Для определения натуральной величины треугольника АВС с изображением линии пересечения его с треугольником ДЕК используют способы преобразования проекционного чертежа: способ вращения вокруг проецирующей прямой и способ плоскопараллельного перемещения. Первый обеспечивает возможность графического преобразования плоскости треугольника АВС общего положения в проецирующую плоскость, а затем – проецирующей плоскости в плоскость уровня. Плоскость уровня располагается в пространстве параллельно какой-либо плоскости проекций и на неё она проецируется в натуральную величину. Способ плоскопараллельного перемещения позволяет выполнить необходимые графические построения в стороне от исходного чертежа задачи.

С целью преобразования плоскости общего положения в проецирующую плоскость в ней строят произвольную прямую уровня, например, горизонтальную прямую, проходящую через вершину С треугольника (рис. 53). Её фронтальная С₂-14₂ проекция располагается параллельно оси проекций Х. Горизонтальная С₁-14₁ проекция прямой построена на основании принадлежности точки 14 стороне АВ. Через вершину С проводят горизонтально-проецирующую прямую i¹ и поворачивают плоскость треугольника АВС в пространстве так, чтобы горизонтальная прямая С-14 расположилась бы перпендикулярно фронтальной плоскости проекций. При этом горизонтальная прямая С-14 плоскости преобразуется во фронтально-проецирующую прямую, а треугольник АВС из плоскости общего положения преобразуется во фронтально-проецирующую плоскость.

В связи с тем, что возвышение точек А, В, С – вершин треугольника и точки 14 относительно горизонтальной плоскости проекций при повороте сохраняется, становится возможным перемещать плоскость треугольника АВС параллельно горизонтальной плоскости проекций, удаляя или приближая её относительно фронтальной плоскости проекций. Поэтому для сохранения ранее выполненных графических построений – проекций линии взаимного пересечения треугольников – определение натуральной величины треугольника АВС проводят несколько в стороне от исходного чертежа задачи.

Ось проекций Х продолжают вправо от точки О, сохраняя тем самым положение заданной системы плоскостей проекций. На кальку (лучше карандашную) копируют с исходного чертежа задачи горизонтальную А₁В₁С₁ проекцию треугольника АВС вместе с проекцией С₁-14₁ горизонтали. Можно на отдельном листе бумаги (чертежной или писчей) при помощи циркуля построить треугольник А₁В₁С₁ и в нем обязательно показать положение проекции горизонтали С₁-14₁. Затем, отступив по 1…2 мм от проекций сторон, при помощи ножниц вырезать шаблон треугольника. Копировка или шаблон выполняется с целью рационального расположения на свободном поле чертежа последующих графических построений.

Копировку или шаблон горизонтальной проекции треугольника АВС располагают на свободном поле горизонтальной плоскости проекций таким образом, чтобы, во-первых, вершина треугольника, через которую была проведена горизонталь плоскости, находилась бы на расстоянии 0…15 мм от оси проекций Х, а проекция С₁-14₁ горизонтали была бы направлена перпендикулярно оси проекций Х. И, во-вторых, крайняя левая вершина треугольника А₁В₁С₁ находилась бы на расстоянии 15…20 мм от оси проекций Ү.

Уколом иголки циркуля отмечают на поле чертежа новое положение горизонтальной С₁ проекции вершины треугольника, через которую была проведена горизонталь плоскости. Убирают кальку (шаблон), отмечают положение точки С  и проводят через нее прямую, перпендикулярную оси проекций Х.

На этой прямой вниз от точки С  откладывают отрезок С₁-14₁ горизонтальной проекции горизонтали плоскости. Получают новое положение точки 14 . С помощью циркуля выполняют построения новых проекций других вершин и точек треугольника А₁В₁С₁. Попарно соединив отрезками прямых новые проекции вершин треугольника, получают горизонтальную А В С  проекцию треугольника АВС, повернутого в пространстве вокруг горизонтально-проецирующей прямой i¹ так, что горизонталь С-14 плоскости расположилась перпендикулярно фронтальной плоскости проекций. На чертеже отмечают совпадение горизонтальных проекций С  вершины С треугольника АВС и i  горизонтально-проецирующей прямой i¹ – оси вращения треугольника.

При построении на чертеже новых фронтальных проекций вершин треугольника АВС исходят из того, что поворот и перемещение треугольника в новое положение происходит без изменения расстояний его вершин до горизонтальной плоскости проекций. Тогда фронтальные проекции траекторий поворота и перемещений вершин треугольника представляют собой прямые линии, расположенные параллельно оси проекций Х. На этом основании на чертеже через фронтальные А₂В₂С₂ проекции вершин треугольника проводят прямые линии, параллельные оси проекций Х. Через горизонтальные А , В  и С  проекции вершин проводят прямые – линии связи в направлении, перпендикулярном оси проекций Х. В пересечении указанных прямых получают положения новых фронтальных А , В  и С  проекций вершин треугольника.

Попарно соединив точки А , В  и С  отрезками прямых, получают новую фронтальную проекцию треугольника АВС. Но теперь фронтальная проекция треугольника АВС представляет собой прямую линию, а это свидетельствует о том, что в результате выполненных графических построений плоскость треугольника АВС из общего положения преобразована во фронтально-проецирующую плоскость.

