Параллельные прямые лежат в одной плоскости, никогда не пересекаются, и на всем протяжении расстояние между ними одинаково.

Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и имеют только одну общую точку.

Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости, они никогда не пересекаются и они не параллельны.

Рассмотрим построение проекций для каждого из этих случаев расположения прямых в пространстве.

1. Пусть даны две прямые параллельные линии общего положения (т.е. они не параллельны и не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций). Следует помнить, что одноименные проекции параллельных прямых всегда параллельны. В общем случае справедливо и обратное, т.е. если на трех плоскостях проекций одноименные проекции параллельны, то изображаемые линии параллельны и в пространстве.

Если одноименные проекции параллельны только на одной или двух плоскостях проекций, то нельзя однозначно считать, что изображаемые линии параллельны в пространстве.

Если параллельны одноименные проекции прямых на двух плоскостях проекций, то сами прямые параллельны в пространстве только в том случае, если они являются прямыми общего положения.

Если имеются две прямые частного положения, параллельные одной и той же плоскости проекций, например горизонтальной, то даже если параллельны фронтальная и профильная проекции этих линий, сами прямые будут параллельны только при условии, что параллельны их горизонтальные проекции. Следовательно, для однозначного определения положения прямых в пространстве требуется построить их горизонтальные проекции.

Проекции параллельных линий можно построить или по общему правилу построения проекций прямой общего положения, или следующим образом: по общему правилу строят проекции одной из параллельных прямых и проекции какой-либо точки второй параллельной прямой, затем через полученные проекции точек на каждой из плоскостей проекций проводят линии, параллельные соответствующим проекциям первой из параллельных прямых, которые и будут являться проекциями второй параллельной прямой.

2. Пусть имеются две пересекающиеся прямые ЛВ и CD ( т.е. они лежат в одной плоскости), и пусть т. Е — точка их пересечения. В этом случае будут пересекаться и одноименные проекции прямых Л В' и C'D', А" В" и C"D" , причем точки пересечения проекций будут проекциями т. Е— соответственно т. Е' и т. Е".

Рис. 2.6

Если известно, что пересекаются одноименные проекции прямых на двух плоскостях проекций, то однозначно утверждать, что пересекаются и сами прямые в пространстве, можно лишь тогда, когда точка пересечения одноименных проекций находится на одном и том же перпендикуляре к соответствующей оси проекций (для прямых общего положения) (рис. 2.6).

Если пересекающиеся прямые — прямые частного положения, то картина иная. Например, если обе пересекающиеся прямые параллельны какой-нибудь плоскости проекций, пусть горизонтальной, то пересекающимися будут только их горизонтальные проекции, а проекции на другие плоскости проекций сольются.

Если прямые ЛВ и CD пересекаются под углом 90°, то совсем не обязательно, что под таким же углом будут пересекаться их одноименные проекции. Угол пересечения их проекций на эту плоскость будет прямой только при условии, что одна из прямых параллельна плоскости проекций.

3. Пусть имеются две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Хотя эти прямые не пересекаются в пространстве, их одноименные проекции могут пересекаться, но в отличие от случая пересекающихся прямых точки пересечения их одноименных проекций не располагаются на общем перпендикуляре к оси координат. Иногда одноименные проекции скрещивающихся прямых параллельны, но не на всех плоскостях проекций, на одной из плоскостей они обязательно должны пересекаться.

27. Какие точки называются конкурирующими?

Конкурирующие точки используются для определения видимости геометрических фигур на плоскости проекций. Где видимые объекты отображают сплошной основной линией, не видимые - тонкой пунктирной линией.

Конкурирующие точки - это точки, расположенные на одном проецирующем луче

Конкурирующие точки

Определение видимости в системе параллельного проецирования изображенной на рисунке, затруднительно так как по одной проекции нельзя выделить наиболее удаленную от проекции точку. Образно говоря, конкурирующие точки - это как две лошади на скачках: когда на тебя скачут, вроде вместе, а как сбоку посмотришь - сразу видно, кто впереди, а кто сзади.
Однако на эпюре Монжа в ортогональной системе плоскостей проекций данная задача легко решается.

Конкурирующие точки

Применительно к нашему чертежу конкурирующими будут точки: E,K и F принадлежащие фронтально проецирующей прямой. Видимой на фронтальной плоскости проекций будет точка наиболее удаленная от нее - это точка E. ЕЕ горизонтальная проекция E` наиболее удалена от оси x.
Конкурирующие точки обозначают на эпюре с помощью знака ≡, означающего совпадение указанных проекций, при этом проекции невидимых точек берут в круглые скобки.

28. Назвать способы задания плоскости на чертеже?

Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, прямой и точкой, взятой вне прямой, двумя пересекающимися прямыми и двумя параллельными прямыми. Соответственно плоскость на чертеже (рис. 3.1) может быть задана проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (а), прямой и точки, взятой вне прямой (б), двух пересекающихся прямых (в), двух параллельных прямых (г). Проекции любой плоской фигуры также могут служить заданием плоскости на чертеже; например, см. на рис. 3.10 изображение плоскости проекциями треугольника.

Рис. 3.1

29. Как относительно плоскостей проекций может быть расположена плоскость?

Плоскость относительно плоскостей проекций может занимать следующие положения: 1) не перпендикулярно к плоскостям проекций; 2) перпендикулярно к одной плоскости проекций; 3) перпендикулярно к двум плоскостям проекций.

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения (см. рис. 3.1).

Второе и третье положения плоскостей являются частными случаями. Плоскости в этих положениях называют проецирующими плоскостями.

Плоскость, перпендикулярная одной плоскости проекций. Наглядное изображение плоскости а, заданной треугольником ABC и перпендикулярной плоскости ∏!, приведено на рис. 3.2, ее чертеж – на рис. 3.3. Такую плоскость называют горизонтально проецирующей.

Наглядное изображение плоскости β, заданной параллелограммом ABCD, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций, приведено на рис. 3.4, ее чертеж – на рис. 3.5. Такую плоскость называют фронтально проецирующей.

Чертеж плоскости в виде треугольника с проекциями А "В"С' А 'В'С', A '"BtnC'", перпендикулярной профильной плоскости проекций, показан на рис. 3.6. Такую плоскость называют профильно-проецирующей.

Следы плоскостей. Линию пересечения плоскости с плоскостью проекций называют следом. Линия пересечения некоторой плоско-

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Рис. 3.5

сти а, заданной треугольником АВС, с плоскостью π, обозначена a', a с плоскостью π2 – а" (см. рис. 3.2).

Линию пересечения плоскости с плоскостью π, называют горизонтальным следом, с плоскостью π2 – фронтальным следом, с плоскостью π, – профильным следом.

Для плоскости а, перпендикулярной плоскости π,, горизонтальный след а' (см. рис. 3.2,3.3) располагается под углом к оси х, соответствующем углу наклона этой плоскости к фронтальной плоскости проекций, а фронтальный след а" – перпендикулярно оси х.

Аналогично для некоторой плоскости β, перпендикулярной плоскости π2 (см. рис. 3.4,3.5), фронтальный след β" располагается под углом к оси х, соответствующему углу наклона этой плоскости к плоскости ∏), а горизонтальный след β' – перпендикулярно оси х.

На чертежах тот след, который перпендикулярен оси проекций, обычно, когда она не участвует в построениях, не изображают.

Свойство проекций геометрических элементов, лежащих в проецирующих плоскостях (см. § 1.1, ∏. 1, в). Проецирующая плоскость изображается прямой

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Рис. 3.8

Рис. 3.9

линией на той плоскости проекций, к которой она перпендикулярна. Следовательно, и любая замкнутая геометрическая фигура, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется на эту плоскость проекций в отрезок прямой линии.

Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций. Если плоскость перпендикулярна двум плоскостям проекций, то она параллельна третьей плоскости проекций. Такую плоскость называют горизонтальной (параллельная плоскости π,), фронтальной (параллельная плоскости π2) и профильной (параллельная плоскости π3).

Примеры их наглядных изображений и чертежей приведены на рис. 3.7, а, б (фронтальная плоскость у и принадлежащая ей точка А), на рис. 3.8, а, б (горизонтальная плоскость β и принадлежащая ей точка В), на рис. 3.9, а, б (профильная плоскость а и принадлежащая ей точка Q.

30. Какие плоскости называют проецирующими плоскостями, плоскостями уровня?

Плоскостями уровня называются плоскости, параллельные плоскостям проекций.

Характерная особенность этих плоскостей состоит в том, что элементы, расположенные в этих плоскостях, проецируются на соответствующую плоскость проекций в натуральную величину.

Горизонтальная плоскость

Горизонтальная плоскость (рис. 32) параллельна горизонтальной плоскости проекций.

На двухкартинном комплексном чертеже она изображается одним фронтальным следом, параллельным оси x.

a (aНа рис. 32 изображена горизонтальная плоскость _V ).

Фронтальная плоскость

Фронтальная плоскость (рис. 33) параллельна фронтальной плоскости проекций.

На двухкартинном комплексном чертеже она изображается одним фронтальным следом, параллельным оси x.

b (bНа рис. 33 изображена фронтальная плоскость _H ).

Профильная плоскость

Профильная плоскость (рис. 34) параллельна профильной плоскости проекций.

На двухкартинном комплексном чертеже она изображается двумя следами: горизонтальным и фронтальным, перпендикулярными оси x.

g (gНа рис. 34 изображена профильная плоскость _H,V ).

Рис. 34