Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

По данной теме изучите §27-30 гл. 6 [2] или §1-17 гл. 5 [3]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки. Решите следующие задачи: [2] гл. 6 §30 № 6.25 - 6.49 (нечетные) или [4] гл. 5 № 11 - 31, 36 - 39, 67, 71 (1-5).

Из контрольной работы выполните задание с 25-50  своего варианта.

Производная. Понятие производной является одним из важнейших в курсе математики. Многие задачи, как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Производная функции y = f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю:

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если y = f ( u ) и u = φ( x ) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y = f (φ( x )) существует и равна произведению производной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной x:

Аналогичная формула верна и для сложных функций, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

 

Таблица формул дифференцирования.

1.	c’ = 0	12.	(ln u)’ =
2.	x’ = 1	13.	(logau)’ =
3.	(u ± v)’ = u’ ± v’	14.	(sin u)’ = cos u ∙ u’
4.	(uv)’ = uv’ + vu’	15.	(cos u)’ = - sin u ∙ u’
5.	(cu)’ = cu	16.	(tg u)’ =  = sec2 u ∙ u’
6.		17.	(ctg u)’ = -
7.		18.	(arcsin u)’ =
8.	(un)’ = nun-1 u’	19.	(arccos u)’ = -
9.		20.	(arctg u)’ =
10.	(au)’ = au ln a ∙ u’	21.	(arcctg u)’ = -
11.	(eu)’ = eu ln eu’ = euu’

Здесь u и v – дифференцируемые функции от x, а с – постоянная величина.

Пример 1 . Найти производную функции f(x) =

Решение. Дифференцируем функцию по формулам  (uⁿ) = nu^n-1u’:

 

Пример 2. Найти производную функции y = sin³φ и вычислить ее значение при φ = π/3.

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом sinφ. Дифференцируем ее по формулам (uⁿ)’ = nu^n-1 u’ , (sin u)’ = cos u ∙ u’:

 

f’(φ) = 3sin²φ (sinφ)’ = 3sin²φ cosφ

Вычислим значение производной при φ = π/3:

f’ (π/3) = 3 sin² (π/3) cos (π/3) = 3 ( )²∙ (1/2) = 3 ∙ (3/4) ∙ (1/2) = 9/8

Пример 3. Найти производную функции f(x) = ln

Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Дифференцируя, получим:

Приложение производной к исследованию функций.

Дифференцируемая функция y = f ( x ) возрастает на промежутке ] a, b [, если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.

Дифференцируемая функция y = f ( x ) убывает на промежутке ] a, b [, если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.

Функция y = f ( x ) имеет максимум в точке x = x ₁ (рис. 1), если для всех значений х, достаточно близких к х₁, выполняется неравенство f (х) < f (х₁); x = x ₁ - точка максимума; y_max = f (х₁) - максимум функции.

Функция y = f ( x ) имеет минимум в точке х = x ₂ (рис. 1), если для всех значений х, достаточно близких к x ₂ , выполняется неравенство f ( x ) > f (х₂); х = x ₂ - точка минимума; y_min = f ( x ₂ ) - минимум функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремальными.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются критическими точками I рода.

y      

                                  y = f(x)

          f(x₁)

                            f(x₂)

0 x₁                 x₂                  x

                  рис. 1

Первое достаточное условие существования экстремума функции. Если при переходе через критическую точку I рода х = х₀ производная функции у = f (х) меняет знак, то х = х₀ - точка экстремума.

При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то х = х₀ -  точка максимума, a y_max = f ( x ₀ ). Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то х = х₀ - точка минимума, a y_min = f ( x ₀ ).

Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке х = х₀ первая производная функции у = f (х) обращается в нуль, а вторая производная отлична от нуля, то х = х₀ - точка экстремума.

При этом если вторая производная в этой точке положительна (f’’(x₀) > 0), то х = х₀ - точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна ( f "( x ₀ ) < 0), то х = х₀ - точка максимума.

Направление вогнутости и точки перегиба кривой. Говорят, что на промежутке ] а, b [ кривая обращена выпуклостью вверх или выпукла ( ), если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 2).

y                                                   Говорят, что кривая на промежутке ] b, с [ обращена

выпуклая                           выпуклостью вниз или вогнута ( ), если она лежит выше

                            y = f ( x ) касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 2).

                                                Точка А, в которой меняется направление вогнутости кривой,

         А                             называется точкой перегиба кривой (рис. 2).

                                                 График дифференцируемой функции у = f(x) является

                                              выпуклым на промежутке ] а; b [ если вторая производная

      вогнутая                    функции отрицательна в каждой точке этого промежутка.

 a  b      c           x       График дифференцируемой функции у = f ( x ) является

         рис. 2                       вогнутым на промежутке ] b; с [, если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка.

Точки, в которых вторая производная функции обращается в нуль, называются критическими точками II рода.

