Известно, что сложение и умножение чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно относительно сложения. Аналогичными свойствами обладают объединение и пересечение множеств.
Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде. При этом условимся алгебраические операции обозначать символами: * (читается - «звездочка») и о (читается - «кружок»).
Важнейшим свойством алгебраических операций является свойство ассоциативности.
Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется ассоциативной, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняется равенство
( x* y)* z= x*( y* z).
Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно опускать скобки и писать x*у* z вместо (х*у)* z и х*(у* z).
Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых натуральных чисел х, у и z выполняется равенство (х + у) + z = x + (у + z). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. Поэтому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.
Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х, у и z, для которых (х - у) - z ≠ х - (у - z). Например, (12 - 7) - 3 ≠ 12 - (7 - 3).
Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но переставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция * коммутативна.
Определение. Алгебраическая операция * на множестве X называется коммутативной, если для любых двух элементов х и у из множества X выполняется равенство
х*у = у*х.
Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х · у = у · х. Эти равенства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.
Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х и у, для которых х - у ≠ у - х. Например, 12-7≠7-12.
Если на множестве X заданы две алгебраические операции * и о, то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности.
Определение. Алгебраическая операция о называется дистрибутивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняются равенства:
1) (х* y)о z = ( x o z)*( y o z) и 2) z o (х*у) = ( z o х)*( z о у).
Если выполняется только равенство 1), то операцию о называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняется только равенство 2), то операцию о называют дистрибутивной слева относительно операции *.
Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.
Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции: возведение в степень (она соответствует операции о в равенствах 1 и 2) и умножение (она соответствует операции * в равенствах 1 и 2). Тогда, согласно равенству 1, имеем: (х·у) z - = х z-у z. Как известно из алгебры, полученное равенство справедливо для любых натуральных чисел х, у и z, т.е. возведение в степень дистрибутивно справа относительно умножения. В соответствии с равенством 2, получаем х у z = ху-х z. Но это равенство выполняется не всегда, т.е. операция возведения в степень не является дистрибутивной слева относительно умножения. Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень - операция, не обладающая свойством коммутативности.
Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то, как известно, умножение дистрибутивно относительно сложения: для любых натуральных чисел х, у и z выполняются равенства
( x+ y)· z + x·z + y·z и z·( x+ y) = z·x + z·y
А так как умножение коммутативно, то не имеет значения, где писать множитель z - справа от суммы х + у или слева от нее. Поэтому в школьном курсе математики не различают дистрибутивность слева и справа, а говорят просто о дистрибутивности умножения относительно сложения.
Выясним роль свойства дистрибутивности в преобразованиях выражений. Если операция о дистрибутивна относительно операции * и обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за которыми) стоит знак °. Проиллюстрируем сказанное на примере преобразования выражения (x + у)·( z + р). Так как умножение дистрибутивно относительно сложения, то
(x + у)·( z + р)= x·( z + р) + у·( z + р)= (x· z + x·р) + (у· z + y·р).
А поскольку сложение ассоциативно, то последнюю запись можно записать без скобок. Следовательно, (x + у)·( z + р)= )= x· z + x·р +у· z + y·р.
Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция, выделяются особые элементы, называемые в алгебре нейтральными и поглощающими.
Определение. Элемент е из множества X называется нейтральным относительно алгебраической операции *, если для любого элемента х из множества X выполняются равенства х*е=е*х =х.
Доказано, что если нейтральный элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.
Определение. Элемент р из множества X называется поглощающим относительно алгебраической операции *, если для любого элемента х из множества X выполняются равенства х*р=р*х=р.
Если поглощающий элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.
Так, в множестве Zо целых неотрицательных чисел нуль является нейтральным элементом относительно сложения, поскольку для любого х из множества Zо выполняются равенства х + 0 = 0 + х = х. Это же число нуль является поглощающим элементом относительно умножения: для любого x из множества Zо верны равенства: х·0 = 0·х = 0.
