Материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления пользователям Интернета и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
© 2018 - 2024
Приближенным значением некоторой величины а называется число ар, которое незначительно отличается от точного значения этой величины.
Абсолютной погрешностью D приближенного значения называется модуль разности между точным и приближенным значениями этой величины:
D = | a – ap |
Относительной погрешностью приближенной величины ар называется отношение абсолютной погрешности приближенной величины к абсолютной величине ее точного значения:
δ = D / |a|
или
D = δ*|a|
На практике, как правило, точное значение величины неизвестно. Поэтому вместо теоретических понятий абсолютной и относительной погрешностей используют практические понятия предельной абсолютной погрешности и предельной относительной погрешности.
Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число Dа, не меньшее абсолютной погрешности этого числа:
D = |а- aр |< Dа
Неравенство позволяет для точного значения величины получить оценку
ар- Dа<а<ар+ Dа
Часто это неравенство записывают в другой форме
а = ар ± Dа = ар(1± δа)
На практике в качестве предельной абсолютной погрешности выбирают наименьшее из чисел Dа, удовлетворяющих неравенству, однако это не всегда возможно.
Пример 1.1.
Оценить предельную абсолютную погрешность приближенного значения ар = 2,72 числа е , если известно, что е = 2,718281828…
Решение.
Очевидно, что |ap – e| < 0,01. Следовательно, Dа=0,01. Справедливо неравенство |ap – e | = | 2,720 – 2,71828…| < 0,002. Получаем другое значение предельной абсолютной погрешности Dа=0,002. Это значит, что следует выбрать наименьшее из найденных значений предельной погрешности, так как это позволит сузить диапазон, в котором находится точное значение изучаемой величины.
Иногда задают условие, характеризующее вид определяемой погрешности. Так, если требуется погрешность в виде числа
Dа = #×10m (*)
то можно ограничиться найденным числом Dа=1×10-2. Если же требуется определить погрешность как число
Dа = #.#×10m (**)
то необходимо досчитать неравенство |ap – e |:
|ap – e |=| 2,720 – 2,71828…|<0,0018=1,8×10-3.
Какую из погрешностей выбрать, нужно решить самому исследователю, поскольку, очевидно, что каждая из них будет давать больший (в первом случае) или меньший (во втором случае) интервал покрытия истинного значения e.
е = 2,72 ± 0,01 или е = 2,72 ± 0,0018.
Таким образом, величина предельной абсолютной погрешности в различных условиях задачи может разной.
Предельной относительной погрешностью данного приближенного числа называется любое число, не меньшее относительной погрешности этого числа:
δ £ δа
Так как справедливо неравенство:
δ = D /|a| £ Dа /|a|
то можно считать, что предельные абсолютная и относительная погрешности связаны формулой:
δа = Dа /|a| или Dа = |a|* δа
Если абсолютная погрешность Dа значительно меньше точного значения |а|, то относительную погрешность определяют приближенно как отношение абсолютной погрешности к приближенному значению:
δа = Dа /|ap|, Dа » |ap|* δа
Часто в формуле вместо знака «»» используют знак точного равенства « = ».
Относительную погрешность иногда задают в процентах.
Пример 1.2.
Оценить предельную относительную погрешность приближенного значения ар = 2,72 числа е, если известно, что найдены два значения предельных абсолютных погрешностей 0,01 и 0,0018, воспользовавшись последним равенством.
Решение.
Используем формулу δа = Dа /|ap|, где ар = 2,72.
Найдем δ1 = 0,01/2,72 = 0,0037 = 0,37%
Найдем δ2 = 0,0018/2,72 = 0,00066 = 0,066%.
Видно, что первая погрешность на порядок больше второй, но, обобщая результаты, можно утверждать, что погрешность и в том, и в другом случае достаточно мала, чтобы влиять на само число ap, поэтому в данной задаче, в качестве предельной абсолютной погрешности, нужно взять первое число, то есть 0,01, при этом предельная относительная погрешность не превысит 0, 37%.
Значащие цифры
Значащими цифрами в записи приближенного числа называются:
- все ненулевые цифры;
- нули, содержащиеся между ненулевыми цифрами;
- нули, являющиеся представителями сохраненных десятичных разрядов при округлении.
Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего п-й значащей цифре, считая слева направо.
Иногда это определение перефразируют:
Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего n – ой значащей цифре.
Пример 1.3.
Определить значащие цифры в записи чисел:
а) ар=2,4537, Dа=0,02539;
б) ар=0,03278, Dа=0,02539;
в) ар=27080, Dа=1245.
