Теорема 1. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова , такая, что DV есть отрицательная функция. Тогда решение  уравнения (1) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Пусть  — произвольная положительная постоянная, . Положим  при . Так как V определенно-положительная, то . По l найдем  такое, чтобы . Рассмотрим решение  при . Покажем, что

. (5)

Пусть (5) не имеет места. Тогда существует  такое, что , а при . В силу (3) и условия теоремы функция  является при  невозрастающей функцией t. Так как , то , тогда тем более , что противоречит определению T и тому, что . Таким образом, импликация (5) имеет место, а это и означает по определению устойчивость решения  по Ляпунову. Теорема доказана.

Следствие. Если уравнение (1) имеет в области G определенно-положительный интеграл, не зависящий от t и уничтожающийся в начале координат, то решение  устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова , такая, что DV определенно-отрицательная при . Тогда решение  уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Условия теоремы 1 выполнены, и решение  устойчиво по Ляпунову. Следовательно, существует  такое, что

 при .      (6)

Из определения асимптотической устойчивости в силу (4) заключаем, что достаточно доказать импликацию  при . В силу (3) и условия теоремы  — строго убывающая функция t.

Предположим, что теорема неверна. Тогда

.      (7)

Отсюда, из (6) и (4) следует, что при . По условию теоремы , где  — определенно-положительная функция. Пусть . Из (3) следует, что при всех , что противоречит определенной положительности . Полученное противоречие доказывает теорему.

В случае когда уравнение автономно, условия теоремы (2) можно ослабить.

Теорема 3. Пусть уравнение (1) автономно, выполнены условия теоремы 1 и множество  не содержит целиком полных траекторий уравнения (1), за исключением положения равновесия . Тогда решение  асимптотически устойчиво.

Доказательство. Используем доказательство теоремы 2 до формулы (7) включительно. Далее, пусть  — -предельная точка траектории . Из определения -предельной точки и (7) следует, что . По первому свойству предельных множеств (п. 1.3.) все точки траектории  являются -предельными для траектории . Следовательно, для всех t, при которых определено решение , . Отсюда и из (3) следует, что при указанных t , что противоречит условию теоремы, так как  не совпадает с началом координат. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим уравнение движения диссипативной системы с одной степенью свободы , где  удовлетворяют условию Липшица при ,  удовлетворяет условию  при  и  при . Докажем, что положение равновесия  асимптотически устойчиво.

Соответствующая система двух уравнений имеет вид

.

В качестве функции Ляпунова возьмем полную энергию системы .

В силу условия  V —определенно-положительная функция, при этом

.

Следовательно, DV —отрицательная функция и множество M — интервал оси абсцисс при . Так как при  при , то множество M не содержит целых траекторий, отличных от положения равновесия .

По теореме 3 решение  системы асимптотически устойчиво, что и требовалось доказать.

Перейдем к рассмотрению неустойчивости. Пусть  — функция Ляпунова. Обозначим через  любую связную компоненту открытого множества  с началом координат на ее границе.

Теорема 4. Пусть существует функция Ляпунова  такая, что  не пусто и при . Тогда решение  уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство. Пусть . Будем рассматривать решения  с начальной точкой . Достаточно показать, что для каждого из этих решений можно указать момент T (для каждого решения свой) такой, что .

Пусть это неверно, т. е. существует решение , удовлетворяющее при всех  неравенству . Покажем, что траектория решения  принадлежит  при . Действительно, по определению  она может покинуть область  только через ту часть ее границы, где . Но это невозможно, так как  и при возрастании  функция  строго возрастает, пока , в силу (3).

Итак, доказано, что при  и . Следовательно, по условию теоремы  при . Интегрируя (3) от  до , получаем

,

что противоречит ограниченности  при . Противоречие доказывает теорему.

Пример. Рассмотрим уравнение , где  — удовлетворяющая условию Липшица при  функция такая, что  при . Докажем неустойчивость решения .

Рассмотрим систему , соответствующую уравнению примера. В качестве функции Ляпунова возьмем . Имеем:

.

По теореме 4 решение  системы неустойчиво, что и требовалось доказать.

3.3. Устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

,     (8)

где  — заданная квадратичная форма.

Лемма 1. Если собственные числа матрицы A удовлетворяют условию

,    (9)

то уравнение (8) имеет единственное решение , являющееся квадратичной формой.

В следующих двух леммах будут построены квадратичные формы, являющиеся функциями Ляпунова для линейного уравнения

       (10)

и удовлетворяющие условиям теорем 2 и 4.

Лемма 2. Пусть все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части,  — определенно-отрицательная квадратичная форма. Тогда уравнение (8) имеет единственное решение , являющееся определенно-положительной квадратичной формой.

Лемма 3. Пусть матрица A имеет собственные числа с положительными вещественными частями. Тогда можно подобрать  такое, что существует единственное решение  уравнения

,

причем если  — определенно-положительная квадратичная форма, то область  для квадратичной формы  непуста.

Докажем теперь теоремы 5 и 6 пункта 2.6. Рассмотрим уравнение (1), у которого

      (11)

где  удовлетворяет условию

  (12)

равномерно по .

Теорема 5 (см. теорему 5 п. 2.6). Если все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части и  удовлетворяет условию (12), то решение  уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Построим функцию Ляпунова, удовлетворяющую условию теоремы 2 для линейного уравнения (10), и покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы 2 и для уравнения (1).

Пусть  — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению

.

По лемме 2  определенно-положительная. Определим ее производную DV в силу уравнения (1). Из (2) и (11) имеем: . Отсюда получаем:

. (13)

Из (12) следует, что для любого  можно указать  такое, что при  выполняется . Так как  — квадратичная форма, то , , и . Очевидно также, что . Из (13) и записанных неравенств следует, что . Следовательно, DV — определенно-отрицательная функция при , если a выбрать по . Итак, выполнены все условия теоремы 2, откуда следует, что решение  уравнения (1) асимптотически устойчиво. Теорема 5 доказана.

Теорема 6. (см. теорему 6 п. 2.6). Если среди собственных чисел матрицы имеются такие, вещественные части которых положительны, и выполнено условие (12), то решение  уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство. С помощью леммы 3 построим квадратичную форму , удовлетворяющую уравнению , и такую, что область  для функции V непуста. Составим DV в силу уравнения (1). Имеем

.

Используя (12), как и при доказательстве теоремы 5, покажем, что если a достаточно мало, то при  функция . Следовательно, так как в области , то при ,  имеем . Таким образом, выполнены все условия теоремы 4, откуда и следует, что нулевое решение уравнения (1) неустойчиво. Теорема доказана.

Список литературы

Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Сб. статей. Новосибирск: Наука, 1987.

М. Розо. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.

Б. П. Демидович. Лекции по математический теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

И. Г. Петровский. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1964.

Ю. Н. Бибиков. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991.

В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Изд. ФМЛ, 2001.