Def Доказательство — это логическая операция обоснования истинности какого-либо высказывания с помощью других истинных и связанных с ним высказываний.

Во всяком доказательном рассуждении должны присутствовать три элемента: 1) тезис, 2) аргументы (или основания) доказательства, 3) способ доказательства (или демонстрация).

В качестве тезиса могут выступать результаты обобщения фактов, высказывания о свойствах или причинах каких-либо явлений, теоретические положения науки др., словом, некоторые утверждения, истинность или ложность которых устанавливается посредством доказательства.

Целью доказательства является выяснение истинности или ложности тезиса.

В качестве аргументов могут выступать ранее доказанные в данной области знания положения, законы, теоремы, следствия из них, эмпирические обобщения, утверждения о фактах, определения, аксиомы и т.п.

То, что в качестве аргументов допустимо применять определения и аксиомы делает любое доказательство зависящим от контекста. Действительно, если мы принимаем одни определения и аксиомы, а, наш собеседник исходит из других начальных положений, то предлагаемое нами доказательство не убедит его. Кроме того, высказывания, обоснованные, исходя из одних аксиом, могут оказаться ложными, если мы меняем хотя бы одну аксиому. Так, некоторые теоремы евклидовой геометрии оказываются неверными для неевклидовых геометрий[15].

Логический переход от аргументов к тезису, или демонстрация протекает в форме умозаключения, в виде цепочки рассуждений.

 Осуществить демонстрацию — значит показать, что тезис логически необходимо следует из принятых аргументов в соответствии с правилами соответствующих умозаключений: дедуктивных, индуктивных, по аналогии.

Таким образом, обоснование тезиса может осуществляться в форме дедукции, индукции, аналогии или их сочетания.

К основным видам доказательства относят прямое и косвенное.

В прямом доказательстве истинность тезиса прямо и непосредственно обосновывается аргументами.

Общая схема этого доказательства: из данных аргументов (А, В, С, …) необходимо следует доказываемый тезис.

Например, докажем что 1972 год был високосным.

Первый аргумент: високосным называется год, в числовом выражении которого десятки с единицами делятся на 4 без остатка.

Второй аргумент: 72 делится на 4 без остатка.

Из этих двух аргументов непосредственно вытекает тезис: 1972 год был високосным.

К прямому доказательству относится и, так называемое, «доказательство разбором случаев». Этот вид доказательства часто используется в математике. Например, можно доказать следующее утверждение.

«Упорядоченная пара предметов x и y однозначно определяется через x и y. Кроме того, если <x, y> = <u, v>, то x=u и y=v».

Для доказательства второй части этой теоремы рассматривают два случая: 1) u=v и 2) u≠v.

В косвенном доказательстве используется противоречащее тезису допущение, именуемое антитезисом.

Антитезис может иметь форму альтернативного тезису суждения, или может быть представлен членами дизъюнкции, не совпадающими с тезисом.

Косвенное доказательство имеет два вида: апагогическое и разделительное.

При апагогическом доказательстве истинность тезиса обосновывается установлением ложности противоречащего ему допущения (антитезиса).

Например, надо доказать, что «А» (тезис) истинно. Допустим, что «А» ложно (антитезис), затем выведем из антитезиса следствия. И если установим, что они противоречат действительности или ранее доказанным положениям, то можем считать, что антитезис ложен. Но так как антитезис находится с тезисом в отношении противоречия, то из ложности антитезиса необходимо следует истинность тезиса.

 Классическим примером такого доказательства в школьном курсе математики является теорема о том, что, если две прямые перпендикулярны к одной и той плоскости, то они параллельны. Как строится доказательство этой теоремы?

Формулируют антитезис: пусть прямые АВ и С D непараллельные.

А далее строят рассуждение, результатом которого будет вывод, противоречащий ранее доказанному результату. А именно:

если принять выдвинутое предположение, то прямые AB и CD пересекаются и образуют треугольник с двумя внутренними прямыми углами, поэтому сумма углов треугольника будет превосходить 180⁰. Но это противоречит ранее доказанной теореме о том, что сумма углов треугольника равна 180⁰ .

Теперь можно отвергнуть наше допущение (антитезис) как ложное и, на основании «закона исключенного третьего», сделать вывод об истинности тезиса.

Закон исключенного третьего, который мы здесь упомянули, утверждает, что из двух противоречащих высказываний одно истинно, другое – ложно, а третьего не дано. Этот закон обязательно применяется при построении любого косвенного доказательства. 

В разделительном доказательстве антитезис является одним из членов разделительного (дизъюнктивного) суждения.

Обоснование тезиса здесь строится по методу исключения, т.е. последовательно показывают несостоятельность всех членов дизъюнкции, кроме одного (тезиса), и тем самым косвенно обосновывают его истинность.

Например, если необходимо показать, что данный треугольник является прямоугольным, можно показать, что он не является ни остроугольным, ни тупоугольным. Далее, учитывая дизъюнктивную посылку, говорящую, что всякий треугольник может быть либо остроугольным, либо тупоугольным, либо прямоугольным, мы получаем обоснование желаемого тезиса.

При построении косвенного доказательства крайне важно, чтобы альтернативы тезису были сформулированы правильно. Так, например, если тезис является общеутвердительным высказыванием, например,

«Все политики лжецы»,

то антитезис, следует взять частноотрицательным:

«Некоторые политики не являются лжецами».

Если же опровергать взятое в качестве антитезиса высказывание:

«Ни один политик не является лжецом»,

то даже успешное осуществление задуманной процедуры не обеспечит обоснование тезиса. Действительно, из ложности высказывания Е не следует истинность высказывания А.

При построении разделительного доказательства в свою очередь важно, чтобы в дизъюнктивной посылке были указаны все альтернативы к тезису. Поскольку обеспечить это оказывается делом непростым, то разделительное доказательство имеет серьезные ограничения на область применения. Так, например, вряд ли его можно считать допустимым в судебной практике. Приговор подсудимому не может быть вынесен на основании следующей аргументации:

«Преступление мог совершить либо А, либо В, либо С. Но установлено, что ни А, ни В преступление не совершали. Следовательно, преступление совершил С».

Хотя данное рассуждение может помочь следователю установить, кто был преступником, однако, для предъявления обвинения требуется представить прямое доказательство.

С процедурой доказательства тесно связана процедура опровержения.

Def Опровержение — это логическая операция установления ложности или необоснованности ранее выдвинутого тезиса.

Опровержение может осуществляться как критика тезиса, критика аргументов, критика демонстрации (способа доказательства).

Критика или опровержение тезиса может осуществляться или прямо (фактами, противоречащими тезису), или косвенно:

1. установлением ложности или противоречивости следствий, вытекающих из тезиса;

2. доказательством антитезиса.

 Опровержение тезиса — важнейшая задача. Дело в том, что даже успешно проведенная критика аргументов или критика способа доказательства (демонстрации) не дает достаточных оснований для отбрасывания тезиса.

Критика аргументов может выражаться в том, что указывают на неточности в изложении фактов, характеристике событий, явлений, на нечеткость понятий, на двусмысленности, противоречия и т.д.

Критикуя демонстрацию, стараются показать, что в проведенных рассуждениях нет логической связи между аргументами и тезисом.