Оператор Лапласа-Карсона – линейный оператор.
а) Проверим, что этот оператор обладает свойством аддитивности.
Обозначим Найдем изображение функции Тогда имеем:
,
или
б) Проверим, что оператор Лапласа-Карсона обладает свойством однородности. Обозначим Найдем изображения функции , где с – постоянная величина.
Так как оператор Лапласа-Карсона обладает свойствами аддитивности и однородности, то он является линейным оператором.
Правила операционного исчисления
Сложение
Так как преобразование Лапласа-Карсона – операция линейная, то очевидно, что из
следует
.
Изображение суммы равно сумме изображений. Оригинал суммы равен сумме оригиналов.
Изображение постоянной
Изображение постоянной равно ей самой. Действительно, ; при
Изменение масштаба (теорема подобия)
Пусть Как изменится изображение, если его аргумент умножится на число ? Обозначим Тогда
где .
Итак, .
Если является аналитическим выражением некоторого колебательного процесса, то теорема подобия позволяет найти изображение при изменении частоты оригинала.
Дифференцирование оригинала
Пусть Каково изображение ?
Обозначим Тогда
Если – функция с ограниченным ростом, то сходится при всех p, , где – показатель роста . Но это возможно, только если при , а тогда , где
Если то Следовательно, если функция удовлетворяет нулевому начальному условию, то при её дифференцировании изображение умножается на p.
Пусть . Найдем изображение функции , воспользовавшись свойством дифференцирования оригинала.
Обозначим . Тогда
, или
Если при то
Аналогично можно найти изображение производной любого порядка.
Если при то
Следовательно, если функция удовлетворяет нулевым начальным условиям, то при n–кратном её дифференцировании изображение умножается на .
Интегрирование оригинала
Пусть . Каково изображение ? Обозначим его через т.е. Продифференцируем .
Пусть Но , поэтому . Остаётся при
Итак, , т.е. при интегрировании оригинала от нуля до t изображение делится на p.
Найдем изображение для неопределенного интеграла (первообразной) = . Определенный интеграл также является первообразной для функции , поэтому . Положив , получим .
Тогда , где – постоянная.
Изображение функции найдено ранее, поэтому
Дифференцирование изображения
Пусть , т.е. . (2.3)
Продифференцируем обе части равенства (2.3) по параметру p.
, или . Тогда
.
Продифференцируем обе части равенства (3.1) дважды по параметру p.
, или .
Следовательно,
Продифференцировав равенство (3.1) по параметру p n раз, получим:
, или
, где – целое.
Изучим поведение интеграла Лапласа при .
Теорема 2.3
Если – функция с ограниченным ростом, , то при .
Доказательство
Пусть , тогда .
Рассмотрим сколь угодно малое Покажем, что можно указать такое p, с достаточно большой вещественной частью , для которого
В равенстве для разобьём интеграл, стоящий справа, на два интеграла:
Рассмотрим Так как , то для тех p, для которых , следовательно, Подберём так, чтобы интеграл был меньше . Это возможно, потому что функция непрерывна или кусочно-непрерывна при и
Рассмотрим , где – функция с ограниченным ростом, – показатель роста. Рассмотрим . Функция при , наибольшее значение на промежутке имеет при . Интеграл сходится, т.к. – функция с ограниченным ростом, а
Здесь c, s1 и -фиксированные величины, а переменная s произвольная. Взяв и достаточно большим, получим: т.к. - убывающая функция аргумента s.
Итак, при достаточно больших Рассуждения справедливы для любых сколь угодно малых. Следовательно, выполняется неравенство: при .
Теорема смещения
Теорема 2.4 (смещения)
Если , то
Доказательство
Пусть . Найдем изображение функции .
Обозначим , тогда
Отсюда Предполагается, что т.е.
Название теоремы объясняется её геометрической интерпретацией.
Если p – вещественная переменная, то при умножении оригинала на график изображения смещается на - по оси p. Ординаты графика при
этом умножаются на
2.4. Преобразование некоторых употребительных функций
Дата: 2019-02-19, просмотров: 202.