Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Для управляемости системы необходимо и достаточно, чтобы матрица управляемости вида Q = [B| AB| A²B|…|A^n-1B] имела ранг, равный n. При управляемости системы говорят также, что пара (А, В) управляема.

Ранг матрицы (Rank) равен порядку её наибольшего ненулевого минора. Матрица Q составляется присоединением справа к матрице В произведения матриц АВ, затем произведения А(АВ) и т.д. Размерность матрицы Q равна (n × nr), где r – число входов. Если ранг матрицы B (обозначим его R_B) не равен единице, то вычисление матрицы Q можно закончить досрочно по формуле Q=[B; AB; …; A^n-RbB].

Система полностью управляема при RankQ = n, полностью неуправляема при RankQ = 0, частично управляема при 0 < RankQ < n, порядок управляемости равен RankQ.

Для наблюдаемости системы необходимо и достаточно, чтобы матрица наблюдаемости N = [c^T; A^Tc^T; (A^T)²с^T; …; (A^T)^n-1c^T] имела ранг, равный порядку системы n. Символ Т означает транспонирование или перевод вектора-строки в вектор-столбец. Говорят иначе, что пара (А, с) наблюдаема.

Система полностью наблюдаема при RankN = n, полностью ненаблюдаема при RankN = 0, частично наблюдаема при 0 < RankN < n, порядок наблюдаемости равен RankN.

Если ранг матрицы С (обозначим его R_C) больше единицы, то число вычислений можно сократить, пользуясь формулой

 

N = [c^T; A^Tc^T; (A^T)²с^T; …; (A^T)^n-Rcc^T].

 

Существует и иная форма составления матрицы наблюдаемости – по вертикали без транспонирования

 

.

 

Если сокращены одинаковые нули и полюса, передаточная функция W(s) и матрица передаточных функций  описывают только управляемую и наблюдаемую часть системы. Наличие сокращаемых пар нуль-полюс приводит к неуправляемости (ненаблюдаемости) системы. При диагональной матрице А уже можно говорить о неполной управляемости или наблюдаемости системы, если соответственно матрица b или c содержит нулевые элементы.

Пример 1. Оценить управляемость системы (достаточно иметь пару А и b).

Система: . Находим .

Определитель матрицы управляемости , следовательно, ранг матрицы равен двум, что равно порядку системы n = 2, система полностью управляема.

Задачу можно было не решать: числитель ПФ содержит только 1 (это видно из матрицы b), следовательно, сокращаемые пары нуль-полюс отсутствуют и система полностью управляема.

Пример 2. Оценить управляемость системы.

Система:

Матрица А диагональная (в каждой строке одна переменная с возрастающим индексом). Уже ясно, что система неуправляема по x 1 (по полюсу +1), поскольку в первом уравнении нет u. Проверим вывод.

 

; ;

 

;     т.к. , а ,

 

то RankQ = 2 ≠ n = 3. Система частично управляема, порядок управляемости равен двум.

Пример 3. Оценить наблюдаемость системы

 

, записываем

; либо иначе .

С учетом того, что Δ₂ = 0; Δ₁ = 1,5, делаем вывод, что RankN = 1 – система частично наблюдаема, порядок наблюдаемости равен 1.

Пример 4. Проверить управляемость системы .

Передаточная функция W(s)=(s + 1)/(s + 1)/(s + 2) содержит сокращаемую пару (диполь) нуль -1/полюс -1, что ведет либо к неуправляемости, либо к ненаблюдаемости системы. От чего это будет зависеть? Составим описание системы в канонической управляемой форме и проверим управляемость

 

; RankQ = 2.

 

Система в таком представлении полностью управляема (но не вполне наблюдаема). Составим описание системы в канонической наблюдаемой форме и снова проверим управляемость

 

; RankQ = 1.

 

А теперь система управляема частично. Таким образом, если в ПФ системы обнаруживается сокращаемая пара, неуправляемость или ненаблюдаемость зависит от того, какое представление выбирается для перехода в пространство состояний. Если же в ПФ сокращаемые пары отсутствуют, система полностью управляема и наблюдаема.

Задания для самостоятельного решения.

2.8.1 Проверить управляемость объекта .

2.8.2 Проверить управляемость объекта

 

 

2.8.3 Проверить управляемость объекта

 

2.8.4 Проверить наблюдаемость объекта .

 

2.8.5 Проверить наблюдаемость объекта (рисунок 2.21)

 

Рисунок 2.21

 

2.8.6 Проверить управляемость объекта

 

.

 

2.8.7 Оценить наблюдаемость системы

 

 

2.8.8 Оценить наблюдаемость системы

 

 

Наблюдатели состояния

Если не все переменные состояния объекта регулирования измеряются, либо имеют место существенные искажения (помехи), используют специальное оценивающее устройство – наблюдатель.