Как известно, вычитание чисел является операцией, обратной сложению. Но чтобы дать определение обратной операции в общем виде, надо определить понятие сократимой операции.
Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется сократимой, если из условий а*х =а*у и х*а =у*а следует, что х =у.
Например, сократимо сложение натуральных чисел: из равенств а+х=а+у и х+а=у+а следует, что х= у.
Определение. Пусть * - сократимая и коммутативная алгебраическая операция, заданная на множестве X. Тогда операция о называется обратной для операции *, если х о у = z тогда и только тогда, когда у * z = х.
Тот факт, что вычитание на множестве целых чисел есть операция, обратная сложению, означает: z = х - у тогда и только тогда, когда у + z = х.
Множество X с заданными на нем алгебраическими операциями принято называть алгеброй. В начальном курсе математики в основном изучают множество Zо целых неотрицательных чисел, которое является объединением множества натуральных чисел и нуля: Zо = N U{0}. На этом множестве рассматриваются алгебраические операции сложения и умножения. Используя язык современной математики, можно сказать, что в начальной школе изучают алгебру (Zо, +, •). Ее основные характеристики:
1) Сложение и умножение на множестве Zо ассоциативно и коммутативно, а умножение дистрибутивно относительно сложения, т. е.:
(V х,у ? Zо) х + у = у + х;
(V х,у ? Zо) х·у = у·х;
(V х,у, z ? Zо) (х + у) + z = х + (у + z);
(V х,у, z ? Zо) (х·у)· z = х·(у· z);
(V х,у, z ? Zо) (х +у)· z = х· z +у· z.
2) Сложение и умножение сократимы (исключая сокращение произведения на нуль), т.е. для любых целых неотрицательных чисел х,у и а справедливы утверждения:
х + а= у + а => х = у
х·а = у·а => х = у.
3) Нуль является нейтральным элементом относительно сложения и поглощающим относительно умножения:
(V х ? Zо) х + 0 = 0 + х = x:;
(V х ? Zо) х· 0 = 0· x = 0.
Единица является нейтральным элементом относительно умножения:
(V х,у ? Zо) х •1 = 1•x = x.
4) Сократимость сложения и умножения целых неотрицательных чисел позволяет определить в Zо частичные алгебраические операции вычитания и деления как обратные соответственно сложению и умножению (исключая деление на нуль):
x-у = z ó у + z = x
х:у~2 ó у- z = х.
5) Вычитание и деление обладают свойствами:
( a- c)+ b, если а≥с
(а+ b) – c= a+( b- c), если b≥ c
а - ( b + с) = (а - b) - с = (a - с) - b, если a ≥ b + с;
(a+b):c = a:c+b:c, если a:c и b:c;
( a: c)· b, если а:с
(а· b) : c= a·( b: c), если b: c
а:( b-с) = (а: b):с= (а:с): b, если a: b и a: c
Названные характеристики алгебры (Zо, +, •) присутствует (явно или неявно) в любом начальном курсе математики.
Упражнения
1. Запишите, используя символы, что сложение и умножение коммутативно и ассоциативно на множестве Q рациональных чисел, а умножение дистрибутивно относительно сложения и вычитания.
2. Коммутативны ли следующие алгебраические операции:
а) возведение в степень на множестве N;
6) деление на множестве Q;
в) нахождение наибольшего общего делителя натуральных чисел?
3. Сократимо ли вычитание и деление на множестве Q рациональных чисел?
4. Какое множество является поглощающим элементом относительно пересечения множеств? Ответ обоснуйте.
5. Сформулируйте определение деления как операции, обратной умножению.
6. Выясните, как формулируются свойства сложения и умножения в различных учебниках по математике для начальной школы.
7. Запишите все свойства действий, характеризующих алгебру (Zо, +, •).
