по электротехнике
К линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами или к системам таких уравнений приводится решение многих задач электротехники. Остановимся на рассмотрении некоторых из них.
Задача 1. Включение постоянной электродвижущей силы в контур, состоящий из индуктивности и емкости, шунтированной сопротивлением. Пусть постоянная ЭДС, индуктивность, емкость и сопротивление включены по приведенной схеме (см. рис. 2.3).
До замыкания рубильника зарядов в цепи не было, т.е. при 
. Определить ток в катушке самоиндукции как функцию времени.
Падение напряжения в цепи складывается из падений напряжения на индуктивности и на участке цепи 
. Падение напряжения на участке равно разности потенциалов на обкладках конденсатора. Обозначим его через 
. Ток в катушке самоиндукции обозначим через 
.
.
В этом уравнении две неизвестные – 
и 
. Составим еще одно уравнение, используя закон Кирхгофа для случая параллельного включения элементов в цепь. Так как 
и 
то 
. В итоге получили систему уравнений: 
, относительно двух неизвестных 
и 
. Начальные условия: 
.
По условию задачи нужно найти только ток, так что решим эту систему относительно 
. Запишем систему в операторной форме. Пусть 
тогда 
. Найдем 
по формулам Крамера:
.
Корни уравнения 
равны 
.
Обозначим 
где 
, тогда
.
Найдем оригинал по формуле Хевисайда.
Если 
и 
, при этом 
, то
.
Произведем некоторые упрощения, пользуясь тем, что 
. Получим:
= 
= 
= 
Итак, 
.
Если 
величина мнимая, то 
и 
выражаются через тригонометрические функции по формулам 
.
Задача 2. Включение постоянной электродвижущей силы в цепь, состоящую из двух индуктивно связанных контуров, не содержащих емкости.
В контур, состоящий из сопротивления 
и индуктивности 
, включается постоянная ЭДС 
. Первый контур связан со вторым, состоящим из сопротивления 
и индуктивности 
, взаимной индуктивностью M (см. рис. 2.4).
Включение производится при нулевых начальных условиях. Найти ток в первом контуре.
При включении рубильника электромагнитное поле первого контура индуцирует ток во втором контуре. Электромагнитное поле второго контура оказывает влияние на ток первого контура, коэффициент взаимной индукции M известен.
Составим дифференциальное уравнение для каждого контура:
.
Начальные условия: при 
.
Рисунок 2.4
Если каждый контур содержит емкость, то в правых частях уравнений появятся слагаемые вида 
и 
, что приведет к некоторому усложнению выкладок. Запишем уравнения в операторной форме. 
Найдем 
по формулам Крамера.
.
Введем обозначения: 
Найдем корни знаменателя 
где 
Тогда 
Найдем оригинал по формуле Хевисайда.
Если 
и 
то 
Выражение 
можно упростить и выразить через гиперболические функции, проделав преобразования. Подобные преобразования выполнены в прошлом примере. 
.
Таблица 1
Таблица некоторых оригиналов и изображений
| № | Оригинал | Изображение |
| 1 | С | С |
| 2 | 
| 
|
| 3 | 
| 
|
| 4 | 
| 
|
| 5 | 
| 
|
| 6 | 
| 
|
| 7 | 
| 
|
| 8 | T | 
|
| 9 | 
| 
|
| 10 | 
| 
|
| 
| |
| 11 | 
| 
|
| 12 | 
| 
|
| 13 | 
| 
|
| 15 | 
| 
|
| 16 | 
| 
|
| 17 | 
| 
|
Контролирующие материалы по дисциплине
«Математические задачи энергетики»
(дневная форма обучения)
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
2. Составить таблицу истинности
3. Показать тождественную истинность или ложность формулы
4. Упростить с помощью равносильностей
5. Построить РКС
Вариант 2
1. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
2. Составить таблицу истинности
3. Показать тождественную истинность или ложность формулы
4. Упростить с помощью равносильностей
5. Построить РКС
Вариант 3
1. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
2. Составить таблицу истинности
3. Показать тождественную истинность или ложность формулы
4. Упростить с помощью равносильностей
5. Построить РКС
Вариант 4
1. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
2. Составить таблицу истинности
3. Показать тождественную истинность или ложность формулы
4. Упростить с помощью равносильностей
5. Построить РКС
Вариант 5
1. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
2. Составить таблицу истинности
3. Показать тождественную истинность или ложность формулы
4. Упростить с помощью равносильностей
5. Построить РКС
Вариант 6
1. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
2. Составить таблицу истинности
3. Показать тождественную истинность или ложность формулы
4. Упростить с помощью равносильностей
5. Построить РКС
Вариант 7
1. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
2. Составить таблицу истинности
3. Показать тождественную истинность или ложность формулы
4. Упростить с помощью равносильностей
5. Построить РКС
Вариант 8
1. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
2. Составить таблицу истинности
3. Показать тождественную истинность или ложность формулы
4. Упростить с помощью равносильностей
5. Построить РКС
Вариант 9
1. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
2. Составить таблицу истинности
3. Показать тождественную истинность или ложность формулы
4. Упростить с помощью равносильностей
5. Построить РКС
Вариант 10
1. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
2. Составить таблицу истинности
3. Показать тождественную истинность или ложность формулы
4. Упростить с помощью равносильностей
5. Построить РКС
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Вариант 2
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Вариант 3
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Вариант 4
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Вариант 5
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Вариант 6
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Вариант 7
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Вариант 8
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6.
Вариант 9
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Вариант 10
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Контролирующие материалы по дисциплине
«Математические задачи энергетики»
(заочная форма обучения)
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. 
2. 
3. 
4. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
5. Составить таблицу истинности
6. Построить РКС
Вариант 2
1. 
2. 
3. 
4. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
5. Составить таблицу истинности
6. Построить РКС
Вариант 3
1. 
2.
3. 
4. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
5. Составить таблицу истинности
6. Построить РКС
Вариант 4
1. 
2. 
3.
4. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
5. Составить таблицу истинности
6. Построить РКС
Вариант 5
1.
2. 
3. 
4. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
5. Составить таблицу истинности
6. Построить РКС
Вариант 6
1.
2.
3. 
4. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
5. Составить таблицу истинности
6. Построить РКС
Вариант 7
1. 
2. 
3. 
4. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
5. Составить таблицу истинности
6. Построить РКС
Вариант 8
1. 
2.
3. 
4. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
5. Составить таблицу истинности
6. Построить РКС
Вариант 9
1. 
2. 
3. 
4. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
5. Составить таблицу истинности
6. Построить РКС
Вариант 10
1. 
2. 
3. 
4. Составить формулу по заданной РКС и упростить ее.
5. Составить таблицу истинности
6. Построить РКС
Кулешова Ирина Ивановна
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭНЕРГЕТИКЕ
Методическое пособие
Часть 1
Редактор Е.Ф. Изотова
Подготовка оригинала – макета Н.В. Коленко
Подписано к печати 07.09.07. Формат 60х84 26 / 16.
Усл. печ.л.3.7. Тираж 100 экз. Зак. 07-595. Рег. №66.
Отпечатано в РИО Рубцовского индустриального института
658207, Рубцовск, ул. Тракторная, 2/6.
Дата: 2019-02-19, просмотров: 244.
