Рубцовский индустриальный институт

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

Рубцовский индустриальный институт

ГОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет

Им. И.И. Ползунова»

И.И. Кулешова

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭНЕРГЕТИКЕ

Методическое пособие

Часть 1

Рубцовск 2007

УДК 510.6

510.22

517.445

Кулешова И.И. Математические методы в энергетике: Методическое пособие / Рубцовский индустриальный институт. – Рубцовск, 2007. Часть 1 - 63 с.

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения электротехнического факультета, изучающих курс по выбору «Математические задачи энергетики».

В работе кратко изложен материал по математической логике и операционному исчислению, приведены примеры решения задач по данным темам, предложены варианты заданий для текущего контроля.

Рассмотрено и одобрено на заседании НМС Рубцоского индустриального института.

Протокол № 4 от 05.06.07.

Рецензент: к.ф.-м.н., профессор Н.А. Кулагина

Содержание

ВВЕДЕНИЕ	4
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ	5
1.1. Понятие высказывания	5
1.2. Логические операции над высказываниями	6
1.3. Формулы алгебры логики	10
1.4. Равносильные формулы алгебры логики	11
1.5. Равносильные преобразования формул	16
1.6. Приложения алгебры логики высказываний к релейно-контактным схемам (РКС)	17
ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	19
2.1. Линейные операторы и действия над ними	19
2.2. Преобразование Лапласа и его свойства	21
2.3. Правила операционного исчисления	24
2.4. Преобразование некоторых употребительных функций	29
2.5. Операционный метод решения некоторых дифференциальных уравнений	34
2.6. Формула Хевисайда (вторая теорема разложения)	41
Контролирующие материалы по дисциплине «Математические задачи энергетики» (дневная форма обучения)	50
Контролирующие материалы по дисциплине «Математические задачи энергетики» (заочная форма обучения)	58

ВВЕДЕНИЕ

Содержание настоящего курса составляет лишь часть обширной теории математических методов в энергетике. В данном курсе рассматриваются элементы алгебры логики с приложениями в электротехнике и методы операционного исчисления.

Аппарат математической логики в настоящее время нашел широкое применение в медицине, лингвистике, педагогике, психологии, экономике, технике. Цель данной работы – показать применение формул алгебры логики к описанию релейно-контактных схем и упрощению их.

Под операционным исчислением понимается совокупность методов прикладного анализа, позволяющих наиболее простыми и экономными средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными), разностных и некоторых видов интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

К уравнениям таких видов приводят задачи из различных разделов электротехники. Построение операционного исчисления базируется на идее функционального преобразования.

Преобразование обладает такими свойствами, что операциям анализа – дифференцированию и интегрированию над оригиналами – соответствуют операции алгебры – умножение и деление над изображениями. Путем такого преобразования дифференциальные и интегральные уравнения заменяются алгебраическими уравнениями.

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Понятие высказывания

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры высказываний.

1) Новгород стоит на Волхове.

2) Париж - столица Англии.

3) Карась не рыба.

4) Число 6 делится на 2 и на 3.

5) Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.

Высказывания 1), 4), 5) истинны, а высказывания 2) и 3) ложны.

Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если ..., то ...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными. Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Карась - рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на 3», соединенных союзом «и». Высказывание 5) получается из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу», «Юноша получает аттестат зрелости» с помощью грамматической связки «если ..., то ...». Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

В дальнейшем будем элементарные высказывания обозначать малыми буквами латинского алфавита: х, у, z , .... а, в, с , ...; истинное значение высказывания - буквой «и» или цифрой 1, а ложное значение - буквой «л» или цифрой 0.

Если высказывание а истинно, то будем писать а=1, если а ложно, то а=0.

Формулы алгебры логики

С помощью логических операций над высказываниями из заданной совокупности высказываний можно строить различные сложные высказывания. При этом порядок выполнения операций указывается скобками. Например, из трех высказываний х, у, z можно построить высказывания: ( x & y ) и х .

Первое из них есть дизъюнкция конъюнкции х, у и отрицания выказывания z, а второе высказывание есть импликация, посылкой которой является высказывание х, а заключением - отрицание дизъюнкции высказывания у и конъюнкции высказываний х, z .

Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, называется формулой алгебры логики.

Формулы алгебры логики будем обозначать большими буквами латинского алфавита А, В, С, ...

Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: конъюнкция выполняется раньше, чем все остальные операции, дизъюнкция выполняется раньше, чем импликация и эквивалентность. Если над формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже опускаются.

В связи с этим формулы:

(х&у) и х

могут быть записаны так:

и .

Логическое значение формулы алгебры логики полностью определяется логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний. Например, логическим значением формулы в случае, если х = 1, у = 1, z = 0, будет истина, то есть =1.

Все возможные логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности.

Например, для формулы таблица истинности имеет вид:

х	у				х&
1	1	0	0	1	0	0
1	0	0	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	0
0	0	1	1	1	0	0

Легко видеть, что если формула содержит п элементарных высказываний, то она принимает 2ⁿ значений, состоящих из нулей и единиц, или, что то же, таблица содержит 2ⁿ строк.

Примеры операторов

Пример 1. Пусть М – множество функций, дифференцируемых n раз.

Нахождение первой производной – оператор над множеством функций М, обозначают его D или

Нахождение второй производной – также оператор, обозначают его или

Нахождение n-й производной – оператор, обозначают его или

Пример 2. Однократное, двукратное, n-кратное интегрирование – операторы, для которых употребляются символы … или

Пример 3. Пусть – функция вещественного аргумента – комплексное число; Если сходится то он является некоторой функцией аргумента p:

Интеграл, стоящий справа, называется интегралом Лапласа. Преобразование, по которому функции ставится в соответствие функция , называется преобразованием или интегральным оператором Лапласа.

Пример 4. Пусть дважды дифференцируемая функция и

Преобразование, по которому функции U ставится в соответствие функция , называется дифференциальным оператором Лапласа.

Действия над операторами

Над операторами можно производить арифметические операции.

Сумма двух операторов K ₁ и K ₂ определяется соотношением

Произведение операторов K ₁ и K ₂ определяется соотношением

Если K ₁ и K ₂ равные операторы, то их произведение обозначают K ².

Оператор, от применения которого функция не изменяется, называется единичным, обозначается символом E:

Два оператора называются взаимно обратными, если их произведения дают единичный оператор, т.е. если Для взаимно обратных операторов приняты обозначения

Определение 2.2 . Оператор K называется линейным, если он обладает двумя свойствами:

1) аддитивности: ;

2) однородности:

Все указанные в примерах операторы являются линейными.

2.2. Преобразование Лапласа и его свойства

Теорема 2.1

Если можно подобрать два такие положительные числа и M, что для любого т.е. если растет медленнее, чем некоторая экспоненциальная функция, то функция имеет ограниченный рост с показателем роста, меньшим .

Доказательство

если .

Итак, сходится при всех , следовательно, имеет ограниченный рост с показателем s₀, s₀ < s₁.

К функциям с ограниченным ростом относятся:

Примерами функций с неограниченным ростом являются:

Теорема 2.2

Если – функция с ограниченным ростом, то при всех p таких, что где – показатель роста , интеграл Лапласа сходится.

Доказательство

Обозначим Тогда

Этот интеграл по условию теоремы сходится при всех Следовательно, и первый интеграл при всех p, для которых , также сходится.

Во всех дальнейших рассуждениях, если не оговорено обратное, будем предполагать, что оригинал имеет ограниченный рост.

Сложение

Так как преобразование Лапласа-Карсона – операция линейная, то очевидно, что из

следует

Изображение суммы равно сумме изображений. Оригинал суммы равен сумме оригиналов.

Изображение постоянной

Изображение постоянной равно ей самой. Действительно, ; при

Дифференцирование оригинала

Пусть Каково изображение ?

Обозначим Тогда

Если – функция с ограниченным ростом, то сходится при всех p, , где – показатель роста . Но это возможно, только если при , а тогда , где

Если то Следовательно, если функция удовлетворяет нулевому начальному условию, то при её дифференцировании изображение умножается на p.

Пусть . Найдем изображение функции , воспользовавшись свойством дифференцирования оригинала.

Обозначим . Тогда

, или

Если при то

Аналогично можно найти изображение производной любого порядка.

Если при то

Следовательно, если функция удовлетворяет нулевым начальным условиям, то при n–кратном её дифференцировании изображение умножается на .

Интегрирование оригинала

Пусть . Каково изображение ? Обозначим его через т.е. Продифференцируем .

Пусть Но , поэтому . Остаётся при

Итак, , т.е. при интегрировании оригинала от нуля до t изображение делится на p.

Найдем изображение для неопределенного интеграла (первообразной) = . Определенный интеграл также является первообразной для функции , поэтому . Положив , получим .

Тогда , где – постоянная.

Изображение функции найдено ранее, поэтому

Теорема 2.3

Если – функция с ограниченным ростом, , то при .

Доказательство

Пусть , тогда .

Рассмотрим сколь угодно малое Покажем, что можно указать такое p, с достаточно большой вещественной частью , для которого

В равенстве для разобьём интеграл, стоящий справа, на два интеграла:

Рассмотрим Так как , то для тех p, для которых , следовательно, Подберём так, чтобы интеграл был меньше . Это возможно, потому что функция непрерывна или кусочно-непрерывна при и

Рассмотрим , где – функция с ограниченным ростом, – показатель роста. Рассмотрим . Функция при , наибольшее значение на промежутке имеет при . Интеграл сходится, т.к. – функция с ограниченным ростом, а

Здесь c, s₁ и -фиксированные величины, а переменная s произвольная. Взяв и достаточно большим, получим: т.к. - убывающая функция аргумента s.

