Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16, х ? R, и обоснуем все преоб­разования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Решением неравенства х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 2х + 16 яв­ляется промежуток (-∞, 7).

Упражнения

1. Установите, какие из следующих записей являются неравенства­ми с одной переменной:

а) -12 - 7х < 3x + 8;          г) 12х + 3(х- 2);

б) 15(x + 2)>4;             д) 17-12·8;

в) 17-(13 + 8) < 14-9;       е) 2х² + 3x-4> 0.

2. Является ли число 3 решением неравенства 6(2х + 7) < 15(х + 2), х ? R? А число 4,25?

3. Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:

а) -17х< -51 и х > 3;

б) (3x-1)/4 >0 и 3х-1>0;

в) 6-5x >-4 и х<2?

4. Какие из следующих высказываний истинны:

а) -7 х < -28 => x>4;

б) x < 6 => x < 5;

в) х < 6 => х < 20?

5. Решите неравенство 3(x - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.

6. Докажите, что решением неравенства 2(х + 1) + 5 > 3 - (1 - 2х) является любое действительное число.

7. Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 - х) - 2 > 5 - 3х.

8. Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника:

а) меньше 22 см;

б) больше 17 см?

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕН­НОЙ. Для графического решения неравенства f (х) > g (х) нужно построить гра­фики функций

у = f (х) = g (х) и  выбрать те проме­жутки оси абсцисс, на которых график функции у = f (х)  расположен выше графика функции у = g (х).

Пример 1 7.8. Решите графически неравенство х² - 4 > 3х.

Решение. Построим в одной системе координат графи­ки функций

у = х²- 4 и у = Зх (рис. 17.5). Из рисунка видно, что графики функций у = х² - 4 расположен выше графика функции у = 3х при х < -1 и х > 4, т.е. множество решений исходного неравенства есть множество

 (- ¥; -1) È (4; + оо).

Ответ: х Î (- оо; -1) и (4; + оо ).

Графиком квадратичной функции у = ах² + bх + с является парабола с ветвя­ми, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0. При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня); парабола  касается оси х (т.е. уравнение ах² + bх + с = 0 имеет один корень); парабола не пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах² + bх + с = 0 не  имеет корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, служа­щей графиком функции у = ах² + bх + с (рис. 17.6). Используя эти иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.

Пример 17.9. Решите неравенство: а) 2х^г + 5х - 3 > 0; б) -Зх² - 2х - 6 < 0.

Решение, а) Уравнение 2х² + 5х -3 = 0 имеет два  корня: х, = -3, х₂ = 0,5. Парабола, служащая графиком функции у = 2х² + 5х -3, показана на рис. а. Неравенство 2х² + 5х -3 > 0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох: это будет при х < х_х или при х > х_г> т.е. при х < -3 или при х > 0,5. Значит, множество решений исходного неравенства есть множество (- ¥; -3) и (0,5; + ¥).

б) Уравнение -Зх² + 2х- 6 = 0 не имеет  действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = - 3х² - 2х - 6, показана на рис. 17.6 Неравенство -3х² - 2х - 6 < О выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох. По­скольку вся парабола лежит ниже оси Ох, то множество решений исходного неравенства есть множество R.

НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ. При решении данных неравенств следует иметь в виду, что:

 | f(х) | =

f(х) , если f(х)  ³ 0,

- f(х) , если f(х)  < 0,

При этом область допустимых значений  неравенства следует разбить на ин­тервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохра­няют знак. Затем, раскрывая модули (с учетом знаков выражений), нужно решать неравенство на каждом интервале и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.

Пример 17.10.  Решите неравенство:

|х -1| + |2- х| > 3+х.     

Решение. Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства (17.9) на три интервала: х < 1, 1 £ х £.2, х > 2. Решим данное неравенство на каждом из них. Если х < 1, то х - 1 < 0 и 2 – х > 0; поэтому |х -1| = - (х - I), |2 - х | = 2 - х. Значит, неравенство (17.9) принимает вид: 1- х + 2 - х > 3 + х, т.е. х < 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Если 1 £ х £.2, то х - 1 ³ 0 и 2 – х ³ 0; поэтому | х- 1| = х - 1, |2 - х| = 2 – х. .Значит, имеет место система:

1 £ х £.2

х – 1 + 2 – х > 3 + х,

или

1 £ х £.2

х < - 2

Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно, на интервале [ 1; 2] множество решений неравенства (17.9) пусто.

Если х > 2, то х - 1 >0 и 2 – х <0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

х > 2,   

х -1 + х – 2 > 3+х,       

или

х > 2,   

х > 6 или

х > 6

Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства (17.9), получаем его решение - множество (-¥; 0) È (6; +оо).

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой | а | означает расстояние точки а коор­динатной прямой от начала отсчета О, а | а - b |  означает расстояние между точка­ми а и b на координатной прямой. Кроме того, можно использовать метод возве­дения в квадрат обеих частей неравенства.

Теорема 17.5. Если выражения  f (х) и g (х)  при любых х принимают толь­ко неотрицательные значения, то неравенства f (х) > g (х)   и  f (х) ² > g (х) ²   равносильны.

58. Основные выводы § 12

В данном параграфе мы определили следующие понятия:

- числовое выражение;

- значение числового выражения;

- выражение, не имеющее смысла;

- выражение с переменной (переменными);

- область определения выражения;

- тождественно равные выражения;

- тождество;

- тождественное преобразование выражения;

- числовое равенство;

- числовое неравенство;

- уравнение с одной переменной;

- корень уравнения;

- что значит решить уравнение;

- равносильные уравнения;

- неравенство с одной переменной;

- решение неравенства;

- что значит решить неравенство;

- равносильные неравенства.

Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.

Знание определений всех названных выше понятий и теорем о рав­носильности уравнений и неравенств - необходимое условие методи­чески грамотного изучения с младшими школьниками алгебраическо­го материала.