Решение
а) Выпишем значение абсолютной погрешности в виде формулы (*):
Dа = 0,03 = 3×10-2
Тогда ар = 2,46 и можно определить верную запись для величины а как а = 2,46 ± 0,03, однако, если приближенное число ар является промежуточным результатом, то оставляют погрешность в виде (**):
Dа = 0,025 = 2,5×10-2
и запись величины а будет иметь вид: а = 2,454 ± 0,025.
б) при решении этого пункта сразу будем выписывать абсолютную погрешность числа в виде формулы (**), поскольку видно, что и само число ар, и его погрешность – числа одного порядка:
Dа = 0,025 = 2,5×10-2
Такой результат, когда и приближенное число, и его погрешность сравнимы, свидетельствует, что число найдено очень грубо. В таких случаях иногда требуется проведение дополнительных исследований для уменьшения значения абсолютной погрешности.
Тогда верная запись числа будет следующей: ар = 0,033, а истинную величину а можно записать как: а = 0,033 ± 0,025 = (3,3 ± 2,5) ×10-2.
Последняя запись наиболее логична, поскольку сразу иллюстрирует, как соотносятся друг с другом число и погрешность.
в) Выпишем абсолютную погрешность в виде формулы (*):
Dа = 1000 = 1×103
Тогда приближенное число будет равно ар = 27000 и запись величины а верными знаками а = 27000 ± 1000 = (2,7 ± 0,1) ×104.
И в этом пункте в), и в предыдущих использованы правила округления.
Пример 1.4.
Определить абсолютные погрешности приближенных чисел с предположением о том, что:
а) ар=2,453 записано верными знаками в широком смысле;
б) ар=27080 записано верными знаками в узком смысле.
Решение
а) предположение о записи числа с верными знаками в широком смысле означает, что абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего последней значащей цифре, тогда, зная что, цифра «3» находится в третьем знаке после запятой, абсолютной погрешности будет равна:
Dа = 0,001 = 1×10-3
И верная запись числа а = 2,453 ± 0,001
б) иная запись числа – с верными знаками в узком смысле, тогда абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего последней значащей цифре, считая слева направо. Так как последняя ненулевая цифра находится в разряде десятка, то за абсолютную погрешность числа можно принять Dа = 0,5×10 = 5.
Значит, запись величины а будет иметь вид: а = 27080 ± 5.
Правила округления чисел
Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:
1) если первая отброшенная цифра меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняют без изменения;
2) если первая отброшенная цифра больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;
3) если первая отброшенная цифра равна 5 и среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;
4) если первая из отброшенных цифр равна 5 и все отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если нечетная (правило четной цифры).
Это правило гарантирует, что сохраненные значащие цифры числа являются верными в узком смысле, т. е. погрешность округления не превосходит половины разряда, соответствующего последней оставленной значащей цифре. Правило четной цифры должно обеспечить компенсацию знаков ошибок.
Пример 1.5.
Округлить числа ар до указанных разрядов:
а) ар=2453,2 до разряда сотен;
б) ар=2,7080 до разряда сотых;
в) ар = 34,150 до разряда десятых.
Решение
а) для решения используем правило 3, так как первая отброшенная цифра «3» больше нуля, значит, ар = 2460.
б) для решения воспользуется правилом 2, тогда ар = 2,71.
в) в этом случае необходимо воспользоваться правилом 4, так как первая отброшенная цифра равна 5, а за ней следует число «0», при этом до цифры «5», стоит «1» - нечетное число, следовательно:
ар = 34,2.
Иногда требуется оценить погрешность числа, не проводя дополнительных испытаний, тогда можно использовать следующую теорему.
Теорема. Если положительное приближенное число имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 101-n, деленной на первую значащую цифру a1:
δ £ 101-n / a1
Эта формула позволяет вычислить предельную относительную погрешность
δa = 101-n / a1
Пример 1.6.
Определить абсолютные и относительные погрешности следующих чисел:
а) ар=24,2;
б) ар=27000.
Решение
а) здесь aн = 2, а количество ненулевых значащих разрядов равно 3, то за δa можно принять величину:
δa = 101-3 / 2 = 0,005
тогда Dа = 0,005 × 24,2 = 0,121 » 0,1.
б)в данном случае aн = 2, а количество ненулевых значащих разрядов равно 2, то за δa можно принять величину:
δa = 101-2 / 2 = 0,05
тогда Dа = 0,05 × 27000 = 1350 » 1000.
Дата: 2019-03-05, просмотров: 331.