Основы математического моделирования социально-экономических процессов

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Основы математического моделирования социально-экономических процессов

Калининград

2018

УДК 330.101

ББК 65

Б21

Рецензенты:

канд. экон. наук, доцент Есенжулова Л. С., доцент кафедры экономики и менеджмента Западного филиала РАНХиГС

канд. физико-матем. наук, доцент Милованов В. Ф., доцент БФУ им. И. Канта

Б21 Балясникова Е. В., Скопич Д. Л.

Основы моделирования социально-экономических процессов /Е. В. Балясникова, Д. Л. Скопич. –Саратов: Амирит. 2018. – с.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление», 38.03.02 «Менеджмент». Учебное пособие содержит основные материалы по дисциплине «Основы моделирования социально-экономических процессов». В нем представлены основные вопросы лекционного курса по дисциплине и для подготовки к практическим занятиям, задания для практического выполнения студентами, задания для выполнения на лабораторных занятиях с методическими рекомендациями по их выполнению.

Допущено (рекомендовано) Ученым советом Западного филиала РАНХиГС в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление», 38.03.02 «Менеджмент»

Учебное пособие рекомендовано к изданию Ученым советом филиала «__» ____________ 201_г., протокол №____.

©Западный филиал РАНХиГС, 2018

Оглавление

Раздел 1. Основные понятия математического моделирования социально-экономических процессов 4

Тема 1. Основные понятия и технология построения математических моделей социально-экономических процессов. 4

Практическое занятие 1. 17

Тема 2. Задачи управления социально-экономическими процессами как объект математического моделирования и прогнозирования. 18

Практическое занятие 2. 21

Раздел 2. Математические модели социально-экономических процессов принятия решений. Методы оптимизации. 22

Тема 3. Модели линейного программирования. 22

Практическое занятие 3. 26

Графический метод решения задач линейного программирования. 28

Практическое занятие 4. 33

Симплексный метод решения задач линейного программирования. 35

Практическое занятие 5. 42

Двойственный симплексный метод. 44

Практическое занятие 6. 49

Постановка и правила построения двойственной задачи. 50

Практическое занятие 7. 53

Транспортная задача. 54

Практическое занятие 8. 65

Решение задач линейного программирования инструментами MS Excel 66

Лабораторная работа по теме «Модели линейного программирования» 70

Тема 4. Специальные задачи линейного программирования. 97

Практическое занятие 9. 97

Тема 5. Динамическое программирование. 100

Практическое занятие 10. 107

Тема 6. Теоретико-игровые модели принятия решений. 108

Практическое занятие 11. 137

Тема 7. Прогнозирование с помощью парной и множественной регрессии. 140

Тема 8: Моделирование временных рядов. 152

Библиографический список. 160

Приложение А.. 162

Оформление титульного листа контрольной работы.. 162

Раздел 1. Основные понятия математического моделирования социально-экономических процессов

Тема 1. Основные понятия и технология построения математических моделей социально-экономических процессов

Рассмотрим ряд основных понятий, связанных с системным анализом и моделированием социально-экономических систем, чтобы с их помощью более полно раскрыть суть такого ключевого понятия, как экономико-математические методы. Термин "экономико-математические методы" понимается в свою очередь как обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов.

Под социально-экономической системой понимают сложную вероятностную динамическую систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ. Она относится к классу кибернетических систем, т. е. систем управляемых.

Центральным понятием кибернетики является понятие «система». Системой называется комплекс взаимосвязанных элементов вместе с отношениями между элементами и между их атрибутами. Исследуемое множество элементов можно рассматривать как систему, если выявлены четыре признака:

- целостность системы, т. е. принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов;

- наличие цели и критерия исследования данного множества элементов,

- наличие более крупной, внешней по отношению к данной, системы, называемой «средой»;

- возможность выделения в данной системе взаимосвязанных частей (подсистем).

Основным методом исследования систем является метод моделирования, т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью будем понимать образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме (т. е. описанный знаковыми средствами на каком-либо языке), отражающий существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его модели. В дальнейшем мы будем говорить только об экономико-математическом моделировании, т. е. об описании знаковыми математическими средствами социально-экономических систем.

Моде́ль (фр. modèle, от лат. modulus — «мера, аналог, образец») — это система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе; представление некоторого реального процесса, устройства или концепции.

Модель есть абстрактное представление реальности в какой-либо форме (например, в математической, физической, символической, графической или дескриптивной), предназначенное для представления определенных аспектов этой реальности и позволяющее получить ответы на изучаемые вопросы

Моделирование это построение моделей, предназначенных для изучения и исследования объектов, процессов или явлений.

Поведение модели должно, так или иначе, отражать особенности поведения оригинала. Смысл моделирования заключается в том, что модель системы проще оригинала и ее исследование провести легче и дешевле. Изменение параметров модели позволит изучить их влияние на оригинал.

Основные цели моделирования в разных ситуациях:

1. Понимание и объяснение причин и факторов, влияющих на определенное поведение оригинала.

2. Прогноз поведения оригинала.

3. Разработка и проектирование технических систем или экономических планов.

4. Автоматизация управления техническими системами и устройствами.

5. Улучшение (оптимизация) характеристик той или иной искусственной системы (технической или экономической). Модели, которые строятся с этой целью, называются оптимизационными.

6. Обучение (студентов, персонала и т.п.).

С точки зрения характера получаемой модели различают следующие основные виды моделирования:

1. Вербальное моделирование производится на основе обычного человеческого языка. Вербальная модель – это просто словесное описание оригинала.

2. Графическое моделирование – это представление модели в виде некоего изображения. Например, географическая карта является графической моделью земной поверхности; чертеж детали является ее графической моделью; структурная схема административного устройства организации (учреждения, фирмы и др.) является графической моделью этой организации, на основе которой можно, например, изучать и совершенствовать процедуры документооборота или принятия решений. Вербальные и графические модели широко используются при обучении.

3. Натурное моделирование, при котором оригинал заменяется своим физическим подобием (макетом). Такие модели также используются в обучении (примером могут служить наглядные пособия в учебных лабораториях; натурными моделями являются также всевозможные тренажеры для обучения шоферов, пилотов, операторов сложных производственных систем и др.). Макетами пользуются и при разработке некоторых технических систем (например, при разработке новых самолетов или автомобилей их макеты сначала обдувают воздухом в аэродинамических трубах для выбора обтекаемой формы корпуса).

4. Математическое моделирование основано на использовании математического аппарата. Существует большое количество разновидностей математических моделей, которые в последнее время объединяют общим наименованием – информационные модели. По характеру зависимости от времени математические модели делятся на статические модели, характеристики которых не изменяются во времени и динамические – с переменными во времени характеристиками.

Экономические процессы всегда развиваются во времени. Статической экономическая модель получается, если все ее характеристики отнести к одному и тому же моменту времени. Динамические модели в экономике, в свою очередь, делятся на дискретные и непрерывные. В дискретных моделях изменение параметров связано только с отдельными моментами времени. В непрерывных моделях параметры изменяются во времени плавно.

Математическое описание системы-оригинала может быть получено разными способами.

При теоретическом моделировании система описывается набором уравнений, которые получаются на базе основных законов природы (при моделировании природных и технических систем), а также здравого смысла, человеческого опыта или более или менее обоснованных логически предположений (гипотез) о процессах, происходящих в системе. Именно такие умозрительные предположения часто используются при теоретическом моделировании экономических и социальных систем.

При эмпирическом моделировании формулы и функции, описывающие те или иные стороны поведения системы, получаются путем прямого измерения характеристик системы и обработки полученных экспериментальных данных. В экономических и социальных системах аналогами экспериментальных исследований являются различные статистические обследования.