53. Основные выводы § 11
Изучив материал данного параграфа, мы познакомились со следующими понятиями:
- алгебраическая операция на множестве;
- множество, замкнутое относительно алгебраической операции;
- частичная алгебраическая операция;
- нейтральный элемент относительно алгебраической операции;
- поглощающий элемент относительно алгебраической операции;
- обратная операция.
Мы выяснили, что алгебраические операции могут обладать свойствами:
- коммутативности;
- ассоциативности;
- дистрибутивности (слева и справа);
- сократимости.
Установили, что в начальном курсе математики изучают алгебру (Zо, +, •).
Лекция 24. Выражения
План:
1. Понятие выражения
2. Тождественные преобразования выражений
§ 12. ВЫРАЖЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ. НЕРАВЕНСТВА
Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражение, уравнение, неравенство. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальном курсе математики. Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в употреблении терминов, обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств. Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изучению материала данного параграфа, - это уточнить и углубить знания о выражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и числовых неравенствах, уравнениях и неравенствах.
Изучение данных понятий связано с использованием математического языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой, математический язык имеет свой алфавит. В нашем курсе он будет представлен частично в связи с необходимостью больше внимания уделить взаимосвязи алгебры с арифметикой. В этот алфавит входят:
1) цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с их помощью по специальным правилам записываются числа;
2) знаки операций +,-,•, : ;
3) знаки отношений <, >, =, : ;
4) строчные буквы латинского алфавита, их применяют для обозначения чисел;
5) скобки (круглые, фигурные и др.), их называют техническими знаками.
Используя этот алфавит, в алгебре образуют слова, называя их выражениями, а из слов получаются предложения - числовые равенства, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными.
54. Выражения и их тождественные преобразования
Как известно, записи 3 + 7, 24:8, 3•2-4, (25 + 3)- •2- 17 называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения. Так, значение числового выражения 3•2-4 равно 2.
Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 8: (4 - 4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 - 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7-9 найти нельзя.
Рассмотрим запись 2a + 3. Она образована из чисел, знаков действий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения:
если a = 7, то 2•7 + 3;
если a = 0, то 2•0 + 3;
если а = -4, то 2• (-4) + 3.
В записи 2а + 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а + 3 - выражением с переменной.
Переменную в математике, как правило, обозначают любой строчной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначения переменной кроме букв используются другие знаки, например ¨. Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2-¨ + 3.
Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения. Например, область определения выражения 5:(х - 7) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х =• 1 выражение 5: (7 - 7) смысла не имеет.
В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных. Например, 2а + 3 - это выражение с одной переменной, а (Зх + 8y)·z - это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области определения выражения,
Итак, мы выяснили, как образуются из алфавита математического языка числовые выражения и выражения с переменными. Если провести аналогию с русским языком, то выражения - это слова математического языка.
Но используя алфавит математического языка, можно образовать и такие, например, записи: (3 + 2)) - ·12 или 3х -у:+)8, которые нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти примеры свидетельствуют о том, что описание - из каких знаков алфавита математического языка образуются выражения числовые и с переменными, не является определением этих понятий. Дадим определение числового выражения (выражение с переменными определяется аналогично).
Определение. Если f и g - числовые выражения, то ( f) + ( g), ( f)-( g), ( f) ·( g), ( f):( g) - числовые выражения. Считают, что каждое число является числовым выражением.
Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6):(2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько выражений складываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо. Например, пишут так: 37-12 + 62-17 + 13 или 120:15·7:12.
Кроме того, условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому выражение (12·4:3) + (5·8:2·7) записывают так: 12·4:3 + 5·8:2·7.
Задача. Найти значение выражения 3х(х- 2) + 4(х-2) при х = 6.
Решение.
1 способ. Подставим число 6 вместо переменной в данное выражение: 3·6·(6 - 2) + 4·(6 - 2). Чтобы найти значение полученного числового выражения, выполним все указанные действия:
3·6·(6-2) + 4·(6-2) = 18·4 + 4·4 = 72 + 16 = 88.
