В данном пункте излагается так называемая теория Флоке.
Будем рассматривать систему вида (4)
где , а матричная функция P(t) удовлетворяет условию P(t + ) = P(t), >0 при всех
. Такие матричные функции будем называть периодическими с периодом или -периодическими.
Теорема Флоке. Фундаментальная матрица системы (4) имеет вид
где G — -периодическая матрица, R — постоянная матрица.
Матрица В, определяемая равенством , называется матрицей монодромии. Для нее справедливо
. Она определяется с помощью фундаментальной матрицы неоднозначно, но можно показать, что все матрицы монодромии подобны. Часто матрицей монодромии называют ту, которая порождается нормированной при
фундаментальной матрицей
, то есть
.
Собственные числа матрицы монодромии называются мультипликаторами уравнения (4), а собственные числа
матрицы R — характеристическими показателями. Из определения R имеем
, при этом простым мультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным — характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.
Характеристические показатели определены с точностью до . Из
и формулы Лиувилля следует, что
.
Название мультипликатор объясняется следующей теоремой:
Теорема. Число является мультипликатором уравнения (4) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение этого уравнения такое, что при всех t
.
Следствие 1. Линейная периодическая система (4) имеет нетривиальное решение периода тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из ее мультипликаторов равен единице.
Следствие 2. Мультипликатору соответствует так называемое антипериодическое решение
периода , т. е.
. Отсюда имеем:
Таким образом, есть периодическое решение с периодом
. Аналогично, если
(p и q — целые,
), то периодическая система имеет периодическое решение с периодом
.
Пусть , где
— матрица из теоремы Флоке,
— ее жорданова форма. По теореме Флоке
, или
, (5)
где — фундаментальная матрица,
— -периодическая матрица. В структуре фундаментальной матрицы линейной системы с периодическими коэффициентами характеристические показатели играют ту же роль, что и собственные числа матрицы коэффициентов в структуре фундаментальной матрицы линейной системы с постоянными коэффициентами.
Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
, (6)
где — -периодическая вещественная скалярная функция. Мультипликаторами уравнения (6) будем называть мультипликаторы соответствующей линейной системы, т. е. системы
с матрицей . Так как
, то
. Мультипликаторы являются собственными числами матрицы
,
где — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям
, а
— решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям
. Пусть
— характеристическое уравнение для определения мультипликаторов. Так как
, то оно принимает вид
, где
.
Дата: 2019-05-28, просмотров: 255.