Важнейшими свойствами моделей являются их полнота, адекватность и точность. Полнота характеризуется тем, какое количество характеристик оригинала отображает модель. Любая модель неполна по сравнению с оригиналом и какие-то характеристики при моделировании "теряются". Однако эти потерянные характеристики могут быть несущественными с точки зрения целей моделирования, а попытка их учесть путем дополнения модели только усложнит ее и затруднит исследование. Уровень полноты модели влияет на ее адекватность. Адекватность – это соответствие, совпадение каких-либо параметров, удовлетворительное с точки зрения определенных целей, т.е. способна дать ответ на поставленные разработчиком вопросы. Точность характеризуется разностью между фактическими и расчетными значениями исследуемого показателя.

Социально-экономические системы относятся, как правило, к так называемым сложным системам. Сложные системы в экономике обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании, иначе невозможно говорить об адекватности построенной экономической модели.

Важнейшие свойства сложных систем:

1. Эмерджентность как проявление в наиболее яркой форме свойства целостности системы, т. е. наличие у экономической системы таких свойств, которые не присущи ни одному из составляющих систему элементов, взятому в отдельности, вне системы. Эмерджентность есть результат возникновения между элементами системы так называемых синергических связей, которые обеспечивают увеличение общего эффекта до величины, большей, чем сумма эффектов элементов системы, действующих независимо. Поэтому социально-экономические системы необходимо исследовать и моделировать в целом.

2. Массовый характер экономических явлений и процессов. Закономерности экономических процессов не обнаруживаются на основании небольшого числа наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения.

3. Динамичность экономических процессов, заключающаяся в изменении параметров и структуры экономических систем под влиянием среды (внешних факторов).

4. Случайность и неопределенность в развитии экономических явлений. Поэтому экономические явления и процессы носят в основном вероятностный характер, и для их изучения необходимо применение экономико-математических моделей на базе теории вероятностей и математической статистики.

5. Открытость систем, участвующих в экономической системе. Их невозможно изолировать от окружающей среды, чтобы наблюдать и исследовать их в чистом виде.

6. Активная реакция на появляющиеся новые факторы, последствия которой не всегда предсказуемы.

Выделенные свойства социально-экономических систем осложняют процесс их моделирования, однако эти свойства следует постоянно иметь в виду при рассмотрении различных аспектов экономико-математического моделирования, начиная с выбора типа модели и заканчивая вопросами практического использования результатов моделирования.

Процесс моделирования, в том числе и экономико-математического, включает в себя три структурных элемента:

- объект исследования;

- субъект (исследователь);

- модель, опосредующую отношения между познающим субъектом и познаваемым объектом.

Этапы моделирования:

1 этап: необходимо изучить оригинал: его свойства, систему и подсистемы, входящие в нее, взаимодействие с внешней средой и т. д., из которых отобрать определяющие (основные) составляющие и свойства объекта, определить возможность качественной и количественной их оценки. Выбрать метод моделирования и на основе отобранных переменных построить модель. Познавательные возможности модели определяются тем, что модель отображает лишь некоторые существенные черты исходного объекта, поэтому любая модель замещает оригинал в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько моделей, отражающих определенные стороны исследуемого объекта или характеризующих его с разной степенью детализации.

2 этап процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одну из форм такого исследования составляет проведение модельных экспериментов, при которых целенаправленно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее «поведении». Конечным результатом этого этапа является совокупность знаний о модели в отношении существенных сторон объекта-оригинала, которые отражены в данной модели.

3 этап заключается в переносе знаний с модели на оригинал, в результате чего формируется множество знаний об исходном объекте и осуществляется переход с языка модели на язык оригинала. С достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал можно лишь в том случае, если этот результат соответствует признакам сходства оригинала и модели (признакам адекватности).

4 этап: осуществляются практическая проверка полученных с помощью модели знаний и их использование для построения обобщающей теории реального объекта и для его целенаправленного преобразования или управления им. В итоге происходит возврат к проблематике объекта-оригинала.

Моделирование представляет собой циклический процесс: за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а первоначально построенная модель постепенно совершенствуется. Таким образом, в методологии моделирования заложены большие возможности самосовершенствования.

Перейдем теперь непосредственно к процессу экономико-математического моделирования, т. е. описания экономических и социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Эта разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппаратом и средствами моделирования. Поэтому целесообразно более детально проанализировать последовательность и содержание этапов экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов:

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Это этап формализации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Сначала определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей. Для некоторых сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитываются агрегировано и приближенно. Оправдано стремление построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.

3. Математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д. Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап моделирования, так как дело не сводится к пассивному сбору данных. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, выбор программного обеспечения и непосредственное проведение расчетов, при этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят многовариантный характер. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для многих моделей является единственно возможным.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе, прежде всего, решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адекватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных (другими словами, должны быть произведены верификация и валидация модели). Применение численных результатов моделирования в экономике направлено на решение практических задач (анализ экономических объектов, экономическое прогнозирование развития хозяйственных и социальных процессов, выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии).

Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, могут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы приспособиться к доступной исследователю информации.

Основные понятия оптимизационных моделей

Оптимизационные модели направлены на поиск наилучшего варианта решения из некоторого множества возможных решений. Критерием оптимальности в таких моделях служит достижение экстремального (максимального или минимального) значения некоторой величины, зависящей от переменных модели. Такая величина называется целевой функцией (ЦФ) задачи. Смысл целевой функции зависит от вида и смысла решаемой задачи. В экономических моделях в качестве целевой функции часто выступает прибыль, выручка от реализации выпущенной продукции и т.п. (они в итоге должны оказаться максимальными), или, например, величина производственных издержек (соответственно, в оптимальном случае она должна быть минимальной).

Таким образом, решение задачи оптимизационного моделирования (коротко – «задачи оптимизации») сводится к поиску экстремума некоторой функции.

Различают условные и безусловные задачи оптимизации. В условных задачах на переменные модели накладываются какие-то ограничения, сужающие область определения целевой функции. Простейшим ограничением является естественное для многих практических задач требование неотрицательности переменных, носящих материальный характер (например, объемов выпуска какой-либо продукции, и т.п.). Возможны и другие ограничения, связанные, например, с ограниченностью материальных или финансовых ресурсов. Такие ограничения всегда имеют вид каких-то равенств или неравенств.

В безусловных задачах оптимизации ограничения отсутствуют. Из этого ясно, что экономические задачи оптимизации, как правило, являются условными.

Задачи оптимизации различаются также:

1. По числу переменных:

а) одномерные – целевая функция зависит от одной переменной;

б) многомерные (двумерные, трехмерные и т.д.) – целевая функция зависит от нескольких переменных.

2. По математической структуре:

а) линейные (все математические выражения в задаче имеют вид линейных форм);

б) нелинейные.

Многомерные условные линейные задачи оптимизации называются задачами линейного программирования (ЗЛП).

Практическое занятие 1

Темы докладов:

1. Социально-экономическая система как объект математического моделирования.

2. Задачи и этапы построения математических моделей социально-экономических процессов.

3. Экономико-математическое моделирование в сфере управления различных уровней хозяйствования.

Вопросы для обсуждения:

1. Что такое модель системы?

2. Каковы основные цели, преследуемые при моделировании различных систем?

3. Какие модели называются оптимизационными?

4. Что такое вербальная модель системы?

5. К какому виду моделей относится структурная схема административного устройства организации?

6. В чем состоит разница между теоретическими и эмпирическими моделями?

7. В чем состоит разница между статическими и динамическими моделями?

8. Чем характеризуется полнота модели?

9. Как соотносятся между собой адекватность и точность модели? В каком случае модель с невысокой точностью может считаться адекватной?

10. Что понимается под смешанной (полуэмпирической) моделью системы?

11. Какое действие называется экстраполированием модели? Почему опасно экстраполировать эмпирические модели?

12. Какие действия входят в состав этапа постановки задачи при создании модели системы?

13. Какие действия входят в состав этапа формализации при создании модели системы?

