4.4.1. Активное сопротивление в цепи синусоидального напряжения.
Сопротивление в цепи переменного тока называется активным (r).
Оно отличается от сопротивления R в цепи постоянного тока, называющееся омическим. Это отличие связано с поверхностным эффектом (явлением вытеснения переменного тока от центра проводника к его поверхности).
r = K ∙ R , где К – коэффициент (К > 1)
K = F ( 
является функцией этих параметров.
Поверхностный эффект считается при больших токах (сотни ампер), а так же на частотах больше 100 кГц.
Будем считать, что r = R (в звукотехнике).
u = 
Следствия:
1) 
(совпадают по фазе)
2) 𝜑 = 
(сдвиг по фазе = 0)
3) 
; 
Временные диаграммы:
Мгновенная мощность:
= 
=
= 
= 
[Вт]
всегда ≥ 0 значит, активное сопротивление безвозвратно расходует, поступившую в него электроэнергию.
Активная мощность или средняя за период:
= 
[ Вт ]
Пусть 
⇒ 
= 
[Дж]
4.4.2. Индуктивность цепи синусоидального напряжения.
; 
, где 
- потокосцепление
⊜
A = 0 , т.к. в установившимся режиме синусоидальный ток не содержит постоянную составляющую
⊜ 
= 
Выводы:
1) 
- 
2) 
- 
3) 
[Ом] - индуктивное сопротивление
[См] - индуктивная проводимость
4) 
, где 
– реактивное сопротивление; энергия в виде тепла не выделяется, а периодически накапливается и возвращается обратно в источник; расчетная величина, которая учитывает явления самоиндукции.
- ток ленивый (отстает на 
)
Частотные характеристики
сопротивления и проводимости.
=
= 
= 
[ВAр]
Четверть периода 
>0: энергия потребляется от источника.
Другую четверть периода <0: энергия возвращается обратно к источнику.
= 
⇒ полагая, что 
, а 
⇒ 
Подставляем синусоидальную функцию:
= 
Примечание: реальная катушка индуктивности, кроме индуктивности L, обладает активным сопротивлением
провода:
, где 
- 
Чем выше 
, тем меньше γ и тем ближе реальная катушка к идеальному элементу цепи индуктивности.
4.4.3. Емкость цепи синусоидального напряжения.
=
= 
Сравнение двух последних равенств:
1) 
- 
2) 
- 
3) 
, где 
- емкостное сопротивление [Ом]
[См] - 
4) 
=
= 
= 
[ВAр]
Полагая, что 
и 
⇒ 
= 
[Дж]
Реальный конденсатор, кроме емкости, обладает активной проводимостью, которая учитывает потерю энергии в диэлектрике, разделяющем пластины конденсатора.
- добротность реального конденсатора [б/р]
Чем выше 
, тем меньше 𝛿 и тем ближе реальный конденсатор к идеальному элементу цепи емкости.
𝛿 - угол диэлектрических потерь. Он зависит от сорта диэлектрика и частоты. В лучшем случае он равен нескольким секундам, в худшем – нескольким градусам.
4.4.4. Последовательное соединение R, L, C – элементов.
Дано: r, L, C , 
Определить:
⇒ 𝜑 - ?
Решение: Законы Кирхгофа применены к мгновенным значениям ⇒
⇒ по 2зК: 
=
= 
Заменим сложение трех синусоидальных функций в тригонометрической форме сложением,
изображающим их векторa.
Первый вектор произвольно:
← ∆-к напряжений
– реактивное
– активное
= 
- реактивное сопротивление
1) 
(аналогично для действующих значений)
2) 
Могут быть 3 случая:
1 сл.) при 
, 𝜑 > 0 ⇒ 
2 сл.) при 
, 𝜑 < 0 ⇒ 
3 сл.) при 
, 𝜑 < 0 ⇒ в цепи возникает резонанс
Из ∆-ка напряжений :
= 
- 
– 
Если все стороны ∆-ка разделить на 
, то получится ∆ сопротивления.
