Рассмотрим уравнение (10), в котором . Обозначим через  траекторию, проходящую через точку  при . Предположим, что нулевое решение (10) асимптотически устойчиво, причем существуют число  и функция ,  при  такие, что  при . В этом случае существуют положительные числа  такие, что при  справедливо неравенство

.  (14)

Если имеет место оценка (14), то говорят, что нулевое решение экспоненциально асимптотически устойчиво. Например, в условиях теоремы 5 нулевое решение уравнения (8) экспоненциально асимптотически устойчиво. Более того, нулевое решение уравнения (8) экспоненциально асимптотически устойчиво при более слабых, чем в теореме 5, ограничениях на нелинейность . Достаточно, чтобы левая часть (9) удовлетворяла неравенству , где  — собственные числа матрицы A (их вещественные части по условию отрицательны).

Для автономного уравнения (10) из экспоненциальной устойчивости следует асимптотическая устойчивость, и наоборот. Однако для неавтономных систем справедливо только первое утверждение.

Для неавтономной системы по формуле (14) вводится аналогичное понятие экспоненциальной устойчивости, однако асимптотическая устойчивость. Кроме того, справедлив следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы линейная система  была экспоненциально устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы существовали две квадратичные формы  и , обладающие следующими свойствами:

1.  вещественная, симметричная и ограниченная;

2.  вещественная, симметричная и ограниченная;

3. ;

4.  (см. п. 3.1).

Второй метод Ляпунова.

3.1. Основные определения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

, (1)

где . Предположим, что G — область единственности и  при всех , т. е. уравнение (1) имеет тривиальное решение . Рассмотрим вопрос об устойчивости этого решения.

Сущность второго метода Ляпунова заключается в исследовании поведения некоторой функции  как функции t при замене x на произвольное решение уравнения (1). В дальнейшем используем определения устойчивости и асимптотической устойчивости, где .

Под функцией Ляпунова будем понимать любую непрерывную функцию  такую, что  при всех . На множестве функций Ляпунова  задан линейный оператор D, определяемый формулой

.    (2)

 называется производной V в силу уравнения (1). Справедлива формула

, (3)

где  — решение уравнения (1) с начальными данными .

Определение. Функция Ляпунова , не зависящая от t, называется определенно-положительной, если в области G при . Функция Ляпунова  называется определенно-положительной, если существует определенно-положительная функция  такая, что . Функция Ляпунова  называется определенно-отрицательной, если  — определенно-положительная функция.

Определение. Функция Ляпунова  называется положительной, если  в области G и отрицательной, если  в G.

Таким образом, функцию Ляпунова, тождественно равную в G нулю, можно рассматривать и как положительную, и как отрицательную.

Отметим следующее свойство определенно-положительных и определенно-отрицательных функций: если , то . (4)

Импликация  в (4) вытекает непосредственно из определения функций Ляпунова. Чтобы обосновать импликацию , рассмотрим произвольную последовательность , , для которой  при . Покажем, что  при . Предположим, что это неверно. Тогда найдется подпоследовательность  и положительное число  такие, что . Согласно определению , где  — определенно-положительная функция. Положим . Множество  компактно, поэтому по теореме анализа , где , следовательно, . Тогда , что противоречит свойству последовательности .