14. Охарактеризуйте понятия точного, приближенного и численного решения математической задачи.

15. Что называется целевой функцией оптимизационной задачи?

16. Что понимается под условной задачей оптимизации?

Практическое занятие 2

Подготовьте доклады по темам:

1. Классификация математических моделей процессов управления.

2. Сравнение словесных и математических моделей.

3. Модели процессов управления предприятием.

4. Модели процессов управления качеством.

5. Макроэкономические модели управления.

6. Соотношение задач, моделей, методов и условий применимости.

7. Место принципа максимума Понтрягина среди математических методов оптимального управления.

Практическое занятие 3

Выучить определения и этапы построения экономико-математической модели задачи.

Решите задачи.

1. Постройте экономико-математическую модель определения суточного рациона, содержащего не менее суточной потребности человека в необходимых питательных веществах и обеспечивающего минимальную общую стоимость продуктов. Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг имеющихся в магазине продуктов питания, а также их стоимость приведены в таблице:

Питательные вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов							Норма суточной потребности
Питательные вещества	Мясо	Рыба	Молоко	Масло	Сыр	Крупа	Картофель	Норма суточной потребности
Белки, г	180	190	30	70	260	130	21	118
Жиры, г	20	3	40	865	310	30	2	56
Углеводы, г	0	0	50	6	20	650	200	500
Минеральные соли, г	9	10	7	12	60	20	70	8
Стоимость 1 кг продукта, руб.	200	80	28	90	170	30	15

Построить экономико-математическую модель задачи.

2. Построить экономико-математическую модель для определения оптимального плана объемов перевозок по следующим условиям. На четырех складах имеется продукция в количестве: А₁=200, А₂=300, А₃=250, А₄=180. Для пяти магазинов требуется продукция в количестве: В₁=150, В₂=100, В₃=200, В₄=220, В₅=210. Стоимость перевозок единицы продукции из i-го склада в j-ый магазин представлены в виде матрицы: .

Домашнее задание:

На складах А₁, А₂, А₃имеются запасы цемента в 170, 320, 260 тонн соответственно. Получатели груза В₁, В₂, В₃ соответственно должны получить товары в количествах 290, 360 и 100 тонн соответственно. Найти такой вариант перевозки груза, при котором сумма затрат будет минимальной. Расходы перевозки в таблице:

Грузополучатель	Склад А1	Склад А2	Склад А3
В1	2,27	5,9	2,33
В2	4,7	1,99	5,73
В3	3,28	6,11	8,01

Построить экономико-математическую модель задачи.

Практическое занятие 4

Выучить алгоритм графического метода.

Решить задачи:

1. Постройте на плоскости X₁OX₂ область решений системы линейных неравенств и найдите максимальное и минимальное значения линейной функции в этой области:

2. Найдите вариант приготовления морса клубничного и морса брусничного, который обеспечивает максимальный доход от продажи, если имеется 5 т смеси 1-го вида и 30 т смеси 2-го вида. На изготовление клубничного идет 60% смеси 1-го вида и 40% смеси 2-го вида, на изготовление морса брусничного идет 80% смеси 1-го вида и 20% смеси 2-го вида. Реализуется 1 л морса клубничного за 50 руб., а 1 л морса брусничного за 60 руб. Задачу решите графическим методом.

3. Фирма производит два сорта хлеба Пшеничный 1 сорта и Пшеничный 2 сорта. Для производства 1 буханки Пшеничного 1 сорта требуется 0,02 ч работы оборудования, а для Пшеничного 2 сорта - 0,04 ч, а теста на них составляет 0,6 кг и 0,5 кг на 1 буханку соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 160 кг теста и 24 ч работы оборудования. Доход от реализации 1 буханки хлеба Пшеничного 1 сорта составляет 35 руб., а хлеба Пшеничный 2 сорта - 25 руб.

Определите ежедневный план производства хлеба каждого сорта, обеспечивающий максимальный доход от их продажи. Задачу решите графическим методом.

Домашнее задание:

2. Туристическая фирма в летний период обслуживает в среднем 7500 туристов и располагает автобусами двух типов, характеристики которых представлены в таблице:

Показатели	Автобус
Показатели	I	II
Пассажировместимость, чел.	50	40
Горючее, т	120	70
Экипаж, чел.	3	2

В месяц выделяется 6000 т горючего. Потребность в рабочей силе не превышает 210 человек.

Определите количество автобусов каждого типа, чтобы обеспечить максимальный доход, который составляет от эксплуатации автобуса I типа 2 тыс. руб., II – 1 млн. руб. в месяц. Решите задачу графическим методом.

Практическое занятие 5

Выучите алгоритм симплексного метода.

Решите задачи симплексным методом.

1. На кондитерскую фабрику перед Новым годом поступили заказы на подарочные наборы конфет из трех магазинов. Возможные варианты наборов, их стоимость и товарные запасы на фабрике представлены в таблице:

Наименование конфет	Вес конфет в наборе, кг			Запасы конфет, кг
Наименование конфет	А	В	С	Запасы конфет, кг
Сникерс	0,3	0,2	0,4	600
Марс	0,2	0,3	0,2	700
Баунти	0,2	0,1	0,1	500
Цена, руб.	72	62	76

Определить оптимальное соотношение количества подарочных наборов, которые фабрика может предложить магазинам и обеспечить максимальный доход от продажи.

2. Фирма выпускает пластиковые пупсы, машинки и совки. В таблице приведены расход продуктов, суточное наличие на складе:

Исходный продукт	Расход продуктов на 1 шт продукции			Запас на складе
Исходный продукт	пупс	машинка	совок	Запас на складе
Пластмасса (кг)	0,45	0,75	0,23	1000
Затвердитель (г)	16	14	12	1200
Трудовые затраты (час)	0,75	0,95	0,12	448

Суточный спрос на пупсов на 109 шт. выше, чем на машинки, а на совки на 14 шт. меньше, чем на машинки. Спрос на пупсов не более 130 штук. Отпускная цена пупса – 35 руб., машинки – 49 руб, совка – 5 руб.

3. Фирма выпускает бородинский, галицкий и рижский хлеб. В таблице приведены расход продуктов, суточное наличие запасов на складе:

Исходный продукт	Расход продуктов на 1 шт продукции			Запас на складе
Исходный продукт	бородинский	галицкий	рижский	Запас на складе
Мука( кг)	0,45	0,39	0,55	1000
Дрожжи (гр)	16	14	12	1200
молоко	0,25	0,24	0,22	350

Суточный спрос на бородинский на 100 шт выше, чем на рижский, а на галицкий на 44 шт больше, чем на рижский. Спрос на бородинский не более 330 штук. Отпускная цена бородинского – 25 руб, галицкого – 19 руб, рижского– 27 руб. за буханку.

Домашнее задание:

Конкуренция приводит к необходимости торговым предприятиям заниматься еще и выпуском продукции собственного производства, например, пиццы. Нормы затрат на производство пиццы разных видов, объемы ресурсов и стоимость приведены в таблице:

Продукты	Нормы затрат на изготовление 100 шт. пиццы, кг			Запасы продуктов, кг
Продукты	ассорти	грибная	салями	Запасы продуктов, кг
Грибы	6	7	2	20
Колбаса	5	2	8	18
Тесто	10	8	6	25
Цена за 100 шт., тыс. руб.	9	6	5

Определите структуру выпуска пиццы разных видов для получения максимального дохода предприятия.

Практическое занятие 6

Выучите алгоритм двойственного симплексного метода.

Решите задачи двойственным методом.

3. Постройте экономико-математическую модель определения структуры блюд на предприятии общественного питания, обеспечивающую максимальный доход на основе заданных нормативов затрат продуктов на первые и вторые блюда, представленных в таблице, и решите ее двойственным симплексным методом.