Наблюдатель в виде параллельного фильтра представляет собой модель объекта регулирования на интеграторах в каноническом уп­равляемом представлении. Его вход подключается параллельно входу объекта регулирования, а с выходов интеграторов снимают идеальные значения переменных состояния объекта (оценки), которые обозначают значком «каре» ^ над символом переменной. Разница значений выходов объекта и наблюдателя называется невязкой (обозначается значком «тильда» ~ над символом сигнала), при совпадении модели с оригиналом невязка стремится к нулю.

Если объект управления неустойчив, либо требуется ускорить переходный процесс в наблюдателе, наблюдатель строят в виде филь­тра Калмана. В нём сигнал невязки через компенсирующее звено или корректирующие обратные связи подается на вход наблюдателя вместе с обычным входным сигналом, и, если невязка не равна нулю, переходный процесс принудительно демпфируется.

Пример 1. Построить наблюдатель в виде параллельного фильтра к объекту с передаточной функцией W(s) = 3s/(2s² + 4s + 1).

Модель объекта (описание наблюдателя) соответствует канонической форме управляемости

 

.

 

Этому описанию отвечает структурная схема (рисунок 2.22)

 

 

Рисунок 2.22

 

Пример 2. Построим наблюдатель в виде фильтра Калмана для объекта, заданного системой дифференциальных уравнений

 

 

обеспечив показатели качества переходного процесса ошибки наблюдателя t_рег = 1 с, σ = 30 %.

По матрицам коэффициентов объекта регулирования определяем его передаточную функцию (объект неустойчив)

 

 

.

 

В фильтре Калмана второго порядка с дифференциальным уравнением р² y + a ₁ py + a ₂ y = bu компенсирующая добавка образуется обратными связями с коэффициентами k₁, k₂ (рисунок 2.23).

 

 

Рисунок 2.23

 

В соответствии с матрицей  характеристический полином наблюдателя имеет вид D(s) = s² +(a₁ +k₁)s + (a₂ + k₂) или D(s) = s² +(–2 +k₁)s + (4 + k₂).

Исходя из требований к качеству переходного процесса наблюдателя модуль действительной части α_min корней его характеристического уравнения при Δ = 5 % должен быть не менее, чем 3/t_рег = 3, тогда мнимая часть равна β = –πα_min/ln(σ) = –3,1415926*3/ln(0,3) = 7,83. По двум выбранным корням –3 ± j7,83 определяем вид желаемого устойчивого характеристического полинома .

Из равенства D(s) = D_ж(s) находим неизвестные коэффициенты корректирующих обратных связей k₁ = 6 + 2 = 8, k₂ = 70,27 – 4 = 66,27.

Пример 3. Рассчитать параметры наблюдателя в виде фильтра Калмана (рисунок 2.24) с компенсирующим звеном, имеющим передаточную функцию L(s) = k(τ₁s + 1)/(τ₂s + 1), при тех же требованиях к качеству переходного процесса наблюдателя и параметрах ПФ модели объекта регулирования W_o(s).

 

 

Рисунок 2.24

 

Передаточная функция модели объекта регулирования равна

,

 

а характеристическое уравнение наблюдателя имеет вид

 

,

 

откуда, приравняв числитель нулю и нормируя, получаем

 

.

 

Желаемый характеристический полином третьего порядка формируем из корней с одинаковой действительной частью –3 ± j7,83 и
–3, он равен D_ж(s) = s³ + 9s² + 88s + 211. Приравнивая D(s) = D_ж(s), находим неизвестные коэффициенты k, τ₁ и τ₂.

Задания для самостоятельного решения.

2.9.1 Определить значение L(s) = K из условия требуемой относительной статической ошибки наблюдателя S_u = 0,02 при значениях свободных членов передаточной функции модели b _m = 10; a_n = 4.

2.9.2 Определить значение L(s) = K из условия устойчивости наблюдателя, если ПФ объекта равна W_o(s) = 3/(s² – 2s + 2).

2.9.3 Рассчитать параметры и построить структурную схему наблюдателя состояния для объекта регулирования с передаточной функцией W(s) = 2(s + 1)/(4s² + 8s + 1).

2.9.4 При требованиях к качеству переходного процесса ошибки наблюдения t_рег = 6 с; σ = 15 % разработать наблюдатель состояния для объекта регулирования, описываемого уравнениями

 

 

2.9.5 Разработать наблюдатель состояния с качеством переходного процесса ошибки наблюдения t_рег = 5 с; σ = 30 % для объекта регулирования, описываемого ПФ W(s) = (2s + 1)/(s² + 1).

2.9.6 При качестве переходного процесса ошибки наблюдения t_рег = 12 с; σ = 15 % создать наблюдатель для объекта регулирования