Логическими действиями, образующими в своей совокупности аргументацию, являются доказательство и опровержение.

Доказательство – это включающее в себя совокупность логических операций рассуждение, связанное с обоснованием истинности какой-либо мысли с помощью других истинных мыслей/суждений.

Доказательством можно считать выведение одного знания из другого, истинность которого установлена и проверена практикой. Так, истинность утверждения «олово плавится» доказывается с помощью таких истинных утверждений: «олово – металл» и «все металлы плавятся». Доказательство считается одним из самых распространенных и доступных критериев истины.

Термин доказательство используется в нескольких значениях: 1) факты или данные с помощью которых обосновывается истинность того или иного положения; 2) источники сведений о фактах, событиях (летописи, хроники, мемуары и т.д.); 3) процесс рассуждения, логический процесс обоснования истинности одного суждения с помощью других истинных суждений.     

Структуру доказательства образуют:

- тезис – это доказываемое положение/суждение, т.е. то, что доказывается;

- аргументы – это истинные положения/суждения, используе­мые для доказательства тезиса, т.е. то, посредством чего доказывается;

- демонстрация – это способ логической связи между тезисом и аргументами.

В качестве аргументов в доказательстве могут выступать:

- удостоверенные факты;

- определения понятий (соответствующие правилам логики);

- аксиомы и постулаты;

- научные законы, теоремы.

Демонстрация (форма доказательства) есть способ осуществления доказательства, т.е. способ логи­ческой связи между тезисом и аргументами.

Демонстрацию и доказательство нельзя отождествить с обоснованием. Если демон­страция – это способ доказательства, то само доказательство есть частный случай обоснования. Обоснование может быть демонстративным, если производится в форме дедукции, полной или математической индукции (в этом случае оно является доказательством) и недемонстративным, если производится в форме неполной индукции или аналогии.

Например, для доказательства тезиса «неискренность вызывает недоверие» можно использовать аргументы, представляющие собой удостоверенные еди­ничные факты и определения понятий:

любой обман вызывает недоверие, по­скольку представляет собой утверждение, не соответ­ствующее действительности;

неискренность – это обман, поскольку она является умышленным искажением действительности;

следовательно, неискренность вызывает недоверие (утверждение доказано).

В ходе доказательства могут также использо­ваться промежуточные допущения, т.е. вспо­могательные положения, которые вводятся в процессе рассуждения и устраняются при пере­ходе к его окончательному результату.

По форме доказательства делятся на два вида: прямые и непрямые.

Прямое доказательство – такое, в котором истинность тезиса непосредственно обосновыва­ется аргументами; следует от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса. Например: английская группа «Битлз» произвела революцию в современной музыке, во всем мире было продано огромное количество их записей и многие миллионы людей знают и любят их песни, поэтому группа «Битлз» является всемирно известным ансамблем. На уроках химии в школе прямое доказательство о горючести сахара может быть представлено в форме простого категорического силлогизма:

все углеводы – горючи;

сахар – углевод;

сахар горюч. 

Непрямое или косвенное доказательство – такое, в котором истинность те­зиса выводится из некоторых других суждений или доказывается через ложность противоположного тезису суждения, т.е. антитезиса. Его применение оправдано, когда тезис нельзя доказать прямо, когда нет аргументов для прямого доказательства. В свою очередь непрямое доказательство делится на два вида: апагогическое и разделительное.

Апагогическое доказательство (греч. apagoge – вывод и apagogos – отводящий) или доказатель­ство от противного – непрямое доказательство, в котором из антитезиса выводятся следствия, которые противоречат действительности или из­вестным и доказанным положениям. Например, из ложности высказывания о том, что данный поступок нерационален, следует, что он рационален, осмыслен и преследует определенную цель. Этот вид косвенного доказательства применяется в том случае, если тезис и антитезис находятся в отношении противоречия, когда по закону исключенного третьего действует принцип: «или одно – или другое, третьего не дано».

Апагогическое косвенное доказательство называется также сведением к абсурду (лат. reduction ad absurdum). Оно часто используется в математике и др. науках, где получило название доказательство от противного. Например, доказывается теорема: «если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны». Доказательство этой теоремы можно начать словами: «допустим противное, т.е. что прямые АВ и СD не параллельны».