Ресурсы	Плановый фонд ресурсов	Нормативные затраты на 100 блюд
Ресурсы	Плановый фонд ресурсов	1-е блюда	2-е блюда мясные	2-е блюда рыбные	2-е блюда молочные	2-е блюда прочие
Мясо, кг	40000	4,0	8,0	-	-	3,8
Рыба, кг	25000	2,5	-	10	-	-
Овощи, кг	27000	3,2	2,0	3,0	-	4,6
Мука, крупа, макаронные изделия, кг	20000	2,1	2,6	2,3	3,2	2,8
Молоко, л	50000	6,5	-	-	21	-
Доход, руб.		1,3	2,0	1,5	0,3	1,7

Домашнее задание:

Решить задачу двойственным методом:

2. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету для похудения и употреблять питательных веществ, содержащихся в продуктах, в количестве, указанном в таблице:

Вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг фруктов и ягод, г			Нормы потребления, г
Вещества	Мясо	Рыба	Овощи	Нормы потребления, г
Белки	250	180	10	140
Жиры	120	100	0	30
Углеводы	40	80	140	200
Цена за 1 кг, руб.	220,0	100,0	35,0

Определить оптимальный план употребления продуктов с минимальными затратами.

Практическое занятие 7

Выучить правила перехода от прямой задачи к двойственной.

Решить задачи.

1. Записать математическую модель двойственной задачи линейного программирования по заданной прямой задаче:

2. Для производства трех изделий А, В и С используются три вида сырья. Каждый из них используется в объеме, не превышающем 180, 210 и 236 кг. Нормы затрат каждого из видов сырья на одно изделие и цена единицы изделий приведены в таблице.

Вид сырья	Нормы затрат сырья на одно изделие, кг
Вид сырья	А	В	С
1	4	2	1
2	3	1	3
3	1	2	5
Цена изделия, тыс. руб.	10	14	12

Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимального дохода. Составить для данной задачи двойственную и найти оптимальный план двойственной задачи.

Домашнее задание:

Найти решение задачи:

Транспортная задача

Транспортная задача – это задача об оптимальном плане перевозок товаров из пунктов отправления в пункты потребления. Целью транспортной задачи является доставка товаров в определенное время и место при минимальных совокупных затратах трудовых, материальных и финансовых ресурсов или времени доставки.

Выделяют два типа транспортных задач по критерию оптимальности:

- по критерию стоимости – план перевозок является оптимальным, если достигается минимум затрат на его реализацию;

- по критерию времени – план перевозок оптимален, если на него затрачивается минимальное количество времени.

В общем виде задачу можно представить следующим образом: в m пунктах отправления А₁, А₂, ... , А_m имеется однородный груз в количестве соответственно а₁, а₂, ... , а_m. Этот груз необходимо доставить в n пунктов потребления В₁, В₂, ... , В_n в количестве соответственно b₁, b₂, ... , b_n. Стоимость перевозки единицы груза (тариф) из пункта A_i в пункт B_j равна с_ij. Требуется составить такой план перевозок, который позволит вывезти весь товар и имеющий минимальную стоимость (минимальное время перевозки). В зависимости от соотношения между суммарными запасами товара и суммарными потребностями в нем транспортные задачи могут быть закрытыми и открытыми.

Задача называется закрытой, если сумма товара на всех пунктах отправления равна сумме потребностей в товаре на всех пунктах назначения, то есть ,

Если сумма товара на всех пунктах отправления не равна сумме потребностей в товаре на всех пунктах назначения, то есть , то задача называется открытой.

Обозначим через x _ij количество груза, перевозимого из пункта A_i в пункт B_j. Рассмотрим транспортную задачу закрытого типа.

Математическая модель транспортной задачи имеет вид:

при ограничениях:

Оптимальным решением задачи является матрица

удовлетворяющая системе ограничений и обеспечивающая минимальное значение целевой функции.

Алгоритм транспортной задачи

1) Нахождение исходного опорного решения. Данные задачи записываем в таблицу:

…

x11

c11

x12

c12

…

x1r

c1r

…

x1n

c1n

x21

c21

x22

c22

…

x2r

c2r

…

x2n

c2n

…

xk1

ck1

xk2

ck2

…

xkr

ckr

…

xkn

ckn

…

xm1

cm1

xm2

cm2

…

xmr

cmr

…

xmn

cmn

Распределение x _ij можно проводить с помощью метода минимального элемента. Для этого из всех стоимостей выбираем наименьшую и в эту ячейку записываем меньшее значение из соответствующих значений и . Если записывается значение пункта отправления, то все оставшиеся ячейки данной строки заполняются знаками ×, если в указанную ячейку заполняется значение пункта потребления, то все оставшиеся ячейки соответствующего столбца заполняются знаками ×. Эти ячейки считаются заполненными. Если ячеек с наименьшей стоимостью несколько, то сначала заполняем ту ячейку, в которую можно записать большее значение.

Далее из оставшихся незаполненных ячеек снова выбираем наименьшую стоимость и заполняем ячейки аналогично вышеописанному действию. И так заполняем ячейки до тех пор, пока не будут заполнены все ячейки. После того, как все ячейки заполнены необходимо проверить, соответствуют ли значение пунктов отправления суммам по соответствующим строкам, и значения пунктов потребления суммам по соответствующим столбцам.

…

x11

c11

x12

c12

…

x1r

c1r

…

x1n

c1n

x21

c21

x22

c22

…

x2r

c2r

…

x2n

c2n

…

xk1

ck1

xk2

ck2

…

xkr

ckr

…

xkn

ckn

…

xm1

cm1

xm2

cm2

…

xmr

cmr

…

xmn

cmn

…

При распределении товара по клеткам может оказаться, что количество занятых клеток меньше, чем m + n – 1 (m – количество пунктов отправления, n – количество пунктов назначения). Такой план называется вырожденным. В этом случае недостающее их число заполняется клетками с нулевыми поставками, такие клетки называют условно занятыми. Нулевые поставки помещают в пустые клетки с учетом наименьшей стоимости перевозки таким образом, чтобы в каждых строке и столбце было не менее чем по одной занятой клетке.

2) Проверка плана на оптимальность.

Проверить план на оптимальность можно с помощью метода потенциалов. Для этого к таблице опорного решения добавим столбец и строку . Числа и называют потенциалами. Рассчитываются потенциалы для занятых клеток по равенству . Любому потенциалу сначала придаем значение любое значение (удобнее придать нулевое значение потенциалу .

…

x11

c11

x12

c12

…

x1r

c1r

…

x1n

c1n

x21

c21

x22

c22

…

x2r

c2r

…

x2n

c2n

…

xk1

ck1

xk2

ck2

…

xkr

ckr

…

xkn

ckn

…

xm1

cm1

xm2

cm2

…

xmr

cmr

…

xmn

cmn

…

Для всех свободных клеток рассчитаем напряженности, которые показывают возможность уменьшения цены. Напряженности рассчитываются по формуле: . Критерием оптимальности плана является отсутствие отрицательных напряженностей, то есть . Если есть хотя бы одна отрицательная напряженность, то план неоптимальный и его можно улучшить.

3) Переход от одного опорного решения к другому.

Переход от одного плана к другому осуществляется по циклу.

Цикл – замкнутая ломаная линия, состоящая из горизонтальных и вертикальных ребер, вершинами которой являются только заполненные ячейки, за исключением начала цикла. Цикл может иметь любую форму (примеры на рисунке 1.7).

Рис. 1.7. Примеры форм циклов

Начало цикла соответствует ячейке, у которой наибольшее по абсолютной величине отрицательное значение напряженности . Если таких ячеек несколько, то выбирается та ячейка, которой соответствует меньшая цена. Далее от начала цикла методом подбора по заполненным ячейкам составляем ребра цикла до тех пор, пока не вернемся в начало цикла. Цикл единственный.

В начало цикла ставим (+), далее чередуем (-), (+) и т. д. Направление движения для чередования может быть любым.

