Основные свойства матрицы Грама

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

1. Матрица симметрична относительно главной диагонали, то есть .

2. Матрица является положительно определенной. Следовательно, при решении методом Гаусса можно воспользоваться схемой единственного деления.

3. Определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции ; в этом случае система (7.18) имеет единственное решение.

В качестве базисных можно выбрать линейно независимые степенные функции

(7.23)

Следует учесть, что N << K. Тогда для этих функций расширенная матрица Грама примет вид

(7.24)

Если выбрать N = K, то на основании единственности интерполяционного полинома получим функцию , совпадающую с каноническим интерполяционным полиномом степени K. При этом аппроксимирующая кривая пройдет через все экспериментальные точки, и функция S будет равна нулю.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод хорд

Пусть на отрезке [ a , b ] функция f ( x ) непрерывна, принимает на концах отрезка значение разных знаков, а производная f ’( x ) сохраняет знак. В зависимости от знака второй производной возможны следующие случаи расположения кривых (рис. 2.7., 2.8):

1.f ( a )<0, f ( b )>0, f ‘( x )>0 – функция возрастает:

а) f ’’( x )>0 (кривая вогнута вниз)	б) f ’’( x )<0 (кривая вогнута вверх)

Рис. 2.7

2.f ( a )>0, f ( b )<0, f ‘( x )<0 – функция убывает:

а) f ’’( x )>0 (кривая вогнута вниз)	б) f ’’( x )<0 (кривая вогнута вверх)

Рис. 2.8

Рассмотрим случай, когда f ’( x ) и f ’’( x ) имеют одинаковые знаки (рис. 2.9.).

3. f ( a )<0, f ( b )>0, f ‘( x )>0 – функция возрастает

а) f ’’( x )>0 (кривая вогнута вниз) б) f ’’( x )<0 (кривая вогнута вверх)

f(a)<0, f(b)>0

f ‘(x)>0, f ’’(x)>0

Рис. 2.9

График функции проходит через точки A ₀ ( a , f ( a )) и B ( b , f ( b )). Искомый корень уравнения (точка ξ) нам известен, вместо него возьмем точку x ₁ пересечения хорды A ₀ B с осью абсцисс это и будет приближенное значение корня.

Уравнение хорды A ₀ B:

Найдем значение x = x ₁, для которого y = 0 :

Теперь корень находится на отрезке [ x ₁ , b ]. Применим метод хорд к этому отрезку. Проведем хорду, соединяющую точки A ₁ ( x ₁ , f ( x ₁ )) и B и найдем точку x ₂ – точку пересечения хорды A ₁ B с осью ox

Продолжая этот процесс, находим:

	и т.д.
		(2.2)

В этом случае конец b отрезка [ a , b ] остается неподвижным, а конец a перемещается.

Формула (2.2) носит название формулы метода хорд. Вычисление по формуле (2.2) продолжаем до тех пор, пока не достигнем заданной точности, т.е. должно выполняться условие:

где - заданная погрешность.

Теперь рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. f ‘( x ) f ’’( x )<0 (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Соединим точки A ( a , f ( a )) и B ₀ ( b , f ( b )) хордой AB ₀. Точку пересечения хорды AB ₀ с осью ox будем считать первым приближением корня. В этом случае, очевидно, неподвижным концом отрезка будет являться конец a.

Запишем уравнение хорды AB ₀:

Отсюда найдем x ₁, полагая y = 0:

Теперь корень следующий:

Применяя метод хорд к отрезку, получим

(2.3)

Условие окончания вычислений:

Итак, если f ‘( x ) f ’’( x )>0 приближенное значение корня находят по формуле (2.2), если f ‘( x ) · f ’’( x )<0, то по формуле (2.3).

Практически выбор той или иной формулы осуществляют, пользуясь следующим правилом: неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.

Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

Имеем y_j = f ( x_j ), L_n(x). Многочлен L_n(x) построен так, что L_n( x_j ) = f ( x_j ). Вычисляя погрешность R_n(x) таким образом: R_n(x) = f (x) - L_n(x), можно получить следующую формулу для оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранжа: . Такая оценка возможна только в том случае, когда известно аналитическое выражение для f. Если же f задана таблично, то производные заменяются конечными разностями.

Интерполяционные формулы Ньютона

Первая интерполяционная формула Ньютона Пусть y_i = f ( x_i ), x_i = x₀ + ih, i = 1, 2, :, n. Нужно построить P_n(x), удовлетворяющий двум условиям:

1. Степень полинома не должна превышать n.

2. P_n( x_i ) = y_i.

Формула P_n(x) для первой интерполяционной формулы Ньютона имеет вид: , где q = ( x - x₀ ) / h. Первая интерполяционная формула Ньютона применяется тогда, когда x находится вначале таблицы. Тогда в качестве x₀ следует брать ближайшее слева к заданному xтабличное значение.

Вторая интерполяционная формула Ньютона Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную формулу становится невыгодно. Для этого применяется вторая интерполяционная формула Ньютона: , где q = ( x - x_n ) / h. Здесь в качестве x_n следует брать ближайшее справа к заданному x табличное значение.

Оценка погрешностей первой и второй интерполяционных формул Ньютона

Используя подстановки q = ( x - x₀ ) / h и q = ( x - x_n ) / h и заменяя соответствующим образом выражение для П_n+1(x) в формуле оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранжа, получим формулы для оценки погрешности интерполирования по первой и второй интерполяционной формуле Ньютона соответственно: , .

Метод Эйлера. Усовершенствованный метод Эйлера.
Классический метод Рунге-Кутты

Не обошла стороной вычислительная математика и дифференциальные уравнения! Сегодня на уроке мы познакомимся с основами приближённых вычислений в этом разделе математического анализа, после чего перед вами приветливо распахнутся толстые-претолстые книги по теме. Ибо вычислительная математика стороной диффуры ещё как не обошла =)

Перечисленные в заголовке методы предназначены для приближённого нахождения решений дифференциальных уравнений, систем ДУ, и краткая постановка наиболее распространённой задачи такова:

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка , для которого требуется найти частное решение, соответствующее начальному условию . Что это значит? Это значит, нам нужно найти функцию (предполагается её существование), которая удовлетворяет данному дифф. уравнению, и график которой проходит через точку .

Но вот незадача – переменные в уравнении разделить невозможно. Никакими известными науке способами. А если и возможно, то получается неберущийся интеграл. Однако частное-то решение существует! И здесь на помощь приходят методы приближенных вычислений, которые позволяют с высокой (а зачастую с высочайшей) точностью «сымитировать» функцию на некотором промежутке.

Идея методов Эйлера и Рунге-Кутты состоит в том, чтобы заменить фрагмент графика ломаной линией, и сейчас мы узнаем, как эта идея реализуется на практике. И не только узнаем, но и непосредственно реализуем =) Начнём с исторически первого и самого простого метода. …Вы хотите иметь дело со сложным дифференциальным уравнением? Вот и я тоже не хочу:)

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения , соответствующее начальному условию , методом Эйлера на отрезке с шагом . Построить таблицу и график приближённого решения.

Разбираемся. Во-первых, перед нами обычное линейное уравнение, которое можно решить стандартными способами, и поэтому очень трудно устоять перед соблазном сразу же найти точное решение:

– желающие могут выполнить проверку и убедиться, что данная функция удовлетворяет начальному условию и является корнем уравнения .

Что нужно сделать? Нужно найти и построить ломаную, которая приближает график функции на промежутке . Поскольку длина этого промежутка равна единице, а шаг составляет , то наша ломаная будет состоять из 10 отрезков:

причём, точка уже известна – она соответствует начальному условию . Кроме того, очевидны «иксовые» координаты других точек:

Осталось найти . Никакого дифференцирования и интегрирования – только сложение и умножение! Каждое следующее «игрековое» значение получается из предыдущего по простой рекуррентной формуле: