Пусть  - непрерывная случайная величина, которая в результате  испытаний приняла значения . Допустим, что вид плоскости распределения – функции  - задан, но неизвестен параметр , которым определяется эта функция.

Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины  называют функцию аргумента :

                       .                   (9.2)

Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного параметра распределения случайной величины ищут так же, как в случае дискретной случайной величины.

Если плотность распределения  непрерывной случайной величины определяется двумя неизвестными параметрами  и , то функция правдоподобия есть функция двух независимых аргументов  и :

.

Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отыскания ее максимума составляют и решают систему

                                                                                               (9.3)

    Пример 9.1. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра  (вероятность появления события в одном испытании) биноминального распределения

,

где  - число появлений события в -м опыте,

 - количество испытаний в одном опыте,

 - число опытов.

Решение. Составим функцию правдоподобия:

.

Учитывая, что  и , получим

или

.

Напишем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

    Найдем первую производную по :

.

    Приравняв первую производную нулю и решив полученное уравнение, получим критическую точку

.

Найдем вторую производную по

.

Легко убедиться, что при  вторая производная отрицательна; следовательно, эта точка есть точка максимума и ее надо принять в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности  биноминального распределения:

.

    Очевидно, что если  появлений события наблюдалось в  опытах, то

.

    Пример 9.2. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке  точечную оценку неизвестного параметра  показательного распределения, плотность которого .

Решение. Составим функцию правдоподобия

,

учитывая, что  и, следовательно, :

.

    Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

    Найдем первую производную по :

.

    Запишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю: . Найдем относительную точку, для чего решим полученное уравнение относительно :

.

    Найдем вторую производную по :

.

    Легко видеть, что при  вторая производная отрицательна, следовательно, эта точка есть точка максимума и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия надо принять величину, обратную выборочной средней: .

Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью  покрывает заданный параметр.

1. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания  нормально распределенного количественного признака  по выборочной средней  при известном среднем квадратическом отклонении  генеральной совокупности служит доверительный интервал

                                       ,                   (10.1)

где  - точность оценки,  - объем выборки,  - значение аргумента функции Лапласа , при котором ; при неизвестном  (и объеме выборки )

                                    ,                    (10.2)

где  - «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение,  находят по таблице приложения 3 по заданным  и  [3].

2. Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратичекого отклонения  нормально распределенного количественного признака  по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению  служит доверительный интервал

                                                            (10.3)

где  находят по таблице приложения 4 с заданными  и .

3. Интервальной оценкой (с надежностью ) неизвестной вероятности  биноминального распределения по относительной частоте  служит доверительный интервал (с приближенными концами  и )

,

где

                                              (10.4)

где  общее число испытаний;  - число появлений события;  - относительная частота, равная отношению ;  - значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором  (  - заданная надежность).

    Замечание. При больших значениях  (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

                          , .               (10.5)

    Пример 10.1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,975 неизвестного математического ожидания  нормально распределенного признака  генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя  и объем выборки .

Решение. Требуется найти доверительный интервал

                                          .                            (10.6)

    Все величины, кроме , известны. Найдем  из соотношения . По таблице приложения 1 находим . Подставив , , ,  в (10.6), окончательно получим искомый доверительный интервал .

    Пример 10.2. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожидания  генеральной совокупности по выборочной средней равна , если известно среднее квадратическое отклонение  нормально распределенной генеральной совокупности.

Решение. Воспользуемся формулой, определяющей точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней: . Отсюда

                                                 .                                       (10.7)

по условию, ; следовательно, . По таблице приложения 2 найдем . Подставив ,  и  в (10.7), получим искомый объем выборки .

    Пример 10.3. Произведено 15 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение  случайных ошибок измерений оказалось равным 0,7. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Решение. Точность прибора характеризуется средним квадратическом отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала, покрывающего  с заданной надежностью :

                                          .                                (10.8)

По данным  и  по таблице приложения 4 найдем . Подставив ,  в соотношение (10.8), окончательно получим .