MahCad позволяет определять значения собственных пар матриц с помощью встроенных функций: eigenvals и eigenvecs. Первая из них определяет весь набор собственных значений матрицы, включая комплексные, вторая – набор векторов (значения коэффициентов каждого вектора даются по столбцам)

Пример 3.2.

Дана матрица В, найти спектр матрицы:

Решение.

Принимая за переменную Zn набор собственных значений матрицы В:

соответствующие им собственные вектора, переданные в переменную Ve, могут быть найдены посредством встроенной функции eigenvecs с аргументом B:

тогда матрица компонентов собственных векторов В будет иметь вид:

Если считать координаты собственных векторов вручную, то значения будут иные, это связано с тем, что MathCad переводит коэффициенты, стоящие при ξ_i , так чтобы длины получаемых собственных векторов были единичные.

Приведем уравнения, связывающие компоненты вектора, при 𝝺₁= 8,464 (это первый столбец Ve):

0,344 ξ₁ =0,939 ξ₂ или ξ₁ =2,73 ξ₂

Это же уравнение будет получено, если использовать коэффициенты какой-либо строки матрицы B – 𝝺₁×E :

-1,464ξ₁+ 4ξ₂=0 Û 1,464 ξ₁= 4ξ₂ Û ξ₁ =2,73 ξ₂

Тогда вектор α₁, соответствующий значению 𝝺₁=8,464 имеет координаты (2,73а, а) или, согласно MathCad (0,939а;0,344а).

Аналогичным образом могут быть получены коэффициенты второго вектора (-0,591а; 0,807а) или, например, (а;1,365а), матрица B – 𝝺₂×E будет иметь вид:

Заметим, что при составлении уравнения вида (1), связывающего компоненты собственного вектора, коэффициенты из столбца берутся снизу вверх. Это правило работает для матриц любых размерностей.

Пример 3.3.

Так, в случае матрицы A (здесь она носит имя AN) из примера 2.1:

Чтобы определить компоненты собственного вектора вручную, необходимо оставить два строки (любые) из матрицы AN – 𝝺₁×E, например, первые две и приравнять их к нулю:

(3-(-0,524))ξ₁+ 2ξ₂ + ξ₃=0

ξ₁+ (1-(-0,524))ξ₂ - ξ₃=0

после преобразований приходим к следующей системе (в качестве базисной переменной выбрана ξ₁):

ξ₂ = -1,284ξ₁

ξ₃ = -0,957ξ₁

Следовательно, первый собственный вектор (при 𝝺₁ = -0,524) будет иметь компоненты (а; -1,284а; -0,957а) или, согласно MathCad
(-0,53а; 0,68а; 0,507а).

Отметим, что для того, чтобы получить коэффициенты, аналогичные последнему приведенному вектору, необходимо отнормировать коэффициента вектора, полученного вручную, то есть добиться его единичной длины.

Задание для лабораторной работы №3:

Задание 1.

Найти все собственные значения и вектора матрицы А вручную:

           6+N   4

A=     8        15-N

Задание 2.

Найти все собственные значения и вектора матрицы А

Посредством использования стандартных функций пакета MathCad.

Контрольные вопросы

1. Какой вектор называется собственным вектором матрицы?

2. Какое число называется собственным значением матрицы?

3. Что такое собственная пара матрицы?

4. Какое уравнение называется вековым?

5. Что такое спектр матрицы?