Пусть платеж FV1 со сроком t1, надо заменить платежом FV со сроком t при использовании сложной процентной ставки r. Причем срок t и t1 измеряются от одного начального момента времени. Уравнения эквивалентности будут иметь вид:

,  при t > t1

 ,          при t = t1                                         

,     при t < t1

Все три уравнения можно объединить в одно:

                                                           (3.26) 

 или

                                                                        (3.27)

Если известна сумма нового платежа FV на который заменяется платеж FV1 со сроком t1 то можно найти время (срок) t нового платежа

                                                                   (3.28)

Замена нескольких платежей одним платежом

Рассмотрим случай, когда платежи FV1, FV2, …FVn, выплачиваем соответственно, через время t1, t2, …, tn, заменяются одним платежом FV с выплатой через время t. Все сроки отмеряются от одного начального момента времени. Очевидно, что для k-ого платежа при t > tк, t = tк,  t < tк получим формулу (46) и суммируя ее по всем tк (к=1, …,n) имеем, что

                                                       (3.29)

или

                                                             (3.30)

Если известна сумма FV платежа, на который заменяется система платежей FV1, FV2, …FVn, то можно найти время (срок) нового платежа t

                                                     (3.31)

При наращении сложными процентами существуют различные возможности изменения финансового соглашения в части замены одного или нескольких платежей новым платежом. Замечательным является тот факт, что в этом случае не возникает сложностей с определением срока (даты) нового платежа, так как уравнение эквивалентности есть уравнение приведенных стоимостей, и, дата может быть любой, так как значения новых характеристик от изменения даты не меняются.

Пример.

Платеж в 60000 руб. и сроком уплаты через 4 года заменить платежом со сроком уплаты через: а) 2 года; б) 5 лет. Применяется сложная процентная ставка 12% годовых.

Решение.

Применяя (3.26), получим

а)

б)

Пример.

Определить величину нового срока, если платеж в 200000 руб. и сроком уплаты через 5 лет заменяется платежом в 300000 руб. и используется сложная процентная ставка 10 % годовых.

Решение.

Применяя (3.28), получим

Пример.

Три платежа 80, 150 и 250 тыс. руб. со сроками выплат со­ответственно через 1 год, 2 года 6 месяцев и 3 года заменяются одним платежом, выплачиваемым через 2 года, при этом приме­няется сложная процентная ставка 12% годовых. Найдите вели­чину консолидированного платежа. Какой будет срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен сумме исходных платежей?

Решение.

1) Из формулы (3.29) следует, что сумма консолидированного платежа будет равна

2) Срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен сумме исходных платежей, определим из (3.31).

Сумма в числителе формулы (3.31) равна

Тогда

4. Основные формулы и примеры решения задач по теме «Финансовые  потоки»

Виды денежных потоков

Основой финансового анализа является оценка денежного потока (cash flow) с₁,с₂,...,с_n генерируемого в течение n временных периодов в результате реализации инвестиционного проекта или функционирования финансового актива. Будем полагать, что составляющие денежного потока с_i:

1) однонаправленные (получение процентов по вкладу в банке, возврат кредита и др.);

2) составляющие потока сконцентрированы на границе периода.

Если составляющие потока c_i сконцентрированы в начале каждого периода, то этот поток называется пренумерандо (pre), если в конце, то поток называется постнумерандо (pst).

Аннуитет это денежный поток, в котором длительность всех периодов одинакова. Аннуитет называют также финансовой рентой.

Аннуитет называется постоянным если составляющие аннуитета постоянны с₁=с₂=,...,=с_n=с.