Средние величины дают обобщающую характеристику статистической совокупности по определенному изменяющемуся количественному признаку.

Средняя величина характеризует весь ряд наблюдений одним числом, выражающим общую меру изучаемого признака. Она нивелирует случайные отклонения отдельных наблюдений и дает типичную характеристику количест­венного признака.

В медицинской практике наиболее часто используются следующие сред­ние величины: мода, медиана, средняя арифметическая. Реже применяются другие средние величины: средняя геометрическая (при обработке результатов титрования антител, токсинов, вакцин); средняя квадратическая (при определе­нии среднего диаметра среза клеток, результатов накожных иммунологических проб); средняя кубическая (для определения среднего объема опухолей), сред­няя прогрессивная и др.

Мода (Мо) — величина признака, чаще других встречающаяся в сово­купности. За моду принимают варианту, которой соответствует наибольшее ко­личество частот вариационного ряда.

Медиана (Me) — величина признака, занимающая срединное положение в вариационном ряду. Она делит вариационный ряд на две равные части. Для определения медианы следует найти ее порядковый номер в вариационном ря­ду по формуле, а затем установить ее числовое значение:

Порядковый номер медианы четного ряда = n/2

Порядковый номер медианы нечетного ряда =(n+1)/2

Зная порядковый номер медианы в вариационном ряду, определяют ее числовое значение.

На величину моды и медианы не оказывают влияния числовые значения крайних вариант, имеющихся в вариационном ряду. Мода и медиана применя­ются в медицинской статистике относительно редко. Более точно характеризует вариационный ряд средняя арифметическая величина, которая чаще других средних величин используется в медицинской статистике.

Средняя арифметическая (М, или X) — рассчитывается на основе всех числовых значений изучаемого признака.

В простом вариационном ряду, где варианты встречаются только по од­ному разу, вычисляется средняя арифметическая простая по формуле:

М(Х) =

где V — числовые значения вариант, п — число наблюдений.

В обычном вариационном ряду вычисляется средняя арифметическая взвешенная по формуле:

М(Х) =

где V — числовые значения вариант, р — частота встречаемости вариант, п — число наблюдений.

Средняя величина — именованная величина, она выражается в тех же единицах измерения, что и варианта (днях, килограммах, метрах и т. д.)

Средние величины являются важными обобщающими характеристиками совокупности. Однако за ними скрываются индивидуальные значения признака. Средние величины не показывают изменчивости, колеблемости признака.

Если вариационный ряд более компактен, менее рассеян и все отдельные значения расположены вокруг средней, то средняя величина дает более точную характеристику данной совокупности. Если вариационный ряд растянут, от­дельные значения значительно отклоняются от средней, т. е. имеется большая вариабельность количественного признака, то средняя менее типична, недоста­точно точно отражает в целом весь ряд.

Одинаковые по величине средние могут быть получены из рядов с раз­личной степенью рассеяния.

Средние величины широко применяются в повседневной работе меди­цинских работников, в частности:

1) для характеристики физического развития: рост, вес, окружность груди, динамометрия и т. д.;

2) оценки состояния здоровья человека путем анализа физиологиче­ских, биохимических параметров организма (уровня артериального давле­ния, частоты сердечных сокращений, температуры тела уровня биохимических показателей, содержания гормонов и т. д.);

3) анализа деятельности медицинских организаций, например:

— при анализе работы стационаров вычисляются показатели: среднее число дней работы койки в году, средняя длительность пребывания больного на койке и т. д.;

— при оценке работы амбулаторно-поликлинических организаций — сред­нее число посещений на одного жителя в год, средняя продолжительность одного случая заболеваемости с временной утратой трудоспособности и т. д.;

4) для оценки работы врачей: рассчитываются среднее число посещений на одного врача среднее число хирургических операций, среднечасовая нагрузка врача на приеме в поликлинике, среднее число лабораторных исследований и т. д.

Особое место в статистическом анализе принадлежит определению среднего уровня изучаемого признака или явления. Средний уровень признака измеряют средними величинами.

Средняя величина характеризует общий количественный уровень изучаемого признака и является групповым свойством статистической совокупности. Она нивелирует, ослабляет случайные отклонения индивидуальных наблюдений в ту или иную сторону и выдвигает на первый план основное, типичное свойство изучаемого признака.

Средние величины широко используются:

1. Для оценки состояния здоровья населения: характеристики физического развития (рост, вес, окружность грудной клетки и пр.), выявления распространенности и длительности различных заболеваний, анализа демографических показателей (естественного движения населения, средней продолжительности предстоящей жизни, воспроизводства населения, средней численности населения и др.).

2. Для изучения деятельности лечебно-профилактических учреждений, медицинских кадров и оценки качества их работы, планирования и определения потребности населения в различных видах медицинской помощи (среднее число обращений или посещений на одного жителя в год, средняя длительность пребывания больного в стационаре, средняя продолжительность обследования больного, средняя обеспеченность врачами, койками и пр.).

3. Для характеристики санитарно-эпидемиологического состояния (средняя запыленность воздуха в цехе, средняя площадь на одного человека, средние нормы потребления белков, жиров и углеводов и т. д.).

4. Для определения медико-физиологических показателей в норме и патологии, при обработке лабораторных данных, для установления достоверности результатов выборочного исследования в социально-гигиенических, клинических, экспериментальных исследованиях.

Вычисление средних величин выполняется на основе вариационных рядов. Вариационный ряд – это однородная в качественном отношении статистическая совокупность, отдельные единицы которой характеризуют количественные различия изучаемого признака или явления.