Из всех вершин цикла за знаком (-) выбираем наименьшее и в новом плане к ячейкам со знаком (+) прибавляем, а от ячеек со знаком (-) отнимаем. Остальные значения плана переписываем из предыдущего.

4) Проверяем план на оптимальность (п.2 алгоритма).

Пункты 2 – 4 алгоритма выполняем до тех пор, пока план не будет оптимальным.

При составлении опорного плана и при каждом переходе к новому плану необходимо рассчитывать стоимость перевозки по формуле

Значение стоимости перевозки с каждым переходом к новому плану должно уменьшаться. Если уменьшения не произошло, значит, была допущена ошибка.

Пример. Три фермерских хозяйства поставляют огурцы четырем оптовым покупателям. Ежедневная потребность покупателей составляет 10, 110, 40 и 110 ц соответственно. Фермерские хозяйства могут ежедневно поставлять 60, 120 и 100 ц огурцов соответственно. Матрица стоимостей перевозки 1 ц огурцов имеет вид . Найти оптимальный план поставки огурцов.

Решение.

1) Найдем опорный план, используя метод минимального элемента.

Проверим задачу на открытость.

Следовательно, задача закрытая.

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	40	2	х	5	х	4
120		х	2	х	6	10	5	110	1
100		х	6	70	3	30	7	х	4

Минимальная стоимость равна 1 в двух ячейках. Начинаем заполнять с ячейки, в которую можно записать большее значение, то есть с ячейки с индексом 23. Потребность третьего потребителя удовлетворена полностью, значит оставшиеся ячейки этого столбца заполняем знаком «х». Из оставшихся пустых ячеек выбираем наименьшую стоимость. Это 1. Заполняем соответствующую ячейку. Потребность первого потребителя удовлетворена полностью, значит, оставшиеся ячейки в данном столбце заполняем знаком «х». И так далее.

Заполнив все ячейки, проверим соответствие сумм по строкам и столбцам.

Рассчитаем стоимость перевозки:

Посчитаем количество заполненных ячеек, их должно быть ровно m + n -1. В нашей таблице 6 заполненных ячеек, что соответствует условию, и задача является невырожденной.

2) Проверим план на оптимальность. Для этого дополним таблицу столбцом и строкой и рассчитаем потенциалы и .

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	40	2	х	5	х	4	0
120		х	2	х	6	10	5	110	1	-1
100		х	6	70	3	30	7	х	4	1
		1		2		6		2

Теперь рассчитаем напряженности для пустых клеток.

Так как есть отрицательное значение напряженности, то план является неоптимальным и его нужно улучшать.

3) Пересчитаем план.

Начало цикла будет в ячейке с индексов 13.

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	- 40	2	+ х	5	х	4	0
120		х	2	х	6	10	5	110	1	-1
100		х	6	70	3 +	30	7 -	х	4	1
		1		2		6		2

Из всех значений в ячейках со знаком (-) выбираем меньшее и в новом плане к ячейкам со знаком (+) прибавляем 30, а от ячеек со знаком (-) отнимаем. Получим новый план.

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	10	2	30	5	х	4
120		х	2	х	6	10	5	110	1
100		х	6	100	3	х	7	х	4

Рассчитаем сумму стоимости перевозки. Стоимость перевозки уменьшилась, значит, расчеты проведены верно.

2) Проверим план на оптимальность.

Найдем потенциалы и .

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	10	2	30	5	х	4	0
120		х	2	х	6	10	5	110	1	0
100		х	6	100	3	х	7	х	4	1
		1		2		5		1

Рассчитаем напряженности для пустых клеток.

Среди найденных значений напряженностей нет отрицательных, следовательно, план оптимальный.

Ответ: минимальной суммой стоимости перевозки является 650. План перевозки:

Первый фермер поставляет 20 ц огурцов первому потребителю, 10 ц огурцов второму потребителю, 30 ц огурцов третьему потребителю.

Второй фермер поставляет 10 ц третьему потребителю и 110 ц четвертому потребителю.

Третий фермер поставляет 100 ц второму потребителю.

Рассмотрим транспортную задачу открытого типа ( .

Решение транспортной задачи открытого типа сводится к решению транспортной задачи закрытого типа путем введения дополнительных (фиктивных) пунктов отправления или назначения с нулевыми стоимостями.

Если сумма имеющего товара в пунктах потребления больше суммы потребностей, то вводится фиктивный потребитель разницы. Если сумма потребностей больше суммы имеющего товара в пунктах отправления, то вводится фиктивный пункт отправления с нулевыми стоимостями. И далее задача решается так же, как задача закрытого типа.

Применение транспортной задачи

Транспортная задача может быть применены во многих социально-экономических областях. Существует множество прикладных социально-экономических задач, которые можно свести к транспортной задаче. Некоторые из таких задач приведены ниже.

Задача оптимального распределения работ. Требуется распределить m работ по n сотрудникам (отделам, участкам) так, чтобы суммарные затраты времени (финансов) были минимальными. Предполагается, что каждый сотрудник (отдел, участок) выполняет одну работу [17].

Задача оптимизации затрат на обучение персонала. Фирма располагает n группами должностей по вакантных единиц в каждой группе; кандидаты на занятие должностей проходят тестирование, по результатам которого их разделяют на m групп по кандидатов в каждой группе; требуются затраты на обучение кандидата i-ой группы для занятия j-ой должности (если , кандидат полностью соответствует должности и обучение (переподготовка или повышение квалификации) не требуется, если (или - любое заведомо большое число), кандидат не может занять данную должность). Требуется распределить кандидатов на должности, затратив минимальные средства на их обучение [17].

Задача оптимального распределения торговых агентов. Необходимо определить план продаж товара в нескольких городах с известной покупательной способностью жителей и известным профессиональным уровнем агентов, чтобы получить максимальный ожидаемый доход от продажи товаров [17].

Задача оптимального размещения производства. Требуется разработать план выпуска n новых видов продукции на m предприятиях при известных издержках производства и сбыта единицы продукции каждого вида, предполагаемом спросе на продукцию каждого вида и прогнозируемой цене за единицу продукции, максимизирующий ожидаемую прибыль [17].

Задача оптимального распределения оборудования. Оборудование различных видов нужно распределить между n рабочими участками так, чтобы суммарная производительность оказалась максимальной (производительность оборудования i -го вида на j-м участке равно ) [17].

Практическое занятие 8

Выучить алгоритм транспортной задачи.

Решить задачи.

1. На складах имеется товар в количестве А₁=77, А₂=53, А₃=120, А₄=60. В три магазина требуется товар в количестве В₁=80, В₂=80, В₃=150. Матрица стоимостей .

2. На складах имеется товар в количестве А₁=80, А₂=80, А₃=50, А₄=10. В четыре магазина требуется товар в количестве В₁=65, В₂=65, В₃=75, В₄=15. Матрица стоимостей .

3. На складах имеется товар в количестве А₁=60, А₂=55, А₃=120, А₄=25. В четыре магазина требуется товар в количестве В₁=75, В₂=85, В₃=80, В₄=20. Матрица стоимостей .

Домашнее задание:

1. Построить оптимальный план объемов перевозок по следующим условиям. На четырех складах имеется продукция в количестве: А₁=200, А₂=300, А₃=250, А₄=180. Для пяти магазинов требуется продукция в количестве: В₁=150, В₂=100, В₃=200, В₄=220, В₅=210. Стоимость перевозок единицы продукции из i-го склада в j-ый магазин представлены в виде матрицы: .

2. Построить оптимальный план объемов перевозок из трех складов в четыре магазина, если А₁=150, А₂=200, А₃=180, В₁=120, В₂=100, В₃=110, В₄=200. Стоимость перевозок представлена в виде матрицы .

Задание 2. Решить транспортную задачу.

