Оператор Лапласа-Карсона – линейный оператор.
а) Проверим, что этот оператор обладает свойством аддитивности.
Обозначим 
Найдем изображение функции 
Тогда имеем:
,
или 
б) Проверим, что оператор Лапласа-Карсона обладает свойством однородности. Обозначим 
Найдем изображения функции 
, где с – постоянная величина.
Так как оператор Лапласа-Карсона обладает свойствами аддитивности и однородности, то он является линейным оператором.
Правила операционного исчисления
Сложение
Так как преобразование Лапласа-Карсона – операция линейная, то очевидно, что из
следует
.
Изображение суммы равно сумме изображений. Оригинал суммы равен сумме оригиналов.
Изображение постоянной
Изображение постоянной равно ей самой. Действительно, 
; 
при 
Изменение масштаба (теорема подобия)
Пусть 
Как изменится изображение, если его аргумент умножится на число 
? Обозначим 
Тогда
где 
.
Итак, 
.
Если 
является аналитическим выражением некоторого колебательного процесса, то теорема подобия позволяет найти изображение при изменении частоты оригинала.
Дифференцирование оригинала
Пусть Каково изображение 
?
Обозначим 
Тогда
Если – функция с ограниченным ростом, то 
сходится при всех p, 
, где 
– показатель роста 
. Но это возможно, только если 
при 
, а тогда 
, где 
Если 
то 
Следовательно, если функция удовлетворяет нулевому начальному условию, то при её дифференцировании изображение умножается на p.
Пусть 
. Найдем изображение функции 
, воспользовавшись свойством дифференцирования оригинала.
Обозначим 
. Тогда
, или 
Если при 
то 
Аналогично можно найти изображение производной любого порядка.
Если при 
то 
Следовательно, если функция 
удовлетворяет нулевым начальным условиям, то при n–кратном её дифференцировании изображение умножается на 
.
Интегрирование оригинала
Пусть 
. Каково изображение 
? Обозначим его через 
т.е. 
Продифференцируем 
.
Пусть 
Но 
, поэтому 
. Остаётся 
при 
Итак, 
, т.е. при интегрировании оригинала от нуля до t изображение делится на p.
Найдем изображение для неопределенного интеграла (первообразной) 
= 
. Определенный интеграл 
также является первообразной для функции , поэтому 
. Положив 
, получим 
.
Тогда 
, где 
– постоянная.
Изображение функции 
найдено ранее, поэтому
Дифференцирование изображения
Пусть , т.е. 
. (2.3)
Продифференцируем обе части равенства (2.3) по параметру p.
, или 
. Тогда
.
Продифференцируем обе части равенства (3.1) дважды по параметру p.
, или 
.
Следовательно, 
Продифференцировав равенство (3.1) по параметру p n раз, получим:
, или 
, где 
– целое.
Изучим поведение интеграла Лапласа при 
.
Теорема 2.3
Если – функция с ограниченным ростом, 
, то 
при 
.
Доказательство
Пусть 
, тогда 
.
Рассмотрим сколь угодно малое 
Покажем, что можно указать такое p, с достаточно большой вещественной частью 
, для которого
В равенстве для 
разобьём интеграл, стоящий справа, на два интеграла:
Рассмотрим 
Так как 
, то для тех p, для которых 
, 
следовательно, 
Подберём 
так, чтобы интеграл 
был меньше 
. Это возможно, потому что функция 
непрерывна или кусочно-непрерывна при 
и 
Рассмотрим 
, где – функция с ограниченным ростом, 
– показатель роста. Рассмотрим 
. Функция 
при 
, наибольшее значение на промежутке 
имеет при 
. Интеграл 
сходится, т.к. 
– функция с ограниченным ростом, а 
Здесь c, s1 и 
-фиксированные величины, а переменная s произвольная. Взяв 
и достаточно большим, получим: 
т.к. 
- убывающая функция аргумента s.
Итак, при достаточно больших 
Рассуждения справедливы для любых 
сколь угодно малых. Следовательно, выполняется неравенство: 
при 
.
Теорема смещения
Теорема 2.4 (смещения)
Если , то 
Доказательство
Пусть . Найдем изображение функции 
.
Обозначим 
, тогда
Отсюда 
Предполагается, что 
т.е.
Название теоремы объясняется её геометрической интерпретацией.
Если p – вещественная переменная, то при умножении оригинала на 
график изображения смещается на - 
по оси p. Ординаты графика при
этом умножаются на 
2.4. Преобразование некоторых употребительных функций
Дата: 2019-02-19, просмотров: 308.
