Пусть — случайная величина. Пусть задана функция
. Каждому элементарному исходу
поставим в соответствие число
по формуле
. Тем самым получим случайную величину
, называемую функцией
от случайной величины
.
Пусть — дискретная случайная величина. Тогда случайная величина
также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина
. Очевидно, что ряд распределения случайной величины
имеет вид:
![]() | ![]() | ![]() | … | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | … | ![]() |
При этом, если в верхней строке ряда распределения появляются одинаковые значения , то соответствующие столбцы необходимо объединить в один, приписав им суммарную вероятность.
Пример 9. Случайная величина ξ имеет ряд распределения:
![]() | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
![]() | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Найти закон распределения случайной величины .
m Решение. Составим ряд распределения случайной величины :
![]() | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
![]() | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Объединив первый и пятый, второй и четвертый столбцы, получим:
![]() | 0 | 1 | 2 |
![]() | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Ряд распределения случайной величины получен. l
Пусть — непрерывная случайная величина. При этом случайная величина
может быть как непрерывной, так и дискретной. Будем рассматривать непрерывные функции
. Пусть случайная величина
имеет плотность
. Тогда
. (5.5.1)
Пример 10. Пусть случайная величина имеет плотность
.
Найти распределение случайной величины .
m Решение. В данном случае . Согласно (5.5.1), получим
.
Очевидно, что при , функция распределения равна нулю, т.е.
. При
область
совпадает с областью
. Отсюда получаем
. l
Выведем более удобные формулы для вычисления функции , где
.
Теорема. Пусть — непрерывная случайная величина с плотностью
, а случайная величина
связана с
функциональной зависимостью
,
где — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента
.
Тогда плотность распределения случайной величины выражается формулой
, (5.5.2)
где — функция, обратная по отношению к функции
.
Доказательство. Пусть — монотонно возрастающая функция. Тогда
.
Продифференцировав последнее равенство, получаем
. (5.5.3)
Пусть — монотонно убывающая функция. В этом случае
и, следовательно,
. Отсюда получаем:
Продифференцировав последнее равенство, получаем
. (5.5.4)
Учитывая свойства модуля, равенства (5.5.3) и (5.5.4) объединим в одно
,
что совпадает с (5.5.2). n
Пример 11. Случайная величина распределена равномерно в интервале
. Найти закон распределения случайной величины
.
m Решение. Функция в интервале
монотонна, следовательно, можно применить формулу (5.5.2). Решение задачи удобно расположить в виде таблицы, содержащей три столбца: в первом запишем план решения задачи; во втором столбце запишем обозначения функций, принятые в общем случае; в третьем — конкретные функции, соответствующие данному примеру:
Плотность случайной величины ![]() | ![]() | ![]() |
Функциональная зависимость между случайными величинами ![]() ![]() | ![]() | ![]() |
Обратная функция | ![]() | ![]() |
Модуль производной обратной функции | ![]() | ![]() |
Плотность случайной величины ![]() | ![]() | ![]() |
Интервал , в котором лежат значения случайной величины
, определяется областью значений функции
для
. l
Следствие из теоремы. Если — немонотонная функция, то обратная к ней функция неоднозначна, и плотность распределения случайной величины определяется в виде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном значении
) имеет обратная функция:
, (5.5.5)
где — значения обратной функции для данного
.
Пример 12. Случайная величина распределена равномерно в интервале
. Найти плотность распределения случайной величины
.
m Решение. Функция немонотонная в интервале
, ее значения лежат в интервале (0,1). В данном случае для любого
обратная функция будет иметь два значения:
Плотность случайной величины ![]() | ![]() | ![]() |
Функциональная зависимость между случайными величинами ![]() ![]() | ![]() | ![]() |
Обратная функция | ![]() | ![]() |
Модуль производной обратной функции | ![]() | ![]() |
Плотность случайной величины ![]() | ![]() | ![]() |
. l
Дата: 2019-02-25, просмотров: 246.