Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования –формулой трапеций.

Основная идея этого метода: вычисляемое по формуле (4.5) очередное значение будет точнее, если значение производной, то есть угловой коэффициент прямой замещающей интегральную кривую на отрезке будет вычисляться не по левому краю (то есть в точке ), а по центру отрезка . Но так как значение производной между точками не вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкам центром, в которых является точка , при этом уравнение прямой получает вид:

(4.6)

А формула (5) получает вид

(4.7)

Формула (4.7) применена только для , следовательно, значения по ней получить нельзя, поэтому находят по методу Эйлера, при этом для получения более точного результата поступают так: с начала по формуле (4.5) находят значение

(4.8)

В точке а затем находится по формуле (4.7) с шагом

(4.9)

После того как найдено дальнейшие вычисления при производится по формуле (4.7)

….

3. Модифицированный метод (Эйлера-Коши)

Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида.

Прогноз:

(4.10)

Коррекция:

(4.11)

Геометрически это означает, что с начало определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного направления берется среднее значение этих направлений.

Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.

4. Метод Рунге-Кутты

Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка - широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.

В формуле Симпсонадля приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [x_i+1 , x_i].

тогда можно определить так

Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся еще не определенные значения функции y_i+h/2 и y_i+1. Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений .

При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности.

Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка - (погрешность порядка h⁴):

где

5.Метод простой итерации

Метод простой итерации