Итак, при достаточно больших Рассуждения справедливы для любых сколь угодно малых. Следовательно, выполняется неравенство: при .

Теорема смещения

Теорема 2.4 (смещения)

Если , то

Доказательство

Пусть . Найдем изображение функции .

Обозначим , тогда

Отсюда Предполагается, что т.е.

Название теоремы объясняется её геометрической интерпретацией.

Если p – вещественная переменная, то при умножении оригинала на график изображения смещается на - по оси p. Ординаты графика при

этом умножаются на

2.4. Преобразование некоторых употребительных функций

Коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.

. (2.6)

Найдем его частное решение при , удовлетворяющее начальным условиям:

(2.7)

Применим к соотношению (2.6) оператор Лапласа-Карсона, т.е. умножим все члены равенства на и проинтегрируем в пределах от 0 до , затем результат умножим на p.

Обозначим . Изображение производных найдем на основании правил дифференцирования и интегрирования оригинала. Изображение функции найдем по таблице 1 (см. с. 48). Таким образом, используя условия (2.7), получим: ; ;

; …; .

Запишем уравнение (2.6) в операторной форме.

Обозначим через и

. Тогда . Это есть изображение искомого частного решения. Оригинал находим или по таблице 1 или по формуле обращения, которая будет получена ниже.

Если является линейной комбинацией функций вида , то ее изображение есть рациональная дробь, показатель степени числителя которой не превышает показателя степени знаменателя. Такого же типа будет дробь . Выделив целую часть и разложив оставшуюся элементарную дробь на простейшие, найдем оригинал по таблице 1.

Решение дифференциального уравнения свелось к решению алгебраического уравнения, линейного относительно неизвестной функции , и нахождению по изображению оригинала.

Пример 1. Постоянное напряжение, равное , включено в цепь с последовательно включенным постоянным сопротивлением и самоиндукцией . Определить ток в цепи как функцию времени при > 0, если (см. рис. 2.1).

При последовательном соединении элементов падение напряжения в цепи складывается из падений напряжения на отдельных участках цепи. Поэтому

(2.8)

Обозначим , тогда и . В операторной форме дифференциальное уравнение (2.8) примет вид:

, тогда .

По формуле 3 таблицы 1 найдем .

Пример 2

Дано ; ; .

Найти при > 0. Пусть тогда и Применяя формулу 13 из таблицы 1, получим:

Запишем дифференциальное уравнение в операторной форме:

, или .

Разложив дробь на элементарные дроби, получим:

Тогда .

Пример 3

Найти при > 0. Пусть тогда

В операторной форме уравнение примет вид:

Отсюда

Тогда

Вывод формулы Хевисайда

Если изображение есть дробно-рациональная функция, удовлетворяющая некоторым условиям, то нахождение оригинала можно упростить, воспользовавшись формулой Хевисайда.

Пусть есть рациональная дробь.

Формулу выведем при некоторых ограничениях:

1. Если показатель степени многочлена есть n, то показатель степени не больше n.

2. Все корни многочлена – простые.

3. Среди корней многочлена нет нуля.

4. Числитель и знаменатель не имеют общих множителей, в противном случае их надо на этот множитель сократить (корни знаменателя не являются корнями числителя).

Замечание 1. Если является корнем кратности k многочлена , то для многочлена – корень кратности .

Пусть – корень кратности для многочлена , тогда , где . Найдем производную от по переменной p:

Выражение, стоящие в квадратных скобках, при в нуль не обращается, потому для многочлена является корнем кратности . Если - простой корень многочлена , то для корнем не является.

Вывод формулы Хевисайда.

Пусть ; где , , …, - корни тогда ··· .

Показатель степени числителя дроби не превышает показателя степени знаменателя. Разделим на p, чтобы гарантировать правильность дроби, и разложим получившуюся дробь на элементарные:

. (2.11)

Определим коэффициенты , , …, . Для этого умножим левую и правую части равенства (2.11) на p и, положив , найдем ; .

Умножив левую и правую части равенства (2.11) на и положив , найдем .

где .

Тогда изображение есть ,

соответственно, оригинал .

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: при .

Запишем уравнение в операторной форме:

, или

Применим формулу Хевисайда к функции , где ,

№
1	-2	-2	12
2	1	1	-3
3	2	10	4

. Найдем

При этом . Тогда оригинал

Замечание 2. Если корни знаменателя простые, но среди них есть нулевой корень, то оригинал можно получить, применяя к дроби формулу Хевисайда и свойство об интегрировании оригинала.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: при . Запишем уравнение в операторной форме:

Отсюда .

№
1	2	1	-1
2	3	1	2

Применим формулу Хевисайда к функции

, где

и , .

Найдем .

, .

Тогда следовательно,

Замечание 3. В том случае, если среди корней есть кратные, тоже можно составить формулу разложения. Но нахождение коэффициентов этой формулы сильно усложняется.

Рассмотрим пример на применение формулы Хевисайда, если многочлен имеет мнимые корни.

Пример 3. .