Рис. 53

Последующее вращение фронтально-проецирующей плоскости в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций, обеспечивает возможность определения натуральной величины треугольника АВС.

Для этого на чертеже обозначают положения проекций новой i² оси вращения, представляющей собой фронтально-проецирующую прямую. Ее следует провести через крайнюю правую вершину фронтально-проецирующей плоскости треугольника А¹В¹С¹. В рассматриваемом примере такой вершиной является точка А¹. На чертеже фронтальная i  проекция оси вращения совпадает с фронтальной А  проекцией этой точки. Горизонтальная i  проекция оси вращения совпадает с линией связи точки А¹. При вращении фронтально-проецирующей плоскости А¹В¹С¹ вокруг оси i² в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций, вершины В¹ и С¹ описывают окружности, плоскости которых располагаются параллельно фронтальной плоскости проекций. Поэтому на нее они проецируются без искажения – в натуральную величину. Горизонтальные проекции этих окружностей представляют собой прямые линии, проходящие через горизонтальные В  и С  проекции точек параллельно оси проекций Х.

Вначале строят новые фронтальные В  и С  проекции вершин треугольника. Они должны располагаться на прямой, параллельной оси проекций Х. В рассматриваемом примере новые проекции вершин треугольника располагаются непосредственно на оси проекций Х, так как на ней находятся фронтальная А  проекция вершины А¹ треугольника, через которую проходит новая i² ось вращения. Затем через фронтальные С  и В  проекции проводят линии связи в направлении, перпендикулярном оси проекций Х. В пересечении последних с горизонтальными проекциями траекторий вращения точек В¹ и С¹ определяют положения новых горизонтальных В  и С  проекций вершин треугольника. Попарно соединив отрезками прямых горизонтальные А , В  и С  проекции вершин, получают новую горизонтальную проекцию треугольника АВС. На основании принадлежности точек соответствующим прямым определяют положения новых горизонтальных проекций других прямых плоскости, в частности, положение горизонтальной М -F  проекции прямой пересечения треугольников.

В результате выполненных графических построений фронтально-проецирующая плоскость преобразована в горизонтальную плоскость уровня.

Следовательно, горизонтальная А , В , С  проекция плоскости уровня и представляет собой натуральную величину треугольника АВС, что и требовалось определить по условию задачи.

Рис. 54

На этом графические построения решения задачи считаются полностью выполненными, и производится окончательная обводка линий чертежа (рис. 54). При этом линии графических построений – линии связи, проекции траекторий перемещения и вращения точек, необходимо сохранить. Проекции сторон треугольника АВС, определяющих его натуральную величину, в целях большей выразительности и наглядности следует обвести карандашом красного цвета. Красным карандашом следует обвести и натуральную величину прямой взаимного пересечения треугольников АВС и ДЕК.

Многогранные поверхности

1.5.1. Образование многогранных поверхностей и построение
их комплексных чертежей

Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая из сторон является одновременно стороной другого многоугольника, но только одного.

Многоугольники эти называются гранями, стороны их – ребрами, а вершины – вершинами многогранника. Совокупность всех граней многогранника называется его поверхностью.

В дальнейшем будем рассматривать только выпуклые многогранники, т. е. такие, которые можно расположить по одну сторону от плоскости любой из его граней.

Образование поверхностей некоторых многогранников подчинено определенным законам. Так, боковая поверхность призм (призматическая поверхность) образуется (рис. 55, а) при таком движении прямой l – образующей по ломаной направляющей m, когда прямая l остается во время движения параллельной своему первоначальному положению.

Боковая поверхность пирамид (пирамидальная поверхность) получается (рис. 55, б) при движении прямолинейной образующей l, проходящей через фиксированную точку S, по направляющей m.

Таким образом, по способу образования поверхности многогранников относятся к линейчатым поверхностям, так как в образовании их участвует прямая линия – образующая.

Построение проекции многогранника на некоторой плоскости сводится обычно к построению проекций точек – вершин многогранника (рис. 56).

Например, проецируя пирамиду SABC на плоскость П¢, строят вначале проекции вершин: S’, A’, B’, C’. Соединив затем проекции точек отрезками прямых, получают проекцию пирамиды.

Таким образом, на комплексном чертеже многогранники изображаются проекциями своих вершин и ребер.

Для большей выразительности проекции вершин многогранника на чертеже рекомендуется отмечать кружками с просветом диаметром
1,5…2 мм, выполненными от руки или с помощью трафарета.

Для облегчения реконструкции многогранника, т. е. построения его положения в пространстве относительно заданной системы плоскостей проекций, следует на чертежах обозначать проекции его вершин прописными буквами латинского алфавита (рис. 57). Это условие особенно необходимо соблюдать в тех случаях, когда некоторые из ребер многогранника являются проецирующими прямыми.

В этом случае при реконструкции многогранника можно получить по комплексному чертежу не одно, а несколько решений.

Например, по комплексному чертежу куба (рис. 57, а), на котором проекции его вершин не обозначены, при реконструкции можно получить четыре различно расположенные в пространстве призмы (рис. 57, б, в, г, д).

Таким образом, если у многогранника имеются ребра профильного или проецирующего положения, а также при совпадении проекций каких-либо вершин или ребер, то обратимость чертежа достигается либо введением буквенных обозначений проекций вершин многогранника (рис. 58), либо построением профильной проекции многогранника (рис. 59).