←∆-к тока:
4.4.5. Параллельное соединение R, L, C в цепи.
Дано: 
; 
, L, C .
Определить:
⇒ 𝜑 - ?
Решение:
По 1зК: 
(3)
→ закон Ома при 
соединении 
, L, C в цепи.
- полная проводимость цепи.
§4.5. Дуальные электрические цепи.
Под условием дуальности понимается такое соответствие электрических цепей, при котором закон изменения контурных токов в одной цепи подобен закону изменения узловых напряжений в другой цепи.
Элементы электрической цепи:
Для таких элементов зависимости между напряжениями и токами имеют вид:
(1) 
(2) 
Следует иметь в виду, что входящие в системы (1) и (2) напряжения и токи, имеющие одинаковые буквенные обозначения, не равны друг другу.
Из сравнения уравнений (1) и (2) видно, что условию дуальности удовлетворяют следующие элементы: 1) сопротивление и проводимость; 2) индуктивность и емкость; 3) источник ЭДС и источник тока. Элементы цепи, удовлетворяющие условию дуальности, называются аналогами или дуальными элементами.
При последовательном соединении элементов цепи суммируются напряжения, при параллельном соединении элементов цепи – токи. Поэтому последовательному соединению элементов соответствует параллельное соединение их аналогов, а параллельному соединению – последовательное соединение их аналогов. Например:
Уравнение напряжений для исходной цепи (левый рисунок) подобно уравнению токов для второй цепи: 
. Таким образом, контурному току i соответствует узловое напряжение u.
Если ЭДС и ток источников подчинены одному и тому же закону и имеют одинаковую начальную фазу, то законы изменения контурного тока левой части примера и узлового напряжения левой части совпадают при соблюдении пропорции: 
.
В случае сложной электрической цепи каждой ее области, ограниченной независимым контуром, с учетом также области, внешней по отношению ко всей цепи, соответствует узел дуальной цепи. Следовательно, число областей заданной цепи равно числу узлов дуальной цепи.
При построении дуальной цепи по отношению к заданной планарной цепи удобно пользоваться графическим приемом, простая форма которого была показана на рисунке.
В каждой области, ограниченной независимым контуром заданной цепи, наносится точка, рассматриваемая в качестве будущего узла дуальной цепи. Узлы, соответствующие каждой паре смежных областей, соединяются параллельными ветвями, число которых равно числу элементов, последовательно включенных в цепь, граничащую с указанными областями. Элементами параллельных ветвей являются аналоги элементов заданной цепи.
Сложная форма графического способа построения дуальной цепи иллюстрируется на примере:
Из рисунка видно, что исходная цепь (левый рисунок) содержит три независимых контура, внутри которых фиксируются три точки (1, 2 и 3), соответствующие узлам исходной дуальной цепи. Четвертую точку, соответствующую узлу 4, фиксируется в области, внешней по отношению к заданной цепи. Между этими точками проводят пунктирные линии, пересекающие элементы цепи и представляющие собой ветви дуальной цепи; пересекаемые элементы заменяются их аналогами, включенными между соответствующими узлами дуальной цепи.
При согласовании ЭДС и токов дуальных источников руководствуются следующим правилом: если ЭДС источника действует в положительном направлении контура (по ходу часовой стрелки), то ток источника тока в дуальной цепи направлен к узлу, соответствующему данному контуру исходной схемы.
При соблюдении пропорции комплексное сопротивление цепи, общей для двух смежных контуров схемы, пропорционально комплексной проводимости цепи, соединяющей два соответствующих узла дуальной цепи. Например, в схеме (3) комплексное сопротивление цепи равно: 
, а в схеме (4) комплексная проводимость цепи: 
Полагая, что 
где k – коэффициент пропорциональности, имеющий размерность сопротивления, получаем: 
Аналогичная пропорциональность получается и между входным сопротивлением и проводимостью более сложных дуальных цепей. Это свойство используется, в частности, в теории электрических фильтров.
Дата: 2018-12-28, просмотров: 331.