Имеются 3 пункта поставки однородного груза А₁, А₂, А₃ и 4 пункта потребления этого груза В₁, В₂, В₃, В₄. На пунктах А (I = 1,2,3 ) груз находится соответственно в количествах а₁, а₂, а₃ условных единиц. В пункты В ( J= 1,2,3,4) требуется доставить соответственно bj единиц груза. Стоимость перевозки единицы груза (с учетом расстояний) из А, в В указана в таблице. Найти оптимальный план закрепления потребителей и поставщиков, чтобы общие затраты на перевозки были минимальными.

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	12	15	21	11	240
A2	14	8	15	20	190
A3	19	16	26	19	190
Потребности	140	190	170	120

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	15	21	14	7	350
A2	8	15	11	9	330
A3	16	26	12	13	270
Потребности	160	390	250	150

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	21	14	17	11	290
A2	15	11	21	12	240
A3	26	12	20	13	190
Потребности	200	260	140	120

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	12	21	9	8	450
A2	13	15	11	15	300
A3	19	26	12	13	400
Потребности	340	290	370	150

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	21	9	10	14	180
A2	15	11	13	13	230
A3	26	12	17	21	180
Потребности	220	160	120	90

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	9	10	16	14	340
A2	11	13	21	11	360
A3	12	17	20	21	280
Потребности	260	380	160	180

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	8	12	5	6	230
A2	4	13	12	8	330
A3	16	19	13	10	280
Потребности	190	290	120	240

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	21	10	15	14	300
A2	15	13	21	11	450
A3	26	17	20	25	400
Потребности	360	420	220	150

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	13	8	10	9	190
A2	14	4	13	11	190
A3	20	16	17	13	240
Потребности	100	290	110	120

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	7	11	16	11	340
A2	12	15	17	21	280
A3	11	12	19	13	360
Потребности	390	280	130	180

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	20	8	7	9	250
A2	14	4	12	5	300
A3	22	15	11	14	200
Потребности	290	170	140	150

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	7	11	16	12	440
A2	12	15	17	8	490
A3	11	12	19	9	340
Потребности	300	410	290	270

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	7	22	8	9	310
A2	12	14	4	11	310
A3	11	20	15	21	260
Потребности	230	310	160	180

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	7	12	28	13	320
A2	12	14	35	28	250
A3	11	16	30	17	340
Потребности	260	190	250	210

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	18	7	12	10	450
A2	15	12	14	17	400
A3	25	11	16	21	450
Потребности	270	400	330	300

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	7	18	7	6	330
A2	12	15	3	8	430
A3	11	25	15	11	380
Потребности	330	320	250	240

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	14	6	4	5	320
A2	17	10	9	7	500
A3	15	11	6	12	380
Потребности	240	440	220	300

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	4	4	9	11	230
A2	9	5	11	21	470
A3	6	4	13	3	310
Потребности	270	290	240	210

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	14	6	4	8	260
A2	17	10	9	7	390
A3	15	11	6	14	370
Потребности	240	390	270	120

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	14	4	9	13	320
A2	17	5	11	10	320
A3	15	8	13	9	370
Потребности	270	270	260	210

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	9	15	35	15	370
A2	15	35	12	18	320
A3	16	19	40	9	220
Потребности	350	180	170	210

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	15	35	20	11	280
A2	35	12	11	15	280
A3	19	16	15	10	380
Потребности	190	290	220	240

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	7	20	15	17	320
A2	6	11	35	10	220
A3	25	15	19	21	470
Потребности	250	350	200	210

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	20	3	9	15	330
A2	14	10	12	11	170
A3	25	11	16	8	250
Потребности	270	160	170	150

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	12	9	15	17	240
A2	14	12	20	10	190
A3	19	16	19	11	190
Потребности	140	190	170	120

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	17	18	7	16	430
A2	12	15	13	18	330
A3	11	25	15	16	580
Потребности	430	220	450	340

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	14	16	14	15	230
A2	17	10	19	17	350
A3	16	11	16	12	380
Потребности	240	540	120	300

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	14	14	9	11	230
A2	9	5	11	21	370
A3	6	14	13	13	310
Потребности	370	290	280	210

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	14	16	14	8	360
A2	17	10	9	7	490
A3	15	11	16	14	370
Потребности	440	390	270	520

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	14	14	19	13	320
A2	16	15	11	10	360
A3	15	17	15	19	370
Потребности	270	280	360	210

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	19	15	35	15	470
A2	15	35	12	18	320
A3	16	19	40	19	220
Потребности	350	280	270	310

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	15	25	10	11	480
A2	25	12	11	15	250
A3	19	16	15	10	380
Потребности	290	290	220	240

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	7	20	15	17	120
A2	6	10	15	10	220
A3	15	12	19	21	470
Потребности	250	150	200	210

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	20	13	19	15	230
A2	14	10	12	11	370
A3	25	11	16	18	250
Потребности	270	260	270	250

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	12	19	15	14	240
A2	14	12	20	10	290
A3	14	16	15	11	390
Потребности	240	290	170	220

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	12	15	21	11	240
A2	14	18	15	18	290
A3	19	16	16	19	350
Потребности	240	190	270	220

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	15	21	14	17	320
A2	18	15	11	19	330
A3	16	26	12	13	370
Потребности	260	390	250	250

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	11	14	17	11	190
A2	15	11	11	12	240
A3	16	12	10	13	290
Потребности	100	160	140	120

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	12	11	19	18	350
A2	13	15	11	15	300
A3	19	26	12	13	250
Потребности	240	290	270	150

Пункты назнач.	B1	B2	B3	B4	Запасы
Пункты Отправ.	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	11	19	10	14	280
A2	15	11	13	13	230
A3	16	12	17	15	250
Потребности	220	260	220	190

Практическое занятие 9

1. Формализуйте (сделайте математическую постановку) следующие задачи:

а) задачу оптимизации затрат на обучение персонала;

б) задачу оптимального распределения торговых агентов;

в) задачу оптимального размещения производства.

2. Предположим, что нам необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления на стойловый период для дойных коров. На 1 голову скота в сутки требуется не менее 16,1кг кормовых единиц и 1819г перевариваемого протеина. Рацион составляется из трёх видов кормов: комбикорма, сена, силоса. Содержание питательных веществ в единице каждого вида корма и себестоимость кормов приведены в таблице ниже.

Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость кормов

Согласно физиологическим особенностям животных в рационе должно содержаться не менее 31% концентрированных (комбикорм) и не более 26% грубых (сено) кормов от общей потребности в кормовых единицах.

Критерий оптимальности – минимум себестоимости рациона при выполнении условий по необходимому содержанию питательных веществ в рационе.

3. Фабрика выпускает продукцию двух видов: П₁ и П₂. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой продукции используются три исходных продукта - А, В, С. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т соответственно. Расходы сырья А, В, С на 1 тыс. изделий П₁ и П₂приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 тыс. изделий (т)		Максимально возможный запас (т)
	П₁	П₂
А В С	1 2 1	2 1 0.8	6 8 5

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделия П₂никогда не превышает спроса на изделия П₁ более чем на 1 тыс. шт. Кроме того, установлено, что спрос на изделия П₂ никогда не превышает 2 тыс. шт. в сутки.

Оптовые цены 1 тыс. шт. изделий П₁ равны 3 тыс. руб., 1 тыс. шт. П₂- 2 тыс. шт. Какое количество изделий (в тыс. шт.) каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

4. Предприятие производит изделия трех видов, поставляет их заказчикам и реализует на рынке. Заказчикам требуется 1000 изделий первого вида. 2000 изделий второго вида и 2500 изделий третьего вида.

Условия спроса на рынке ограничивают число изделий первого вида 2000 единицами, второго – 3000 и третьего – 5000 единицами.

Для изготовления изделий используется 4 типа ресурсов. Количество ресурсов, потребляемых для производства одного изделия, общее количество ресурсов и прибыль от реализации каждого вида изделия заданы в таблице.

