При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим
Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде
получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:
(49)
Пример 6. Вычислить определённый интеграл
Решение. Интегрируем по частям, полагая u = ln x, dv = dx; тогда du = (1/x)dx, v = x. По формуле (49) находим
Найти определённый интеграл по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Найти определённый интеграл
.
Правильное решение и ответ.
Пример 8. Найти определённый интеграл
.
Правильное решение и ответ.
Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. Пусть
где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной
то в соответствии с формулой (16) можно записать
В этом выражении
первообразная функция для
В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна
Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция
принимает соответственно значения aи b, т.е.
Тогда
Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F(b) – F(a) есть
поскольку F(x) – первообразная для f(x).
Итак,
(50)
Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл
после замены переменной
преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами 
и 
. Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение
поставить значения x = aи x = b, т.е. решить уравнения
и
относительно и . После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.
При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.
Пример 9. Вычислить определённый интеграл
Решение. Произведём замену переменной, полагая
Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:
Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение
даёт
а
Используя теперь формулу (50), получим
После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.
Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).
При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим
Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде
получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:
(49)
Пример 6. Вычислить определённый интеграл
Решение. Интегрируем по частям, полагая u = ln x, dv = dx; тогда du = (1/x)dx, v = x. По формуле (49) находим
Найти определённый интеграл по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Найти определённый интеграл
.
Правильное решение и ответ.
Пример 8. Найти определённый интеграл
.
Правильное решение и ответ.
Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. пусть
где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной
то в соответствии с формулой (16) можно записать
В этом выражении
первообразная функция для
В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна
Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция
принимает соответственно значения aи b, т.е.
Тогда
Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F(b) – F(a) есть
поскольку F(x) – первообразная для f(x).
Итак,
(50)
Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл
после замены переменной
преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами и . Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение
поставить значения x = aи x = b, т.е. решить уравнения
и
относительно и . После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.
При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.
Пример 9. Вычислить определённый интеграл
Решение. Произведём замену переменной, полагая
Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:
Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение
даёт
а
Используя теперь формулу (50), получим
После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.
Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).
Дата: 2019-03-05, просмотров: 955.
