Системы линейных дифференциальных уравнений

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

с постоянными коэффициентами

Дана система линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:

(2.9)

Найдем частное решение системы (2.9) при > 0, удовлетворяющее начальным условиям: …, .

Обозначим:

Перепишем систему дифференциальных уравнений (2.9) в операторной форме:

или следующим образом:

(2.10)

Пришли к системе алгебраических уравнений, линейных относительно неизвестных функций , , …, . Решим систему (2.10) методом Крамера. По формулам Крамера получим:

, где

1, 2, 3, …, n.

Здесь – алгебраическое дополнение, соответствующее k-му столбцу и i-й строке матрицы .

Оригинал найдем по таблице 1 или по формуле обращения.

Пример 1. .

Найти и при > 0, если .

Записывая уравнения в операторной форме, получим:

Интегродифференциальные уравнения

Рассмотрим задачу из электротехники.

Электрическая цепь состоит из последовательно включенных сопротивления , емкости , индуктивности и ЭДС, меняющейся по некоторому закону (см. рис. 2.2).

К моменту включения рубильника запас энергии в цепи равнялся нулю. Найти ток в цепи как функцию времени t. Элементы включены последовательно, поэтому падение напряжения в цепи складывается из падений напряжения на отдельных участках цепи.

Падение напряжения на сопротивлении есть ; падение напряжения на емкости равно отношению количества электричества к емкости, т.е. падение напряжения на индуктивности . Таким образом, . Начальные условия .

Решение задачи привелось к решению интегродифференциального уравнения вида: . Начальные условия: . Обозначим .

Запишем уравнение в операторной форме:

Найдем изображение .

Оригинал находим по таблице или по формуле обращения. Аналогично может быть найдено решение уравнения, в которое входит неопределенный интеграл искомой функции, но в этом случае в начальных условиях нужно задать значение . Порядок интегродифференциального уравнения также может быть повышен.

Пример 1.

Данное уравнение в операторной форме имеет вид:

тогда

Разложив дробь на элементарные дроби

находим по методу неопределенных коэффициентов ; ; ; .

Тогда соответственно

Формула Хевисайда (вторая теорема разложения)

Вывод формулы Хевисайда

Если изображение есть дробно-рациональная функция, удовлетворяющая некоторым условиям, то нахождение оригинала можно упростить, воспользовавшись формулой Хевисайда.

Пусть есть рациональная дробь.

Формулу выведем при некоторых ограничениях:

1. Если показатель степени многочлена есть n, то показатель степени не больше n.

2. Все корни многочлена – простые.

3. Среди корней многочлена нет нуля.

4. Числитель и знаменатель не имеют общих множителей, в противном случае их надо на этот множитель сократить (корни знаменателя не являются корнями числителя).

Замечание 1. Если является корнем кратности k многочлена , то для многочлена – корень кратности .

Пусть – корень кратности для многочлена , тогда , где . Найдем производную от по переменной p:

Выражение, стоящие в квадратных скобках, при в нуль не обращается, потому для многочлена является корнем кратности . Если - простой корень многочлена , то для корнем не является.

Вывод формулы Хевисайда.

Пусть ; где , , …, - корни тогда ··· .

Показатель степени числителя дроби не превышает показателя степени знаменателя. Разделим на p, чтобы гарантировать правильность дроби, и разложим получившуюся дробь на элементарные:

. (2.11)

Определим коэффициенты , , …, . Для этого умножим левую и правую части равенства (2.11) на p и, положив , найдем ; .

Умножив левую и правую части равенства (2.11) на и положив , найдем .

где .

Тогда изображение есть ,

соответственно, оригинал .

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: при .

Запишем уравнение в операторной форме:

, или

Применим формулу Хевисайда к функции , где ,

№
1	-2	-2	12
2	1	1	-3
3	2	10	4

. Найдем

При этом . Тогда оригинал

Замечание 2. Если корни знаменателя простые, но среди них есть нулевой корень, то оригинал можно получить, применяя к дроби формулу Хевисайда и свойство об интегрировании оригинала.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: при . Запишем уравнение в операторной форме:

Отсюда .

№
1	2	1	-1
2	3	1	2

Применим формулу Хевисайда к функции

, где

и , .

Найдем .

, .

Тогда следовательно,

Замечание 3. В том случае, если среди корней есть кратные, тоже можно составить формулу разложения. Но нахождение коэффициентов этой формулы сильно усложняется.

Рассмотрим пример на применение формулы Хевисайда, если многочлен имеет мнимые корни.

Пример 3. .