В коммерческой деятельности примерами многоканальных СМО являются офисы коммерческих предприятий с несколькими телефонными каналами, бесплатная справочная служба по наличию в авто магазинах самых дешевых автомобилей в Москве имеет 7 телефонных номеров, а дозвониться и получить справку, как известно, очень трудно.

Следовательно, авто магазины теряют клиентов, возможность увеличить количество проданных автомобилей и выручку от продаж, товарооборот, прибыль.

Туристические фирмы по продаже путевок имеют два, три, четыре и более каналов, как, например, фирма Express-Line.

Рассмотрим многоканальную СМО с отказами в обслуживании на рис. 3.2, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ.

λ λ  λ λ λ

S0

S1

Sk

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ

Рис. 3.2. Размеченный граф состояний многоканальной СМО с отказами

Поток обслуживания в каждом канале имеет интенсивность μ. По числу заявок СМО определяются ее состояния S_k, представленные в виде размеченного графа:

S₀ – все каналы свободны k=0,

S₁ – занят только один канал, k=1,

S₂ – заняты только два канала, k=2,

S_k – заняты k каналов,

S_n – заняты все n каналов, k= n.

Состояния многоканальной СМО меняются скачкообразно в случайные моменты времени. Переход из одного состояния, например S₀ в S₁, происходит под воздействием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратно – под воздействием потока обслуживания заявок с интенсивностью μ. Для перехода системы из состояния S_k в S_k-1 безразлично, какой именно из каналов освободиться, поэтому поток событий, переводящий СМО, имеет интенсивность kμ, следовательно, поток событий, переводящий систему из S_n в S_n-1, имеет интенсивность nμ. Так формулируется классическая задача Эрланга, названная по имени датского инженера – математика- основателя теории массового обслуживания.

Случайный процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса «рождения- гибели» и описывается системой дифференциальных уравнений Эрланга, которые позволяют получить выражения для предельных вероятностей состояния рассматриваемой системы, называемые формулами Эрланга:

.

Вычислив все вероятности состояний n – канальной СМО с отказами р₀ , р₁, р₂, …,р_k,…, р_n, можно найти характеристики системы обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того, что поступившая заявка на обслуживание найдет все n каналов занятыми, система будет находиться в состоянии S_n:

 k=n.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому

Р_отк+Р_обс=1

На этом основании относительная пропускная способность опредляется по формуле

Q = P_обс= 1-Р_отк=1-Р_n

Абсолютную пропускную способность СМО можно определить по формуле

А=λ*Р_обс

Вероятность обслуживания, или доля обслуженных заявок, определяет относительную пропускную способность СМО, которая может быть определена и по другой формуле:

Из этого выражения можно определить среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, или, что же самое, среднее число занятых обслуживанием каналов

Коэффициент занятости каналов обслуживанием определятся отношением среднего числа занятых каналов к их общему числу

Вероятность занятости каналов обслуживанием, которая учитывает среднее время занятости t_зан и простоя t_пр каналов, определяется следующим образом:

Из этого выражения можно определить среднее время простоя каналов

Среднее время пребывания заявки в системе в установившемся режиме определятся формулой Литтла

Т_смо= n_з/λ.