8.1. Общий случай движения твердого тела (обобщение метода полюса)

При анализе пространственного движения тела в неподвижной системе отсчета (система осей ) введем, связанную с телом декартову систему координат с началом в точке А (система ). Кроме того, введем дополнительно полусвязанную с телом систему координат (система ), оси которой в процессе движения остаются параллельны соответствующим осям неподвижной координатной системы; начало этой системы совпадает с точкой А тела (рис.77).

Положение твердого тела полностью определяется положением связанной системы . Ее движение представим в виде суммы поступательного движения вместе с осями полусвязанной координатной системы (движение с кинематическими характеристиками полюса А) и вращения по отношению к ним (сферическое движение относительно полюса А).

Тогда структура движения свободного тела, а так же вид соотношений для расчета скоростей и ускорений принадлежащих ему точек будут те же, что и для плоского движения; однако при движении свободного твердого тела векторы скоростей и ускорений, а так же радиусы-векторы точек будут иметь пространственную ориентацию.

8.2. Сложное движение точки (основные определения, связь относительной и абсолютной производных).

В ряде случаев приходится устанавливать соотношения между кинематическими характеристиками точки в двух различных системах отсчета, движущихся друг относительно друга.

Такова, например, задача об определении скорости и ускорения конца лопасти гребного винта в неподвижной системе отсчета через те же характеристики, но в системе отсчета, связанной с судном.

Будем называть сложным или абсолютным движением точки ее движение по отношению к неподвижной системе отсчета. Движение по отношению к подвижной системе отсчета будем называть относительным. Движение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает рассматриваемая точка, называется переносным движением. 

Аналогичные названия имеют кинематические характеристики точки в указанных движениях.

Переносное и относительное движения предполагаются нами происходящими независимо, т.е. при рассмотрении картины переносного движения (КПД) относительное движение как бы «замораживается», а при рассмотрении картины относительного движения (КОД) «замораживается» переносное.

В зависимости от постановки задачи искомым может оказаться любое из трех названных движений. 

Примечание: в силу произвольности выбора подвижной системы отсчета одно и то же абсолютное движение, в принципе, можно представить бесконечным множеством вариантов выделения составляющих движений; в каждом случае рациональный выбор варианта определяется реальной ситуацией. Например, за летящим в небе самолетом можно наблюдать из поступательно двигающегося автомобиля либо из вращающейся радиолокационной станции; очевидно, что относительные и переносные движения в этих случаях будут существенно отличаться.

Возьмем неподвижную координатную систему  и движущуюся по отношению к ней известным образом подвижную систему  (рис.78).

Радиус-вектор точки М в координатной системе  (кинематическая характеристика абсолютного движения) обозначим , радиус-вектор точки А (начала подвижной системы отсчета) - .

Положение точки М в подвижной координатной системе  (кинематическая характеристика относительного движения) определяется вектором , так что

 .                                                       (64)

Особенность выражения (64) заключается в том, что входящие в него векторы задаются в различных системах отсчета. При проецировании (64) на оси любой системы отсчета следует учесть движение систем отсчета по отношению друг к другу.

Естественно, что дифференцирование векторных величин в подвижных системах отсчета обладает некоторыми особенностями вследствие переменности направлений ортов координатных осей.

Возьмем радиус-вектор точки , заданный в подвижной координатной системе проекциями . Обозначим орты подвижной системы соответственно . Тогда  может быть представлен в виде .

Вследствие того, что оси подвижной координатной системы меняют свое направление, производная по времени от  будет

. (65)

Сумма первых трех слагаемых представляет собой производную в подвижной системе осей и называется относительной или локальной производной (обозначим ее  ), т.е.

.                              

Ее физический смысл – скорость точки в подвижной системе отсчета, т.е. относительная скорость. Для того, чтобы выяснить смысл трех последних слагаемых в (63-7.2), вспомним, что в главе 4 была получена формула

, если .                            

где  - угловая скорость подвижной координатной системы.

Заменяя в этой формуле радиус-вектор  последовательно на , получим

С учетом сказанного сумма последних трех слагаемых в выражении (63-7.2) примет вид

.

Итак, абсолютная производная радиуса-вектора равна сумме его относительной производной и векторного произведения угловой скорости подвижной системы на этот радиус-вектор, т.е.

 .                                               (66)