По решению СЛАУ
Пусть дана система:
2x + y – z + d = 6
x - 2y + 2z – d = 1
3x + 2y + z – 2d = -2
-x + 3y – 3z + 2d = 1
требуется найти ее решение.
Пакет MathCad дает большие возможности по решению СЛАУ как численно, так и символьно.
Используя матричное исчисление: X= A-1×B.
Вначале задают исходные данные матрицы А и столбца В
Затем вычисляют столбец X (здесь он носит имя x1):
Отметим, что при работе с матрицами в MathCad, ввод матриц ведется с панели инструментов Matrix («Матрица»).
Видно, что значение столбца х1, соответствующее переменой z, равно нулю, но MathCad выводит его в виде числа с плавающей запятой, поэтому иногда применяют преобразование следующего рода:
Но действия по нахождению решения СЛАУ можно реализовывать численно, для этого можно воспользоваться ручным вводом встроенной функцией lsolve (A,B), аргументами которой являются матрица коэффициентов А и свободный столбец В, при этом порядок аргументов имеет значение, так как использование аргументов в обратном порядке не приводит к результатам, а вызывает ошибку вычислений:
Видно, что значение х3 не может быть найдено (при использовании MathCad и переменная А в функции lsolve, и вектор х3 подсвечиваются красным цветом) - это признак методической ошибки.
Если же все записано правильно, то можно найти значения вектора х2:
Отличие значений третьей переменной у непреобразованных векторов х1 и х2 заключается во встроенных методах расчета.
Находить решение, используя обратные матрицы целесообразно, если матрица имеет небольшое число строк и решение должно быть получено однократно, если же матрица громоздка, то решение удобнее искать посредством функции lsolve, в которой заложен метод LU-разложения матрицы.
К матрицам применимы еще несколько удобных встроенных функций MathCad:
детерминант матрицы |A| = -6 
ранг матрицы rank(A) = 4 
сцепление матрицы augment (A,B) работает по правилу объединения вправо:
Очевидно, что и в этой функции порядок введения аргументов важен!
Задания для лабораторной работы №2:
Задание 1.
Найти решение СЛАУ по МГ:
| A | B | ||
| 1 | N | 4 | 2N-3 |
| N-5 | 3 | 2 | N-1 |
| 3 | N-10 | 3 | 2N-20 |
Задание 2.
А) Найти разложение матрицы А на L и U :
| A | ||
| 1 | N | 4 |
| N-5 | 3 | 2 |
| 3 | N-10 | 3 |
Б) Имея две матрицы L и U и столбец В найти: а) матрицу А; б) переменные Y; в) переменные Х:
| 1 | 0 | 0 | 1 | 3 | 4 | |||
| L= | -4 | 15 | 0 | U= | 0 | 1 | 1,2 | |
| 3 | -16 | 10,2 | 0 | 0 | 1 |
| B |
| N-5 |
| -4N-1 |
| 3N-13 |
Задание 3.
Найти обратную матрицу для матрицы А
| A | ||
| 1 | N | 4 |
| N-5 | 3 | 2 |
| 3 | N-10 | 3 |
Задание 4. Найти решение СЛАУ из задания 1 в MathCad путем:
а) использования обратной матрицы;
б) использования функции lsolve.
Контрольные вопросы
1. Какая система уравнений называется системой линейных алгебраических уравнений?
2. В чем заключается методика решения системы методом Гаусса?
3. Как решить систему линейных уравнений по алгоритму метода Гаусса?
4. Какие матрицы получаются при прямом и обратном ходе метода Гаусса?
5. Сколько и каких недостатков у метода Гаусса?
6. Сформулируйте теорему об LU-разложении.
7. Как использовать LU-разложение матрицы при решении системы линейных алгебраических уравнений.
8. Какие произведения матриц L,U будут характеризовать прямой и обратный ход метода Гаусса?
9. Объясните суть использования метода Гаусса при нахождении обратной матрицы.
10. Какие еще существуют методы нахождения обратной матрицы?
Дата: 2019-03-05, просмотров: 251.