Тип ресурсов	Вид изделий			Всего ресурсов
Тип ресурсов	1	2	3	Всего ресурсов
1 2 3 4	500 1000 150 100	300 200 300 200	1000 100 200 400	25000000 30000000 20000000 40000000
Прибыль	20	40	50

Как организовать производство, чтобы:

1) обеспечить заказчиков;

2) не допустить затоваривания;

3) получить максимальную прибыль?

Домашнее задание:

1. При продаже двух видов товара используется 4 типа ресурсов. Норма затрат ресурсов на реализацию единицы товара, общий объем каждого ресурса заданы в табл. 3.2.

Прибыль от реализации одной единицы товара первого вида составляет 2 усл. ед., второго вида – 3 усл. ед.

Требуется найти оптимальный план реализации товаров, обеспечивающий торговому предприятию максимальную прибыль.

Ресурсы	Норма затрат ресурсов на товары		Общее количество ресурсов
	1 -го вида	2-го вида
1 2 3 4	2 1 4 0	2 2 0 4	12 8 16 12

2. Предприятие рекламирует свою продукцию с использованием четырех источников массовой информации: телевидения, радио, газет и расклейки объявлений. Анализ рекламной деятельности в прошлом показал, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 5, 7 и 4 усл. ед., в расчете на 1 усл. ед., затраченную на рекламу. На рекламу выделено 50 000 усл. ед. Администрация предприятия не намерена тратить на телевидение более 40 %, а на радио и газеты — более 50 % от общей суммы выделенных средств. Как следует предприятию организовать рекламу, чтобы получить максимальную прибыль?

Практическое занятие 10

1. Распределить оптимальным образом средства инвестора величиной Х между тремя предприятиями. От выделенной суммы зависит прирост выпуска продукции на предприятиях, значения которого приведены в таблице:

Денежные средства, Х	Прирост выпуска продукции
Денежные средства, Х	I	II	III
20	10	11	13
40	17	33	29
60	28	45	38
80	38	51	49
100	46	68	61
120	68	80	81

2. Планируется распределение начальной суммы млн. р. Между четырьмя предприятиями некоторого объединения. Средства выделяются только в размерах кратных млн. р. Функции прироста продукции от вложенных средств на каждом предприятии заданы таблично. Требуется так распределить вложения между предприятиями, чтобы общий прирост продукции (в млн. р.) был максимальным.

Денежные средства, Х	Доход от вложения средств в предприятие
Денежные средства, Х	I	II	III	IV
0	10	15	13	14
80	13	20	17	16
160	16	22	21	23
240	21	25	26	25
320	25	30	28	27
400	25	32	30	32

Домашнее задание:

Распределить средства инвестора между четырьмя предприятиями таким образом, чтобы доход от их вложения был бы максимальным. Данные по предприятиям указаны в таблице.

Денежные средства, Х	Доход от вложения средств в предприятие
Денежные средства, Х	I	II	III	IV
15	3,5	3,8	3,9	4,2
30	3,6	3,9	4,2	4,5
45	4,0	4,2	4,4	5,0
60	4,3	4,4	5,0	5,2
75	4,5	4,9	5,3	5,5

Практическое занятие 11

1. Дана платежная матрица. Определите оптимальные стратегии игроков, верхнюю и нижнюю цену игры.

I II	В₁	В₂	В₃	В₄	В₅	В₆
А₁	20	40	50	70	10	30
А₂	15	25	70	50	20	10
А₃	80	35	40	80	90	25
А₄	45	70	90	70	25	55

2. Определите оптимальную стратегию в «игре с природой», заданной следующей платежной матрицей:

I II	П₁	р_i₁	П₂	р_i₂	П₃	р_i3	П₄	р_i₄
А₁	20	0,15	40	0,25	50	0,3	70	0,25
А₂	15	0,35	25	0,15	70	0,25	50	0,25
А₃	80	0,3	35	0,4	40	0,35	80	0,4
А₄	45	0,2	70	0,2	90	0,1	70	0,1

Составьте матрицу рисков и определите оптимальную стратегию по критерию минимального риска.

3. Определите оптимальную стратегию в «игре с природой», заданной платежной матрицей. Составьте матрицу рисков и определите оптимальную стратегию по критерию минимального риска.

I II	П₁	р_i₁	П₂	р_i₂	П₃	р_i3	П₄	р_i₄
А₁	10	0,1	15	0,15	25	0,25	20	0,2
А₂	20	0,15	25	0,1	35	0,1	10	0,3
А₃	15	0,25	10	0,2	20	0,15	30	0,1
А₄	25	0,2	40	0,3	30	0,1	40	0,1
А₅	40	0,2	35	0,15	55	0,15	60	0,1
А₆	30	0,1	20	0,1	10	0,25	50	0,2

4. Определите оптимальную стратегию в «игре с природой», заданной платежной матрицей. Составьте матрицу рисков и определите оптимальную стратегию по критерию минимального риска.

I II	П₁	р_i₁	П₂	р_i₂	П₃	р_i3	П₄	р_i₄	П₅	р_i₅
А₁	25	0,2	55	0,2	35	0,35	60	0,25	25	0,35
А₂	35	0,25	60	0,1	25	0,15	50	0,25	35	0,15
А₃	20	0,1	45	0,35	20	0,15	40	0,2	45	0,1
А₄	40	0,35	70	0,15	40	0,15	50	0,2	65	0,25
А₅	45	0,1	30	0,2	30	0,2	30	0,1	25	0,15

5. Перед администрацией муниципального образования стоит задача по ремонту дорог в трех микрорайонах города. На выполнение работ претендуют 4 компании. По предыдущим результатам сотрудничества имеются следующие данные: первая компания может превысить запланированную стоимость работ на 15 % в каждом микрорайоне с вероятностью 10 %, 11 %, 9 % соответственно; вторая компания может превысить запланированную стоимость работ на 14 % в каждом микрорайоне с вероятностью 15 %, 10 %, 12 % соответственно; третья компания может превысить запланированную стоимость работ на 16 % в каждом микрорайоне с вероятностью 9 %, 8 %, 10 % соответственно; четвертая компания может превысить запланированную стоимость работ на 13 % в каждом микрорайоне с вероятностью 11 %, 12 %, 14 % соответственно. Выбрать наиболее надежную фирму для выполнения ремонтных работ в рамках заложенной в бюджет стоимости, если для ремонта дорог в первом микрорайоне запланировано 3 млн. руб., второго – 3,5 млн. руб., третьего – 2,8 млн. руб.

6. Перед администрацией муниципального образования стоит задача строительства школ в пяти микрорайонах города. На выполнение работ претендуют 3 компании. По предыдущим результатам сотрудничества имеются следующие данные: первая компания может превысить запланированную стоимость работ на 20 % в каждом микрорайоне с вероятностью 12 %, 13 %, 10 % соответственно; вторая компания может превысить запланированную стоимость работ на 18 % в каждом микрорайоне с вероятностью 14 %, 15 %, 13 % соответственно; третья компания может превысить запланированную стоимость работ на 16 % в каждом микрорайоне с вероятностью 21 %, 19 %, 22 % соответственно. Выбрать наиболее надежную фирму для строительства школ в рамках заложенной в бюджет стоимости, если для строительства школ в первом микрорайоне запланировано 230 млн. руб., второго – 350 млн. руб., третьего – 310 млн. руб.

Домашнее задание:

1. Определите минимаксные стратегии игроков (нижнюю и верхнюю цены игры).

I II	В₁	В₂	В₃	В₄	В₅
А₁	5	8	7	6	3
А₂	10	12	4	7	2
А₃	15	10	8	7	4
А₄	10	7	8	12	6
А₅	7	10	11	3	5
А₆	7	2	3	12	4

2. Определите оптимальную стратегию в «игре с природой», заданной платежной матрицей. Составьте матрицу рисков и определите оптимальную стратегию по критерию минимального риска.

