Барометрическая формула (вывод). Распределение Больцмана

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул – с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р (рисунок 2.8), то на высоте h+dh оно равно p+dp (при dh>0 dp<0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1м²:

где r – плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Следовательно,

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа рV=(m/М)RТ (т – масса газа, M – молярная масса газа), находим, что

Подставив это выражение в (2.44), получим

или

,

(4)

С изменением высоты от h₁ до h₂ давление изменяется от p₁ до p₂ (рисунок 2.8), т. е.

	(5)
	(6)

или

(7)

Рисунок 2.8

Выражение (7) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (7) может быть записано в виде

,

(9)

где р – давление на высоте h.

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром). Его работа основана на использовании формулы (9). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (9) можно преобразовать, если воспользоваться выражением p=nkT:

(10)

где n – концентрация молекул на высоте h, n₀ – то же, на высоте h=0. Так как М=m₀N_A (N_A – постоянная Авогадро, т₀ – масса одной молекулы), a R=kN_A, то

(11)

где m₀gh=P – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

(12)

Выражение (12) называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (12) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

32. Распределение газовых молекул по скоростям (распределение Максвелла).