Разделительное доказательство – непрямое доказательство, в котором из разде­лительного суждения, представляющего собой весь спектр возможных альтернатив, и куда входит тезис, последовательно исключаются все альтернативы, за исключением са­мого тезиса. В этом доказательстве обоснование тезиса строится на основе метода исключения. Например, классному руководителю стало известно, что окно в классе могли разбить или Иванов или Петров или Сидоров и никто другой. Поэтому его задача в том, чтобы, исключая кандидатуры не причастные к данному поступку, установить лицо, действительно виновное в его совершении. Антитезис здесь является одним из членов разделительного суждения, в котором должны быть перечислены все возможные альтернативы:

хулиганский поступок мог совершить или А, или В, или С;

установлено, что хулиганский поступок не совершали ни А, ни В;

следовательно, хулиганский поступок совершил С.

Разделительное доказательство часто используется в судопроизводстве.

Для того чтобы доказательство достигало своей цели, надо соблюдать определенные правила, относящиеся к элементам доказательства. Правила доказательного рассуждения делятся на правила относящиеся к тезису, аргументам и демонстрации. Их нарушение приводит к логическим ошибкам.

Правила доказательства, относящиеся к тезису следующие:

1) тезисом может быть такое положе­ние, которое действительно нуждается в доказательстве в данных условиях (не надо доказывать уже доказанное);

2) тезис должен быть ясным и точным, т.е. четко определенным и адекватно сформулированным суждением или системой суждений;                   

3) тезис должен оставаться неизменным, тождественным себе на протяжении всего доказательства; распространенная ошибка здесь – это подмена тезиса.

Правила и ошибки доказательства, относящиеся к аргументам:

1) аргументы должны быть истинными суждениями; при этом их истинность должна быть ус­тановленной, доказанной.

Возможные ошибки, связанные с нарушением этого требования:

- так называемая «основная ошибка», ког­да аргумент заведомо ложен;

- так называемое «опережение основы», когда аргумент представляет собой положение, которое само требует доказательства;

2) аргументы должны быть суждениями, истинность которых доказана автономно, т.е. независимо от тезиса.

Ошибка на это правило называется «логи­ческим кругом», т.е. когда одно положение (тезис) до­казывается через другое, а другое положение (аргумент) в свою очередь – через первое. Так, например, К.Маркс вскрыл эту ошибку в рассуждении деятеля английского рабочего движения Д.Уэстона: мы начинаем с заявления, что стоимость товара определяется стоимостью труда, а заканчиваем заявлением, что стоимость труда определяется стоимостью товаров. Таким образом, мы не приходим ни к какому выводу;

3) аргументы должны представлять собой достаточное основание для тезиса. Ошибка («non sequitur») возникает тогда, когда тезис не следует из аргумента.

Существуют аргументы, называемые аргументами «к человеку», которые к существу дела не относятся и используются для того, чтобы одержать победу в споре любой ценой. Подобные аргументы затрагивают личность оппонента, апеллируют к аудитории и т.д. Среди таковых можно выделить следующие:

- аргумент к авторитету («как учил товарищ Ленин, нравственно все то, что служит делу революции»);

- аргумент к публике («не слушайте его, он неизвестно кто, а я – с вами, я за выступаю за вас!»);

- аргумент к личности («ты еще слишком молод, чтобы судить об этом!»);

- аргумент к тщеславию («Вы такой умный, образованный, интеллигентный, поэтому Вы со мной согласитесь!»);

- аргумент к силе («вот в другом месте я бы тебе все сразу объяснил»);

- аргумент к жалости («у него сейчас такие жизненные проблемы, ему так трудно учиться, поставьте ему, пожалуйста, удовлетворительную оценку!»);

- аргумент к невежеству («что ты в этом понимаешь, ведь ты Шекспира в подлиннике никогда не читал!»);

- а также: «чрезмерное доказательство», «до­казательство от условного к безусловному», «от отдельного к общему» и «от общего к отдель­ному» и т.п.;

4) совокупность аргументов в доказательстве должна быть непротиворечива. Если аргументы противоречат друг другу, то, по крайней мере, один из них ложен, а ложные аргументы ничего не доказывают.

Правило доказательства, относящееся к демонстрации:

тезис должен быть выводом, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений или полученным в соответствии с правилами косвенного доказательства. Демонстрация должна соответствовать правилам того умозаключения, в форме кото­рого данное доказательство производится.

