Математические модели экономических систем строятся для достижения одной из двух целей:

1. Теоретические модели предназначаются для изучения общих закономерностей и свойств экономических систем.

2. Прикладные модели строятся для разработки конкретных рекомендаций при принятии управленческих решений и носят, как правило, оптимизационный характер. По своей структуре они являются смешанными. Эмпирические вставки в таких моделях (уровни цен на товары и сырье, взаимосвязи экономических характеристик и показателей и т.п.) определяются путем статистических, маркетинговых и других обследований.

По масштабу моделируемой системы модели делятся на:

1. Макроэкономические модели. Они описывают экономику государства или экономико-географического региона в целом, связывая между собой укрупненные показатели: валовой национальный продукт, национальный доход, инфляцию, уровень занятости и т.п. Обычно такие модели являются теоретическими.

2. Микроэкономические модели. В них моделируемой системой является небольшая часть макроэкономической системы, чаще всего отдельное предприятие или его подразделение. Эти модели обычно носят оптимизационный характер и являются смешанными (полуэмпирическими).

Общая схема развития экономической системы и роль моделирования в этом процессе отображена на рис. 1.1. При построении математических моделей в экономике надо учитывать, что большинство характеристик таких моделей нельзя определить точно. На их значения влияет "человеческий фактор", т.к. они являются результатом действий и решений множества отдельных людей, которые в одинаковой ситуации ведут себя по-разному. В результате характеристики экономических моделей оказываются случайными величинами, сгруппированными вокруг каких-то средних значений или осредненных зависимостей. Такие модели называются стохастическими (в отличие от детерминированных моделей, характеристики которых жестко заданы).

Рис. 1.1. Роль моделирования в развитии экономической системы

Экономико-математические модели по своей природе являются в той или иной степени неопределенными. При теоретическом моделировании эта неопределенность остается за рамками исследования, т.к. целью моделирования является выявление как раз наиболее общих, осредненных закономерностей. При построении прикладных моделей неопределенность характеристик либо изначально закладывается в модель, либо ее необходимо держать "в уме" и понимать, что результат моделирования – это лишь наиболее вероятный вариант. Всегда есть вероятность того, что реальная ситуация будет развиваться не так, как предсказывает разработанная модель и надо принимать меры противодействия или страховки на этот случай.

При построении различных эмпирических (и смешанных) моделей надо учитывать еще одно обстоятельство, хорошо известное специалистам технических наук, но нередко забываемое экономистами. Оно заключается в том, что эмпирические закономерности, вообще говоря, нельзя экстраполировать (продолжать за пределы диапазона, охваченного экспериментальным исследованием), так как в неизученной области могут проявить себя принципиально иные эффекты, не характерные для уже исследованной области изменения факторов процесса. В экономических исследованиях и практической деятельности широко используется понятие тренда (тенденции). Это эмпирическая закономерность изменения во времени того или иного экономического показателя, полученная путем обработки данных о его значениях в предыдущие моменты времени. Достаточно часто экономические решения принимаются на основе предположений о том, что эта же закономерность будет иметь место и в будущем (хотя бы на какой-то срок). Совсем обойтись без таких предположений нельзя – иначе стало бы невозможным никакое перспективное планирование. Однако при составлении планов следует критически анализировать имеющиеся тренды и учитывать возможность их нарушения.

Анализ большинства экономических кризисов и катастроф показывает, что они связаны с некритическим продолжением на значительный срок в будущее каких-то трендов, имевших место в предшествующий период (роста цен на нефть, объемов ипотечного кредитования, числа вкладчиков финансовой "пирамиды" и т.п.). Для изучения возможности возникновения, предсказания и объяснения причин таких кризисных ситуаций необходимо использовать теоретическое моделирование.

Основные понятия оптимизационных моделей

Оптимизационные модели направлены на поиск наилучшего варианта решения из некоторого множества возможных решений. Критерием оптимальности в таких моделях служит достижение экстремального (максимального или минимального) значения некоторой величины, зависящей от переменных модели. Такая величина называется целевой функцией (ЦФ) задачи. Смысл целевой функции зависит от вида и смысла решаемой задачи. В экономических моделях в качестве целевой функции часто выступает прибыль, выручка от реализации выпущенной продукции и т.п. (они в итоге должны оказаться максимальными), или, например, величина производственных издержек (соответственно, в оптимальном случае она должна быть минимальной).

Таким образом, решение задачи оптимизационного моделирования (коротко – «задачи оптимизации») сводится к поиску экстремума некоторой функции.

Различают условные и безусловные задачи оптимизации. В условных задачах на переменные модели накладываются какие-то ограничения, сужающие область определения целевой функции. Простейшим ограничением является естественное для многих практических задач требование неотрицательности переменных, носящих материальный характер (например, объемов выпуска какой-либо продукции, и т.п.). Возможны и другие ограничения, связанные, например, с ограниченностью материальных или финансовых ресурсов. Такие ограничения всегда имеют вид каких-то равенств или неравенств.

В безусловных задачах оптимизации ограничения отсутствуют. Из этого ясно, что экономические задачи оптимизации, как правило, являются условными.

Задачи оптимизации различаются также:

1. По числу переменных:

а) одномерные – целевая функция зависит от одной переменной;

б) многомерные (двумерные, трехмерные и т.д.) – целевая функция зависит от нескольких переменных.

2. По математической структуре:

а) линейные (все математические выражения в задаче имеют вид линейных форм);

б) нелинейные.

Многомерные условные линейные задачи оптимизации называются задачами линейного программирования (ЗЛП).

Практическое занятие 1

Темы докладов:

1. Социально-экономическая система как объект математического моделирования.

2. Задачи и этапы построения математических моделей социально-экономических процессов.

3. Экономико-математическое моделирование в сфере управления различных уровней хозяйствования.

Вопросы для обсуждения:

1. Что такое модель системы?

2. Каковы основные цели, преследуемые при моделировании различных систем?

3. Какие модели называются оптимизационными?

4. Что такое вербальная модель системы?

5. К какому виду моделей относится структурная схема административного устройства организации?

6. В чем состоит разница между теоретическими и эмпирическими моделями?

7. В чем состоит разница между статическими и динамическими моделями?

8. Чем характеризуется полнота модели?

9. Как соотносятся между собой адекватность и точность модели? В каком случае модель с невысокой точностью может считаться адекватной?

10. Что понимается под смешанной (полуэмпирической) моделью системы?

11. Какое действие называется экстраполированием модели? Почему опасно экстраполировать эмпирические модели?

12. Какие действия входят в состав этапа постановки задачи при создании модели системы?

13. Какие действия входят в состав этапа формализации при создании модели системы?

14. Охарактеризуйте понятия точного, приближенного и численного решения математической задачи.

15. Что называется целевой функцией оптимизационной задачи?

16. Что понимается под условной задачей оптимизации?