Количественная вариация может быть двух типов: прерывная (дискретная) и непрерывная.

Прерывный (дискретный) признак выражается только целым числом и не может иметь никаких промежуточных значений (например, число посещений, численность населения участка, число детей в семье, степень тяжести болезни в баллах и др.).

Непрерывный признак может принимать любые значения в определенных пределах, в том числе и дробные, и выражается лишь приближенно (например, вес – для взрослых можно ограничиться килограммами, а для новорожденных – граммами; рост, артериальное давление, время, потраченное на прием больного, и т. д.).

Цифровое значение каждого отдельного признака или явления, входящего в вариационный ряд, называется вариантой и обозначается буквой V. В математической литературе встречаются и другие обозначения, например x или y.

Вариационный ряд, где каждая варианта указана один раз, называется простым. Такие ряды используются в большинстве статистических задач в случае компьютерной обработки данных.

При увеличении числа наблюдений, как правило, встречаются повторяющиеся значения вариант. В этом случае создается сгруппированный вариационный ряд, где указывается число повторений (частота, обозначается буквой «р»).

Ранжированный вариационный ряд состоит из вариант, расположенных в порядке возрастания или убывания. Как простой, так и сгруппированный ряды могут быть составлены с ранжированием.

Интервальный вариационный ряд составляют с целью упрощения последующих вычислений, выполняемых без использования компьютера, при очень большом числе единиц наблюдения (более 1000).

Непрерывный вариационный ряд включает значения вариант, которые могут выражаться любыми значениями.

Если в вариационном ряде значения признака (варианты) заданы в виде отдельных конкретных чисел, то такой ряд называют дискретным.

Общими характеристиками значений признака, отражаемого в вариационном ряду, являются средние величины. Среди них наиболее применяемые: средняя арифметическая величина М, мода Мо и медиана Me. Каждая из этих характеристик своеобразна. Они не могут подменить друг друга и лишь в совокупности достаточно полно и в сжатой форме представляют собой особенности вариационного ряда.

Модой (Мо) называют значение наиболее часто встречающейся варианты.

Медиана (Me) – это значение варианты, делящей ранжированный вариационный ряд пополам (с каждой стороны медианы находится половина вариант). В редких случаях, когда имеется симметричный вариационный ряд, мода и медиана равны между собой и совпадают со значением средней арифметической.

Наиболее типичной характеристикой значений вариант является средняя арифметическая величина(М). В математической литературе она обозначается .

Средняя арифметическая величина (M, ) – это общая количественная характеристика определенного признака изучаемых явлений, составляющих качественно однородную статистическую совокупность. Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную. Средняя арифметическая простая вычисляется для простого вариационного ряда путем суммирования всех вариант и делением этой суммы на общее количество вариант, входящих в данный вариационный ряд. Вычисления проводятся по формуле:

,

где: М - средняя арифметическая простая;

ΣV- сумма вариант;

n - число наблюдений.

В сгруппированном вариационном ряду определяют взвешенную среднюю арифметическую. Формула ее вычисления:

,

где: М- средняя арифметическая взвешенная;

ΣVp - сумма произведений вариант на их частоты;

n - число наблюдений.

При большом числе наблюдений в случае ручных вычислений может применяться способ моментов.

Средняя арифметическая имеет следующие свойства:

· сумма отклонений вариант от средней (Σd) равна нулю (см. табл. 15);

· при умножении (делении) всех вариант на один и тот же множитель (делитель) средняя арифметическая умножается (делится) на тот же множитель (делитель);

· если прибавить (вычесть) ко всем вариантам одно и то же число, средняя арифметическая увеличивается (уменьшается) на это же число.

Средние арифметические величины, взятые сами по себе, без учета вариабельности рядов, из которых они вычислены, могут не в полной мере отражать свойства вариационного ряда, в особенности когда необходимо сопоставление с другими средними. Близкие по значению средние могут быть получены из рядов с различной степенью рассеяния. Чем ближе друг к другу отдельные варианты по своей количественной характеристике, тем меньше рассеяние (колеблемость, вариабельность)ряда, тем типичнее его средняя.

Основными параметрами, которые позволяют оценить вариабельность признака, являются:

Размах;

· Амплитуда;

· Среднее квадратическое отклонение;

· Коэффициент вариации.

Приблизительно о колеблемости признака можно судить по размаху и амплитуде вариационного ряда. Размах указывает на максимальную (V_max) и минимальную (V_min) варианты в ряду. Амплитуда (A_m) является разностью этих вариант: A_m = V_max - V_min.

Основной, общепринятой мерой колеблемости вариационного ряда являются дисперсия (D). Но наиболее часто применяется более удобный параметр, вычисляемый на основе дисперсии - среднее квадратическое отклонение (σ). Оно учитывает величину отклонения (d) каждой варианты вариационного ряда от его средней арифметической (d=V - M).

Поскольку отклонения вариант от средней могут быть положительными и отрицательными, то при суммировании они дают значение «0» (Sd=0). Чтобы избежать этого, величины отклонения (d) возводятся во вторую степень и усредняются. Она является важнейшей характеристикой вариабельности и применяется для вычисления многих статистических критериев.

Поскольку дисперсия выражается квадратом отклонений, ее величина не может использоваться в сопоставлении со средней арифметической. Для этих целей применяется среднее квадратическое отклонение, которое обозначается знаком «Сигма» (σ). Оно характеризует среднее отклонение всех вариант вариационного ряда от средней арифметической величины в тех же единицах, что и сама средняя величина, поэтому они могут использоваться совместно.