Основные ошибки, имеющие место в форме доказательства:

1) мнимое следование, когда тезис не следует из приводимых в его подтверждение аргументов, возникает ошибка, называе­мая «не вытекает» или «не следует», т.е. тезис не следует из приводимого доказательства. Так, например, шарообразность Земли не доказывается аргументом возможности кругосветных путешествий, из которого следует только то, что Земля имеет замкнутость формы. Шарообразность формы Земли может быть доказана следующими аргу­ментами: а) в любом месте Земли горизонт представляется окруж­ностью, и дальность горизонта всюду одинакова; b) во время лунного затмения тень Земли, падающая на Луну, всегда имеет округлые очертания;

2) от сказанного с условием – к сказанному безусловно, когда аргумент, истинный только с учетом определенного места, времени, отношения, меры, нельзя приводить в качестве безусловного, верного во всех случаях. Так, если в небольших дозах кофе полезен (для поднятия артериального давления), то в больших дозах он все-таки вреден. Подобно, если мышьяк в небольших дозах добавляется в некоторые лекарства, то в больших дозах он – яд;                                      

3) нарушение правил умозаключений, в которых проводится демонстрация:                                                                      

а) нарушение правил дедуктивных умозаключений: дедуктивная форма демонстрации требует соблюдения правил вывода, касающихся терминов, количества и качества посылок, свойств логических связок;

b) нарушение правил индуктивных умозаключений: индуктивный способ демонстрации приобретает основательность, если сопровождается анализом и отбором фактического материала; следует избегать поспешных обобщений, рассуждений по формуле «после этого – значит, по причине этого». Взаимное дополнение индуктивного и дедуктивного способов обоснования является наиболее основательным способом демонстрации;

c) ошибки в умозаключениях по аналогии: демонстрация в форме аналогии уместна и состоятельна в тех случаях, когда два предмета сходны между собой не в любых, а в существенных признаках. Так, афри­канские пигмеи неправомерно умозаключают по аналогии между чучелом слона и живым слоном (охотничья магия). Перед охотой пигмеи устраивают ритуальные танцы, изображая охоту на слона, копьями пронзают чучело слона, полагая по аналогии, что и охота на живого слона должна быть удачной.

Опровержение и его виды

Обратная доказательству процедура назы­вается опровержением. Опровержение – логическая процедура, устанавливающая ложность или необоснованность выдвинутого тезиса. Это такое рассуждение, которое направлено против выдвинутого тезиса и имеет своей целью установление его ложности или недоказанности; задачей опровержения является показать, что доказательство построено неправильно (имеется в виду аргументы или доказательство), что выдвинутый в нем тезис ложен или не доказан.

Опровержение является частным случаем доказательства, поскольку представляет собой обоснование ложности исходного положения/суждения. Это – логическая процедура, связанная с выявлением несоответствия доказательства правилам тезиса, аргументов или демонстрации.

Опровержение имеет ту же структуру, что и доказательство:

- тезис опровержения или антитезис;

- аргументы опровержения или контраргументы;

- демонстрация – логическая связь между антитезисом и контраргументами.

В соответствии с аналогичной доказательству структурой опровержения делятся на: опровержения путем критики тезиса, опровержения путем критики аргументов и опровержения путем критики демонст­рации.

Опровержение путем критики тезиса есть установление ложности тезиса или его несоот­ветствия правилам относительно тезиса. Опровержение тезиса можно произвести тремя способами: 1) приведением фактов, 2) установлением ложности или противоречивости вытекающих из тезиса следствий, 3) доказательством антитезиса. Разновидностью опровержения тезиса можно считать опровержение путем доведения до абсур­да, т.е. выведение из опровергаемого тезиса следствий, непосредственно или опосредован­но противоречащих действительности или здра­вому смыслу (2).

Опровержение путем критики аргументов – обоснование несовершенства доказательства через установление в нем ложности или несостоятельности аргументов, наличие «логического круга» либо того, что аргументы не находятся в необ­ходимой связи с тезисом. При этом ложность аргументов не касается тезиса, он может оставаться истинным.

Опровержение путем критики демонстрации – обоснование несовершенства доказательства через установление неправомерности связи между тезисом и аргументами, т.е. непра­вильности умозаключения, в форме которого доказательство производится. Доказательство ошибочно, если, например, нарушены: а) правила дедуктивного умозаключения; b) правила индуктивного умозаключения; c) допущены ошибки в умозаключениях по аналогии (традуктивных умозаключениях); d) сделано неверное заключение от истинности частно-утвердительного суждения к истинности общеутвердительного суждения или от истинности частно-отрицательного суждения к истинности общеотрицательного суждения, и в других случаях.