Если при переходе через критическую точку II рода х = x₀ вторая производная функция меняет знак, то х = х₀ - абсцисса точки перегиба. Ордината точки перегиба равна значению функции в точке х₀, т. е. у_{т п} = f(x₀); А(х₀; f ( x ₀ )) - точка перегиба графика функции у = f (х).

 

Исследование функций и построение их графиков. Исследование функции можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

4. Найти направление вогнутости и точки перегиба графика функции.

5. Для уточнения графика функции рекомендуется найти несколько дополнительных точек из уравнения функции.

 

Пример. Построить график функции у = х³ -  6x² + 9x - 3.

 

1. Функция определена на всей числовой прямой, т. е. D(y) = R.

2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.

3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу: полагая х = 0, получим y = -3. Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно.

4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

5. Найдем производную: у' = 3х² - 12х + 9. Да­лее, имеем (Зх² - 12х + 9 = 0) <=> (х² - 4х + 3 = 0) <=>  Точки х=1 и х = 3 делят область оп­ределения функции на три промежутка: - ∞ ,1 [,

 

 

y        (1;1)                           ] 1,3 [ и ] 3, + ∞ [ В промежутках ] - ∞, 1 [и] 3, + ∞ [ у' > 0, т е.                                                                                 

                                                       функция возрастает, а в промежутке ] 1, 3 [ y '< 0 т. е. функция

                                                       убывает.

0                                  x         При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с         

                                                       плюса на минус, а при переходе через точку х = 3 - с минуса на

                            (2;1)                   плюс. Значит, y_max = y(1) =1, y_min = y(3) = -3 

6. Найдем вторую производную: у" = 6х - 12; 6 x - 12 = 0, x =                    

     (0;-3)                  (3;-3)     = 2. Точка х = 2 делит область определения функции на два   

                                                        промежутка ] - ∞, 2[ и ]2, + ∞[. В первом из них у" < 0, а во
                                                        втором у" > 0, т. е. в промежутке ] - ∞, 2[ кривая выпукла

                 рис. 3                      вверх, а в промежутке ]2, + ∞[ выпукла вниз.  

                                                        Таким образом, получаем точку перегиба (2; -1).

7. Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 3).

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл и его свойства. Непосредственное интегрирование. Определенный интеграл. Вычисление и свойства определенного интеграла. Применение определенного интеграла.

По данной теме сначала изучите §7-10 (1, 2), 11 (1, 2) гл. 3, §12, 14 (1 - 3) гл. 4 [3] или § 1 - 14 гл. 8 [4]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Запишите таблицу интегралов. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки. Решите следующие задачи: [3] гл. 3 §10 №3.5-3.8, 3.12, гл. 4 §12 № 4.1, §14 №4.3 - 4.29 или [4], гл. 8 №1-5, 8-13, 17-21, 23-27, 42-49, 50-55, 60-63.

Из контрольной работы выполните задания с 51 по 75 своего варианта.

Литература.

1. «Алгебра и начало анализа», под ред. Г.Н. Яковлева, М.: 1981 г. ч. I.

2. «Алгебра и начало анализа», под ред. Г.Н. Яковлева, М.: 1981 г. ч. II.

3. И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул «Математика для техникумов», М.: Просвещение, 2005 г.

4. Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике», М.: Просвещение, 2005 г.

Неопределенный интеграл.

Понятие неопределенного интеграла. Дифференцирование - это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или диф­ференциал. Например, если F(x ) = x ¹⁰ , то F ' (х) = 10х⁹, dF (х) = 10х⁹ d х.

Интегрирование - это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находится сама функция. Например, если F ' х = 7 x ⁶ , то F (х) = х⁷ , так как (х⁷)’ = 7х⁶ .

Дифференцируемая функция F ( x ), x  ]a b[ называется первообразной для функции f (х) на интервале ]a; b[, если F '( x ) = f ( x ) для каждого х ] а; b [.

Так, для функции f { x ) = 1/cos² х первообразной служит функция F (х) = tg х, поскольку (tg x)'= = 1/cos² x.

Совокупность всех первообразных функций f ( x ) на интервале ]а; b[ на­зывают неопределенным интегралом от функции f ( x ) на этом интервале и пишут f ( x ) dx = F ( x ) + С. Здесь f ( x ) dx -подынтегральное выражение; f ( x )- подынтегральная функция; х - переменная интегрирования; С - произвольная постоянная.

Например,  5x ’ dx = х⁵ + С, так как (x⁵ + С)' = 5х¹.

 

Приведем основные свойства неопределенного интеграла.

 

1.       Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d   f ( x ) dx = f ( x ) dx .

2.       Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т. е.

  dF ( x ) = F ( x + C .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

∫ af(x) dx = a ∫  f(x)dx.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

∫ ( f ₁ (х) ± f ₂ (x)) dx = ∫ f ₁ (х) dx ± ∫ f ₂ ( x ) dx .