В коммерческой деятельности в качестве одноканальной СМО с неограниченным ожиданием является, например, коммерческий директор, поскольку он, как правило, вынужден выполнять обслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону, встречи и беседы с подчиненными, представителями налоговой инспекции, милиции, товароведами, маркетологами, поставщиками продукции и решать задачи в товарно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, что связано с обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливо выполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило, экономически весьма ощутимы.

В то же время товары, завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь на обслуживание (продажу).

Длину очереди составляет количество товаров, предназначенных для продажи. В этой ситуации продавцы выступают в роли каналов, обслуживающих товары. Если количество товаров, предназначенных для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичным случаем СМО с ожиданием.

Рассмотрим простейшую одноканальную СМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ и интенсивностью обслуживания µ.

Причем заявка, поступившая в момент, когда канал занят обслуживанием, ставится в очередь и ожидает обслуживания.

Размеченный граф состояний такой системы приведен на рис. 3.5

Количество возможных состояний ее бесконечно:

 - канал свободен, очереди нет, ;

 - канал занят обслуживанием, очереди нет, ;

- канал занят, одна заявка в очереди, ;

- канал занят , заявка в очереди.

Модели оценки вероятности состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выделенных для СМО с неограниченной очередью, путем перехода к пределу при m→∞:

Рис. 3.5 Граф состояний одноканальной СМО с неограниченной очередью.

Следует заметить, что для СМО с ограниченной длиной очереди в формуле

имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем . Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при . Эта сумма сходится, если прогрессия, бесконечно убывающая при , что определяет установившийся режим работы СМО, с при  очередь при  с течением времени может расти до бесконечности.

Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому , следовательно, относительная пропускная способность , соответственно , а абсолютная пропускная способность

.

Вероятность пребывания в очереди k заявок равна:

;

Среднее число заявок в очереди –

;

Среднее число заявок в системе –

;

Среднее время пребывания заявки в системе –

;

Среднее время пребывания заявки с системе –

.

Если в одноканальной СМО с ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания , то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при .