1.2.1. Способы задания плоскости на чертеже
Всякая геометрическая фигура, погруженная в пространство, состоит из некоторого множества точек пространства. Плоскость как одна из геометрических фигур, представляет собой совокупность множества точек. Из этого определения плоскости можно установить способы задания ее положения в пространстве. Для этого достаточно вспомнить аксиому сочетания – через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.
На рис. 21 представлены способы задания положения плоскости в пространстве:
а – тремя точками, не лежащими на одной прямой;
б – прямой и точкой, взятой вне прямой;
в – двумя пересекающимися прямыми;
г – двумя параллельными прямыми.
На комплексном чертеже (рис. 22) плоскость может быть задана:
а – проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой;
б – проекциями прямой и точки, взятой вне прямой;
в – проекциями двух пересекающихся прямых;
г – проекциями двух параллельных прямых.
Каждый из представленных на рис. 22 способов задания плоскости на чертеже может быть преобразован из одного в другой. Так, например, проведя через точки А и В (рис. 22, а) прямую, получают задание плоскости, представленное на рис. 22, б. От него можно перейти к способу, представленному на рис. 22, г, если через точку С провести прямую, параллельную прямой АВ. Если точки А, В и С соединить попарно прямыми, то получают треугольник АВС – плоскую фигуру (рис. 23), проекциями которой может быть задана плоскость на чертеже.
При этом всегда следует помнить о том, что плоскость, как геометрическая фигура, безгранична и поэтому нельзя ограничиваться построениями только в пределах площади этого треугольника, так как в общем случае проекции плоскости занимают всю каждую из плоскостей проекций: горизонтальную ПI, фронтальную П2 и профильную П3.
Более наглядно плоскость может быть задана при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекций (рис. 24, а).
Эти прямые называются следами плоскости. В общем случае оба следа должны пересекаться между собой в точке на оси проекций, которую называют «точкой схода следов».
Из всего многообразия положений плоскости относительно заданной системы плоскостей проекций обычно выделяют такие, когда:
- плоскость перпендикулярна одной из плоскостей проекций;
- плоскость параллельна одной из плоскостей проекций;
- плоскость не перпендикулярна и не параллельна ни одной из плоскостей проекций.
Проецирующие плоскости
Плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называют проецирующей. Если плоскость перпендикулярна горизонтальной ПI плоскости проекций, она называется горизонтально-проецирующей (рис. 25, а).
Точки, лежащие в горизонтально-проецирующей плоскости, проецируются на горизонтальную плоскость проекции в прямую линию, которая является горизонтальным следом этой плоскости. Таким образом, след проецирующей плоскости как бы «собирает на себя» проекции геометрических фигур, расположенных в этой плоскости.
«Собирательное» свойство проецирующих плоскостей широко используется для решения целого ряда метрических и позиционных задач. Положение горизонтально-проецирующей плоскости на чертеже вполне однозначно определяется положением горизонтального следа этой плоскости, так как на горизонтальной плоскости проекций можно измерить натуральные величины углов наклона ее к фронтальной и профильной плоскостям проекций. Поэтому на комплексном чертеже (рис. 25, б) горизонтально-проецирующая плоскость a задается только одним своим горизонтальным a1 следом.
Горизонтальная проекция любой геометрической фигуры, например, прямой l (рис. 26, а), лежащей в горизонтально-проецирующей плоскости a, совпадает с горизонтальным a1 следом этой плоскости. На фронтальную и профильную плоскости проекций прямая l проецируется с искажением, так как проецирующая плоскость a наклонена к ним под некоторыми углами.
На рис. 26, б представлен комплексный чертеж прямой l, лежащей в горизонтально-проецирующей плоскости a.
Плоскость, перпендикулярную фронтальной П2 плоскости проекций, называют фронтально-проецирующей (рис. 27, а), эта плоскость проецируется на фронтальную плоскость проекций в прямую линию, являющуюся фронтальным следом плоскости.
Положение фронтально-проецирующей плоскости вполне однозначно определяется положением фронтального следа этой плоскости, так как на фронтальной П2 плоскости проекций можно измерить натуральные величины углов наклона этой плоскости к горизонтальной и профильной плоскостям проекций.
На комплексном чертеже (рис. 27, б) фронтально-проецирующая плоскость β задается только одним своим фронтальным β2 следом.
Фронтальная проекция любой геометрической фигуры, например, прямой m (рис. 28, а), лежащей во фронтально-проецирующей плоскости β, совпадает с фронтальным β2 следом этой плоскости.
На горизонтальную ПI и профильную П3 плоскости проекций прямая m проецируется с искажением, так как проецирующая плоскость наклонена к ним под некоторыми углами.
На рис. 28, б представлен комплексный чертеж прямой m, лежащей во фронтально-проецирующей плоскости β.
Плоскость, перпендикулярную профильной П3 плоскости проекций, называют профильно-проецирующей. Эта плоскость (рис. 29, а) проецирует все свои точки на профильную плоскость проекций в одну прямую линию, являющуюся профильным следом плоскости.
Положение профильно-проецирующей плоскости вполне однозначно определяется положением профильного следа этой плоскости, так как на профильной плоскости проекций можно измерить натуральные величины углов наклона ее к фронтальной П2 и горизонтальной П1 плоскостям проекций.