Следовательно, при x = 6 значение выражения 3х(х-2) + 4(х-2) равно 88.
2 способ. Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его: 3х(х - 2) + 4(х - 2) = (х - 2)(3х + 4). И затем, подставив в полученное выражение вместо х число 6, выполним действия: (6- 2)·(3·6 + 4) = 4·(18 + 4) = 4·22 = 88.
Тождественные преобразования выражений
Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Например, выражение 18·4 + 4·4 заменяли выражением 72+16, а выражение 3х(х-2) + 4(х-2) - выражением (х - 2)(3х + 4), причем эти замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.
Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.
Примером тождественно равных выражений могут служить выражения 5(х + 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных значениях д: их значения равны.
Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.
Например, 5(х + 2) = 5х + 10-тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: (V х ? R) 5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.
Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.
Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему выражение 5х + 10, мы выполнили тождественное преобразование первого выражения. Но как, имея два выражения, узнать, являются они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения выражений, подставляя конкретные числа вместо переменных? Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, которыми надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразования выражений? Этих правил много, среди них - свойства алгебраических операций.
Приведем пример тождественных преобразований выражения.
Упражнения
1. Среди следующих записей укажите числовые выражения:
а) 42:5; б) 27; в) 32+-): 14; г) 2·7 = 7·2;
д) (17+13):10-15; е)142>71·2.
2. Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматривать их на множестве натуральных чисел:
а) (135 + 67)·12; б)(135-217):2; в) 362:4?
3. Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными:
а)8 + 0,3b; б)21-(4+y); в) x+2y<7; г) 32:у + 3 = 5у?
4. Установите, какова область определения выражений, если рассматривать их на множестве действительных чисел:
а) (3-y):64; б) 64:(3-у); в) (5+x):(x-12).
5. Известно, что выражение называется по своему последнему действию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:
Выражение
(12·5 + 3:(2 + 7))·18
6. Вычислите значение выражения:
а) ((36:2-14)·(42·2-14)+ 20):2;
б)(72:12-(18-15)):(24:3-2·4);
в) (16,583:7,21 + 54,68·853,2 + 28,82·0,1): 1,6-1,02.
7. Выясните, являются ли выражения 3(4 - х) и 12 – 3x тождественно равными на множестве:
а) {1,2, 3,4}; б) действительных чисел.
8. Какие из следующих равенств являются тождествами на множестве действительных чисел:
а)3p + 5т = 5т + 3р; в) Зр·5т = 5т·3р;
б) 3p - 5т = 5т - 3р; г) 3p : 5т = 5т : 3р?
9. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений:
а) 324·5 =(300 + 20 + 4)·5 = 300·5 + 20·5 + 4·5 = 500+100 + 20=1500+120=1620;
6)97·12 =(100-3)·12= 100·12-3·12=1200-36 = 1100 + (100-36) = 1164;
в) 5(1-2х)+10x = 5-10x+ 10x = 5.
10.Объясните, почему отношение «иметь одно и то же значение» на множестве числовых выражений является отношением эквивалентности. Какие следствия из этого факта используются при выполнении тождественных преобразований числовых выражений?
11.Упростите выражение путем тождественных преобразований:
а)6(2а b-3)+2a(6b-5); б)(12a-16b):4-(10a-4b).
12.Сравните значения выражений, не выполняя действий:
а)(30+56)·5 и 30·5 + 56·5;
б)(19+4)·7 и 19·7+10·7;
в)(14-7)·6 и 16·6-7·6;
г)(18-9)·7 и 18·7-11·7.
13. Решите задачу; решение запишите в виде выражения:
а) На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, на другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разбились на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?
б) В мастерской за 5 дней сшили 2000 фартуков. Сколько фартуков сошьют за 8 дней, если будет шить в день на 50 фартуков больше?
в) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 18 мин, а каждую следующую на 3 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?
Дата: 2019-02-02, просмотров: 1157.
