > 0 и e1 = e2 > 0, e3 < 0.
Дата: 2019-07-30, просмотров: 300.