I II	П₁	р_i₁	П₂	р_i₂	П₃	р_i₃	П₄	р_i₄
А₁	25	0,1	15	0,15	15	0,25	45	0,2
А₂	35	0,15	20	0,1	25	0,1	55	0,3
А₃	60	0,25	25	0,2	35	0,15	25	0,1
А₄	45	0,2	35	0,3	15	0,1	35	0,1
А₅	70	0,2	45	0,15	45	0,15	65	0,1
А₆	50	0,1	20	0,1	65	0,25	70	0,2

3. Сформулировать и решить задачу для нахождения минимаксных стратегий, нижней и верхней цен игры.

4. Сформулировать и решить задачу игры с «природой».

Библиографический список

1. Багриновский К.А., Бусыгин В.П. Математика плановых решений. - М.: Наука, 1980.

2. Бизнес-процесс реинжиниринг и проектирование информационных систем. Материалы семинара. - М.:МГУЭСИ - РосНИИ ИТСАП, 1996. - 100 с.

3. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1969.

4. Гнеденко Б.В. Математика и контроль качества продукции.- М.: Знание, 1978. – 64 с.

5. Гольштейн Е.Г. Выпуклое программирование (элементы теории). – М.: Наука, 1970.

6. Жданова Г.А. Эффект лояльности как базисный элемент работы с покупателями. - Предприятия России в транзитивной экономике. Материалы международной научно-практической конференции. Часть I. - Ярославль: Концерн «Подати», 2002.

7. Математическая экономика на персональном компьютере. Пер. с яп./ М. Кубонива, М. Табата, С.Табата, Ю. Хасэбэ; Под ред. М. Кубонива. - М.: Финансы и статистика, 1991. - 304 с.

8. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981. - 488 с.

9. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. - М.: Мир, 1975. - 500 с.

10. Нейман Дж.фон, Моргенштейн О. Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука, 1970.

11. Неуймин Я.Г. Модели в науке и технике. История, теория, практика. - Л.: Наука, 1984. - 190 с.

12. Орлов А.И. Математические модели отдельных сторон обучения математике. – В: «Сб. научно-методических статей по математике. (Проблемы преподавания математики в вузах.)» Вып.7. - М.: Высшая школа, 1978. С.28-34.

13. Орлов А.И. Менеджмент Учебник. М.: Издательство "Изумруд", 2003

14. Орлов А.И. Теория принятия решений. – М.: Экзамен, 2003 (в печати).

15. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. -296 с.

16. Орлов А.И. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2003. – 576 с.

17. Основы математического моделирования социально-экономических процессов : учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / И. Н. Дубина. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 349 с..

18. Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1970.

19. Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 616 с

Приложение А

Оформление титульного листа контрольной работы

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И

ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

по дисциплине_____________________________________________

тема______________________________________________________

Выполнил(а):

студент(ка)___курса

___________формы обучения

группы____________________

Ф.И.О.____________________

__________________________

подпись___________________

Проверил:

Должность, звание__________

Ф.И.О.____________________

__________________________

Оценка____________________

Подпись___________________

Калининград, 20__г.

Основы математического моделирования социально-экономических процессов

Калининград

2018

УДК 330.101

ББК 65

Б21

Рецензенты:

канд. экон. наук, доцент Есенжулова Л. С., доцент кафедры экономики и менеджмента Западного филиала РАНХиГС

канд. физико-матем. наук, доцент Милованов В. Ф., доцент БФУ им. И. Канта

Б21 Балясникова Е. В., Скопич Д. Л.

Учебное пособие рекомендовано к изданию Ученым советом филиала «__» ____________ 201_г., протокол №____.

Оглавление

Раздел 1. Основные понятия математического моделирования социально-экономических процессов 4

Тема 1. Основные понятия и технология построения математических моделей социально-экономических процессов. 4

Практическое занятие 1. 17

Практическое занятие 2. 21

Раздел 2. Математические модели социально-экономических процессов принятия решений. Методы оптимизации. 22

Тема 3. Модели линейного программирования. 22

Практическое занятие 3. 26

Графический метод решения задач линейного программирования. 28

Практическое занятие 4. 33

Симплексный метод решения задач линейного программирования. 35

Практическое занятие 5. 42

Двойственный симплексный метод. 44

Практическое занятие 6. 49

Постановка и правила построения двойственной задачи. 50

Практическое занятие 7. 53

Транспортная задача. 54

Практическое занятие 8. 65

Решение задач линейного программирования инструментами MS Excel 66

Лабораторная работа по теме «Модели линейного программирования» 70

Тема 4. Специальные задачи линейного программирования. 97

Практическое занятие 9. 97

Тема 5. Динамическое программирование. 100

Практическое занятие 10. 107

Тема 6. Теоретико-игровые модели принятия решений. 108

Практическое занятие 11. 137

Тема 7. Прогнозирование с помощью парной и множественной регрессии. 140

Тема 8: Моделирование временных рядов. 152

Библиографический список. 160

Приложение А.. 162

Оформление титульного листа контрольной работы.. 162

Раздел 1. Основные понятия математического моделирования социально-экономических процессов

- наличие цели и критерия исследования данного множества элементов,

- наличие более крупной, внешней по отношению к данной, системы, называемой «средой»;

- возможность выделения в данной системе взаимосвязанных частей (подсистем).

Основные цели моделирования в разных ситуациях:

1. Понимание и объяснение причин и факторов, влияющих на определенное поведение оригинала.

2. Прогноз поведения оригинала.

3. Разработка и проектирование технических систем или экономических планов.

4. Автоматизация управления техническими системами и устройствами.

6. Обучение (студентов, персонала и т.п.).

С точки зрения характера получаемой модели различают следующие основные виды моделирования:

Математическое описание системы-оригинала может быть получено разными способами.

Важнейшие свойства сложных систем:

6. Активная реакция на появляющиеся новые факторы, последствия которой не всегда предсказуемы.

Процесс моделирования, в том числе и экономико-математического, включает в себя три структурных элемента:

- объект исследования;

- субъект (исследователь);

- модель, опосредующую отношения между познающим субъектом и познаваемым объектом.

Этапы моделирования:

Дата: 2019-05-28, просмотров: 350.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	40	2	х	5	х	4
120		х	2	х	6	10	5	110	1
100		х	6	70	3	30	7	х	4

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	40	2	х	5	х	4	0
120		х	2	х	6	10	5	110	1	-1
100		х	6	70	3	30	7	х	4	1
		1		2		6		2

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	10	2	30	5	х	4
120		х	2	х	6	10	5	110	1
100		х	6	100	3	х	7	х	4

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	10	2	30	5	х	4	0
120		х	2	х	6	10	5	110	1	0
100		х	6	100	3	х	7	х	4	1
		1		2		5		1

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	40	2	х	5	х	4
120		х	2	х	6	10	5	110	1
100		х	6	70	3	30	7	х	4

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	40	2	х	5	х	4	0
120		х	2	х	6	10	5	110	1	-1
100		х	6	70	3	30	7	х	4	1
		1		2		6		2

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	10	2	30	5	х	4
120		х	2	х	6	10	5	110	1
100		х	6	100	3	х	7	х	4

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	10	2	30	5	х	4	0
120		х	2	х	6	10	5	110	1	0
100		х	6	100	3	х	7	х	4	1
		1		2		5		1

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	40	2	х	5	х	4
120		х	2	х	6	10	5	110	1
100		х	6	70	3	30	7	х	4

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	40	2	х	5	х	4	0
120		х	2	х	6	10	5	110	1	-1
100		х	6	70	3	30	7	х	4	1
		1		2		6		2

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	10	2	30	5	х	4
120		х	2	х	6	10	5	110	1
100		х	6	100	3	х	7	х	4

	280	20		110		40		110
280		20		110		40		110
60		20	1	10	2	30	5	х	4	0
120		х	2	х	6	10	5	110	1	0
100		х	6	100	3	х	7	х	4	1
		1		2		5		1