На комплексном чертеже (рис. 29, б) профильно-проецирующая плоскость γ задаётся своим профильным g3 следом.
Профильная проекция любой геометрической фигуры, например, прямой n (рис. 30, а), лежащей в профильно-проецирующей плоскости γ, совпадает с профильным γ3 следом этой плоскости.
На горизонтальную П1 и на фронтальную П2 плоскости проекций прямая n проецируется с искажением, так как проецирующая плоскость g наклонена к ним под некоторыми углами.
На рис. 30, б представлен комплексный чертёж прямой n, лежащей в профильно-проецирующей плоскости g.
Плоскости уровня
Плоскость, параллельную какой-либо плоскости проекций, называют плоскостью уровня. Все точки этой плоскости одинаково удалены от той плоскости проекций, которой она параллельна. Любая геометрическая фигура, лежащая в плоскости уровня, проецируется на параллельную ей плоскость проекций в натуральную величину.
В системе трёх взаимно перпендикулярных плоскостей проекций плоскость уровня, параллельная одной из них, является одновременно проецирующей по отношению к двум другим. Поэтому на комплексном чертеже плоскость уровня задаётся следом на плоскости проекций, по отношению к которой является проецирующей.
Плоскость, параллельную горизонтальной П1 плоскости проекций, называют горизонтальной плоскостью (рис. 31, а). Любая геометрическая фигура, лежащая в горизонтальной плоскости, например, в плоскости d, проецируется на горизонтальную плоскость проекций без искажения, т.е. в натуральную величину.
Фронтальный d2 и профильный d3 следы горизонтальной плоскости d располагаются соответственно параллельно осям проекций X и Y.
На рис. 31, б представлен чертёж горизонтальной плоскости, в которой лежит треугольник ABC. На горизонтальную плоскость проекций он проецируется в натуральную величину.
Плоскость, параллельную фронтальной П2 плоскости проекций, называют фронтальной (рис. 32, а).
Любая геометрическая фигура, лежащая во фронтальной плоскости, проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину.
Горизонтальный h1 и профильный h3 следы фронтальной плоскости располагаются параллельно соответственно осями проекций X и Z.
На рис. 32, б представлен комплексный чертёж фронтальной плоскости h, в которой лежит треугольник ABC. На фронтальную плоскость проекций он проецируется в натуральную величину. Горизонтальная A1B1C1 проекция треугольника совпадает с горизонтальным следом h1 плоскости.
Плоскость, параллельную профильной П3 плоскости проекций, называют профильной (рис. 33, а).
Всякая геометрическая фигура, лежащая в профильной плоскости, проецируется на П3 без искажения в натуральную величину.
Фронтальный u2 и горизонтальный u1 следы профильной плоскости u располагаются перпендикулярно оси проекций X.
На рис. 33, б представлен комплексный чертёж профильной плоскости u, в которой лежит треугольник ABC. На профильную плоскость проекций он проецируется в натуральную величину.
Плоскости общего положения
Плоскость, не перпендикулярную и не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения (рис. 34).
Плоскость общего положения пересекает каждую из осей проекций X, Y, Z. Следы плоскости общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни одной из осей проекций.
Всякая геометрическая фигура, например прямая m, лежащая в плоскости общего положения, проецируется на любую из плоскостей с искажением.
На рис. 35 представлен комплексный чертёж плоскости общего положения, заданной треугольником ABC. На любую из плоскостей проекций он проецируется с искажением.
Вопросы для самопроверки
1. На основании какой аксиомы определяется положение плоскости в пространстве?
2. Перечислите способы задания плоскости на чертеже.
3. Что называется следом плоскости?
4. Какие положения может занимать плоскость относительно плоскостей проекции?
5. Какую плоскость называют проецирующей?
6. Каким свойством обладают проецирующие плоскости?
7. Изобразите чертёж произвольной горизонтально-проецирующей плоскости, заданной прямой и точкой.
8. Как измерить натуральную величину углов наклона горизонтально-проецирующей плоскости к фронтальной и профильной плоскостям проекций?
9. Изобразите чертёж произвольной фронтально-проецирующей плоскости, заданной треугольником.
10. Как измерить натуральную величину углов наклона этой плоскости к горизонтальной и профильной плоскостям проекций?
11. Изобразите чертёж произвольной профильно-проецирующей плоскости, заданной двумя параллельными прямыми.
12. Как измерить натуральную величину углов наклона этой плоскости к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций?
13. Какую плоскость называют плоскостью уровня?
14. Сформулируйте эпюрный признак плоскости уровня.
15. Какую плоскость называют горизонтальной? Изобразите чертёж этой плоскости, заданной треугольником.
16. Какую плоскость называют фронтальной? Изобразите чертёж этой плоскости, заданной любой плоской фигурой.
17. Какую плоскость называют профильной? Изобразите чертёж этой плоскости, заданной треугольником.
18. Какую плоскость называют плоскостью общего положения? Как проецируются фигуры, расположенные в этой плоскости?
Дата: 2019-02-25, просмотров: 341.
