Средней и дисперсии

    11.1. Равноотстоящие варианты

Пусть выборка задана в виде распределения равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. В этом случае удобно находить выборочную среднюю и дисперсию методом произведений по формулам

, ,

где  - шаг (разность между двумя соседними вариантами);  - ложный нуль (варианта, которая расположена примерно в середине вариационного ряда);  - условная варианта;  - условный момент первого порядка;  - условный момент второго порядка.

    Пример 11.1. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема :

.

Решение. Составим расчетную табл. 11.1; для этого:

1) запишем варианты в первый столбец;

2) запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;

3) в качестве ложного нуля  выберем варианту (17), которая имеет наибольшую частоту (в качестве  можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем -1, -2, -3 а под нулем 1, 2;

4) произведения частот  на условные варианты  запишем в четвертый столбец; отдельно находим сумму (А₁=--74) отрицательных чисел и отдельно сумму (А₂=14) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (-60) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца;

5) произведения частот на квадраты условных вариант, т.е. , запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой строки третьего и четвертого столбцов; ); сумму чисел столбца (152) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца;

6) произведения частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, т.е. , запишем в шестой контрольный столбец; сумму чисел столбца (132) помещаем в нижнюю клетку шестого столбца.

В итоге получим расчетную табл. 11.1.

Для контроля вычислений пользуются тождеством

.

Контроль:

, .

Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.

    Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

; .

    Найдем шаг (разность между любыми двумя соседними вариантами): .

    Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию, учитывая, что ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту) :

;

.

Таблица 11.1

1	2	3	4	5	6
11	4	-3	-12	36	16
13	16	-2	-32	64	16
15	30	-1	-30	30	0
17	40	0	А1=-74		40
19	6	1	6	6	24
21	4	2	8	16	36
			А2=14

    11.2. Неравноотстоящие варианты

Если первоначальные варианты не являются равноотстоящими, то интервал, в котором заключены все варианты выборки, делят на несколько равных, длины , частичных интервалов (каждый частичный интервал должен содержать не менее 8-10 вариант). Затем находят середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант. В качестве частоты каждой середины интервала принимают сумму частот вариант, которые попали в соответствующий частичный интервал.

    При вычислении выборочной дисперсии для уменьшения ошибки, вызванной группировкой (особенно при малом числе интервалов), делают поправку Шеппарда, а именно вычитают из вычисленной дисперсии  квадрата длины частичного интервала.

    Таким образом, с учетом поправки Шеппарда дисперсию вычисляют по формуле

.

    Пример 11.2. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема :

.

Решение. Разобьем интервал 2-26 на следующие четыре частичных интервала длины .приняв середины частичных интервалов в качестве новых вариант , получим равноотстоящие варианты: , , , .

    В качестве частоты  варианты  примем сумму частот вариант, попавших в первый интервал: .

    Вычислим аналогично частоты остальных вариант, получим распределение равноотстоящих вариант:

Пользуясь методом произведений, найдем , .

    Принимая во внимание, что число частичных интервалов (4) мало, учтем поправку Шеппарда:

.