Устойчивость по Ляпунову.

Вводя определение устойчивости по Лагранжу и Пуассону в пункте 1.3, описывались свойства одной отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Предположим, что система при старте из начальной точки  порождает траекторию . Рассмотрим другую траекторию той же системы , стартовая точка которой близка к . Если обе траектории остаются близкими в любой последующий момент времени, то траектория  называется устойчивой по Ляпунову.

Наглядная иллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рис. 2. Когда говорят просто об устойчивой траектории, то всегда имеется в виду устойчивость по Ляпунову.

Рис. 2. Качественная иллюстрация устойчивости по Лагранжу (траектория остается в замкнутой области), по Пуассону (траектория многократно возвращается в -окрестность стартовой точки) и по Ляпунову (две близкие на старте траектории остаются близкими всегда)

Рассмотрим уравнение (1)

где  и функция f удовлетворяет в G условию Липшица локально:

 и , где  — константа, не зависящая от выбора точек  и .

Предположим, что уравнение (1) имеет решение , определенное при , и что . Чтобы перейти к исследованию нулевого решения, выполним в (1) замену . В результате получим уравнение

,    (2)

где  определена в области, содержащей множество . Это уравнение называется уравнением в отклонениях. Пусть  — решение (2) с начальными данными .

Определение. Решение  уравнения (2) называется устойчивым по Ляпунову, если для , такое, что при .

Решение  называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует  такое, что  при .

Неустойчивость решения  означает следующее: существуют положительное , последовательность начальных точек  при , и последовательность моментов времени  такие, что .

При исследовании вопроса об устойчивости решений часто прибегают к заменам переменных, позволяющим упростить вид рассматриваемого уравнения. Сделаем в (2) замену , где функция  определена при всех  и непрерывна по z при  равномерно относительно , причем . Пусть уравнение  однозначно разрешимо относительно z: , где  определена на множестве  и непрерывна по y при  равномерно относительно . Пусть уравнение (2) заменой  можно преобразовать в уравнение .

Лемма. При сделанных предположениях нулевое решение уравнения (2) устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво тогда и только тогда, когда соответственно устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво нулевое решение уравнения .

Пусть уравнение (2) автономно, а его нулевое решение асимптотически устойчиво. Множество  называется областью притяжения решения .