Пусть  — случайная величина. Пусть задана функция . Каждому элементарному исходу  поставим в соответствие число  по формуле . Тем самым получим случайную величину , называемую функцией от случайной величины .

Пусть  — дискретная случайная величина. Тогда случайная величина  также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина . Очевидно, что ряд распределения случайной величины  имеет вид:

			…
			…

При этом, если в верхней строке ряда распределения появляются одинаковые значения , то соответствующие столбцы необходимо объединить в один, приписав им суммарную вероятность.

Пример 9. Случайная величина ξ имеет ряд распределения:

	-2	-1	0	1	2
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найти закон распределения случайной величины .

m Решение. Составим ряд распределения случайной величины :

	2	1	0	1	2
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Объединив первый и пятый, второй и четвертый столбцы, получим:

	0	1	2
	0,3	0,5	0,2

Ряд распределения случайной величины  получен. l

Пусть  — непрерывная случайная величина. При этом случайная величина может быть как непрерывной, так и дискретной. Будем рассматривать непрерывные функции . Пусть случайная величина  имеет плотность . Тогда

. (5.5.1)

Пример 10. Пусть случайная величина  имеет плотность

.

Найти распределение случайной величины .

m Решение. В данном случае . Согласно (5.5.1), получим

.

Очевидно, что при , функция распределения равна нулю, т.е. . При  область  совпадает с областью . Отсюда получаем

. l

Выведем более удобные формулы для вычисления функции , где .

Теорема. Пусть  — непрерывная случайная величина с плотностью , а случайная величина связана с  функциональной зависимостью

,

где  — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента .

Тогда плотность распределения случайной величины  выражается формулой

, (5.5.2)

где  — функция, обратная по отношению к функции .

Доказательство. Пусть  — монотонно возрастающая функция. Тогда

.

Продифференцировав последнее равенство, получаем

. (5.5.3)

Пусть  — монотонно убывающая функция. В этом случае  и, следовательно, . Отсюда получаем:

Продифференцировав последнее равенство, получаем

. (5.5.4)

Учитывая свойства модуля, равенства (5.5.3) и (5.5.4) объединим в одно

,

что совпадает с (5.5.2). n

Пример 11. Случайная величина  распределена равномерно в интервале . Найти закон распределения случайной величины .

m Решение. Функция  в интервале  монотонна, следовательно, можно применить формулу (5.5.2). Решение задачи удобно расположить в виде таблицы, содержащей три столбца: в первом запишем план решения задачи; во втором столбце запишем обозначения функций, принятые в общем случае; в третьем — конкретные функции, соответствующие данному примеру:

Плотность случайной величины
Функциональная зависимость между случайными величинами  и
Обратная функция
Модуль производной обратной функции
Плотность случайной величины

Интервал , в котором лежат значения случайной величины , определяется областью значений функции  для . l

Следствие из теоремы. Если  — немонотонная функция, то обратная к ней функция неоднозначна, и плотность распределения случайной величины определяется в виде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном значении ) имеет обратная функция:

, (5.5.5)

где  — значения обратной функции для данного .

Пример 12. Случайная величина  распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения случайной величины .

m Решение. Функция  немонотонная в интервале , ее значения лежат в интервале (0,1). В данном случае для любого  обратная функция будет иметь два значения:

Плотность случайной величины
Функциональная зависимость между случайными величинами  и .
Обратная функция
Модуль производной обратной функции
Плотность случайной величины

. l